趙云平

摘 要 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型理論是矩陣論中重要的一個(gè)方面，本文首先給出了Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的定義，同時(shí)介紹并推廣了Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的幾何方面的相關(guān)定理。

關(guān)鍵詞 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 幾何 性質(zhì)

中圖分類號(hào)：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Geometric Properties of Jordan Matrix Standard

ZHAO Yunping

（Department of Mathematics and Science， Lincang Teachers' College， Lincang， Yunnan 677000）

Abstract Standard theory of the matrix is an important aspect of matrix theory， this paper gives the Jordan standard definition， while the introduction and promotion of the relevant aspects of geometric theorems Jordan standard type.

Key words Jordan; standard; geometric; property

矩陣?yán)碚摷仁菍W(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是一門很有實(shí)用價(jià)值的理論。在高等代數(shù)線性代數(shù)中Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣的一類，Jordan標(biāo)準(zhǔn)型得名于19世紀(jì)后期的法國(guó)數(shù)學(xué)家卡米爾·若兒當(dāng)。1870年，若兒當(dāng)證明了任何矩陣經(jīng)過變換可相似于一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)型”，即現(xiàn)在所謂的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，從而建立了矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的完整理論。

本文討論了Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的定義和Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一些幾何方面的性質(zhì)。

1 Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的定義

定義1：

的方陣稱為階Jordan塊。其中可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。

例如

都是Jordan塊。特別的，一階Jordan塊是一階矩陣。

定義2：由若干個(gè)Jordan塊組成的分塊對(duì)角陣

稱為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型矩陣。其中（ = 1，2…）為階Jordan塊。

例如

是9階Jordan標(biāo)準(zhǔn)型矩陣。

當(dāng)J1 = []，J2 = []，…，Js = []都是一階Jordan塊時(shí)，J為對(duì)角陣，因此對(duì)角陣為約當(dāng)陣的特例。

2 矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的幾何性質(zhì)

（第一分解）定理2.1.1 設(shè)是維線性空間的線性變換，（） = …。則：（1） = ?是-不變子空間;（2） 令（） = ，則 = ;（3） =⊕⊕…⊕ ;（4） 令 = ，則（） = ;（5） 設(shè)是特征值的特征子空間，則有€H選？

定理中的稱為屬于特征值的根子空間，中的向量稱為根向量。

設(shè)（）， = 0， ≠0。則存在，使得，（），…（）線性無(wú)關(guān)，且是（，（），…（））的一個(gè)基。在這一基下的矩陣是階方陣

這里（0，）中0代表對(duì)角線上元素全為0，表示矩陣的階數(shù)。稱（，（），…（））是循環(huán)子空間，，（），…（）為循環(huán)基。

（第二分解）定理2.1.2 設(shè)是維空間的線性變換， = 0， ≠0，（當(dāng)然≤）。則 =⊕⊕…⊕ ，

這里是的循環(huán)子空間，1≤≤，且（）≥（）≥…≥（）€H？，（） = 。

取的循環(huán)基，湊成的基，則在這個(gè)基下的矩陣是

（（0，），（0，），…（0，）），這里

，

= （），1≤≤。（0，）稱為屬于特征值0的階為的Jordan塊。

引理2.1.3 （） = ， ?=

證明：（1）€HO（），要證（） = 0

= ?+ ?+ …，

（） = 0

： （），（），…，是的循環(huán)基，有（） = 0。

= （） + （） + … + （）

（（）） = （） = 0，其中0≤≤， ≥。

所以（）€H鍘？

（2）€HO， 要證（）。

又（） = ⊕⊕…⊕

（）€H# = ?+ ?+ … + ，從而 = ⊕ ⊕…⊕

= ?+ ?+ … + ?+ ?+ … + ，要證 ?= 0， €H傘堋H舨蝗唬瑎HR，€H傘？≠0，：，，…，， = 0，在這組基下的表示矩陣為Jordan塊

，

可逆，（）≠0，（）是的不變子空間，也是的不變子空間。

= ?+ ?+ … + ?+ ?+ … + ?+ …

（） = 0 + … + 0 + … + ?+ … ≠0

0 = 0 + 0 + … + 0 + ?+ … + ?+ … +

+ … + ?+ … + ?= 0，又≠0，所以 + … + ?+ … + ≠0，從而產(chǎn)生矛盾。

所以（）。

定理2.1.4（不可分解性）是的維循環(huán)子空間，則

（1） 任何含的的-子空間就是它自己;

（2） 任何的-子空間必包含;

（3） 不可分解為兩個(gè)非平凡的-子空間之和。

引理2.1.4' 對(duì)應(yīng)的特征值是，階數(shù)為階，在循環(huán)基，，…，下的表示矩陣為endprint

（1）是的-子空間，若，則 = ;

（2）是的-子空間，則;

（3）不可分解為兩個(gè)非平凡的-子空間之和。

證明：（1）（） = ?+

∵，是-子空間

∴（）， ，有 = （）

€H！ ?=

（2）€HO€H眨？= ?+ ?+ … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

= ?+ （ + ） + … + （ + ）

= ?+ ?+ … +

從而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因?yàn)橐粋€(gè)空間可分解為兩非平凡子空間的直和，這兩個(gè)子空間的交必須為零，但由（2）這兩個(gè)子空間至少包含一個(gè)非零的向量，所以不可分解為兩個(gè)非平凡的-子空間之和。

3 小結(jié)

矩陣作為一種基本的數(shù)學(xué)工具在數(shù)學(xué)理論及其他科學(xué)領(lǐng)域都有十分重要的應(yīng)用。它不僅是高等代數(shù)的一個(gè)重要分支，而且已經(jīng)成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的有力工具。矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，在解決矩陣問題中起著很重要的作用。對(duì)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用值得做進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)

[1] 沈啟鈞.確定實(shí)非對(duì)稱矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一種算法[J].高等學(xué)校計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1983.

[2] 王蓮花.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算及其應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001.

[3] 易福俠.矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化的一種新方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009.

[4] 袁俊偉.關(guān)于用幾何方法求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的注記[J].湖水民族學(xué)院學(xué)報(bào)，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012.

[6] 張志旭.矩陣標(biāo)準(zhǔn)型的思想及應(yīng)用[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2006.

[7] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 萬(wàn)冰蓉.矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的另一證明[J].井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004.

[9] 王世超.高等代數(shù)新方法.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2003.endprint

（1）是的-子空間，若，則 = ;

（2）是的-子空間，則;

（3）不可分解為兩個(gè)非平凡的-子空間之和。

證明：（1）（） = ?+

∵，是-子空間

∴（）， ，有 = （）

€H！ ?=

（2）€HO€H眨？= ?+ ?+ … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

= ?+ （ + ） + … + （ + ）

= ?+ ?+ … +

從而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因?yàn)橐粋€(gè)空間可分解為兩非平凡子空間的直和，這兩個(gè)子空間的交必須為零，但由（2）這兩個(gè)子空間至少包含一個(gè)非零的向量，所以不可分解為兩個(gè)非平凡的-子空間之和。

3 小結(jié)

矩陣作為一種基本的數(shù)學(xué)工具在數(shù)學(xué)理論及其他科學(xué)領(lǐng)域都有十分重要的應(yīng)用。它不僅是高等代數(shù)的一個(gè)重要分支，而且已經(jīng)成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的有力工具。矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，在解決矩陣問題中起著很重要的作用。對(duì)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用值得做進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)

[1] 沈啟鈞.確定實(shí)非對(duì)稱矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一種算法[J].高等學(xué)校計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1983.

[2] 王蓮花.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算及其應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001.

[3] 易福俠.矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化的一種新方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009.

[4] 袁俊偉.關(guān)于用幾何方法求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的注記[J].湖水民族學(xué)院學(xué)報(bào)，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012.

[6] 張志旭.矩陣標(biāo)準(zhǔn)型的思想及應(yīng)用[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2006.

[7] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 萬(wàn)冰蓉.矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的另一證明[J].井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004.

[9] 王世超.高等代數(shù)新方法.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2003.endprint

（1）是的-子空間，若，則 = ;

（2）是的-子空間，則;

（3）不可分解為兩個(gè)非平凡的-子空間之和。

證明：（1）（） = ?+

∵，是-子空間

∴（）， ，有 = （）

€H！ ?=

（2）€HO€H眨？= ?+ ?+ … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

= ?+ （ + ） + … + （ + ）

= ?+ ?+ … +

從而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因?yàn)橐粋€(gè)空間可分解為兩非平凡子空間的直和，這兩個(gè)子空間的交必須為零，但由（2）這兩個(gè)子空間至少包含一個(gè)非零的向量，所以不可分解為兩個(gè)非平凡的-子空間之和。

3 小結(jié)

矩陣作為一種基本的數(shù)學(xué)工具在數(shù)學(xué)理論及其他科學(xué)領(lǐng)域都有十分重要的應(yīng)用。它不僅是高等代數(shù)的一個(gè)重要分支，而且已經(jīng)成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的有力工具。矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，在解決矩陣問題中起著很重要的作用。對(duì)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用值得做進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)

[1] 沈啟鈞.確定實(shí)非對(duì)稱矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一種算法[J].高等學(xué)校計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1983.

[2] 王蓮花.若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算及其應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001.

[3] 易福俠.矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化的一種新方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009.

[4] 袁俊偉.關(guān)于用幾何方法求Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的注記[J].湖水民族學(xué)院學(xué)報(bào)，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012.

[6] 張志旭.矩陣標(biāo)準(zhǔn)型的思想及應(yīng)用[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2006.

[7] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 萬(wàn)冰蓉.矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的另一證明[J].井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004.

[9] 王世超.高等代數(shù)新方法.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2003.endprint