中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

摘 要：給出了高斯函數(shù)的定義、性質(zhì)、函數(shù)圖象的特征，討論了其應(yīng)用，并將其做了推廣.

關(guān)鍵詞： 高斯函數(shù)、廣義高斯函數(shù)

一、高斯函數(shù) 的一些性質(zhì)

高斯函數(shù) ，在數(shù)論中是一種極為重要的函數(shù)， 但它的運用卻并不僅限于在數(shù)論中， 在數(shù)學(xué)的許多分支及其它學(xué)科領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用， 這些應(yīng)用均顯示了該函數(shù)的優(yōu)越性. 本文主要從高斯函數(shù)的定義出發(fā)類比討論了廣義高斯函數(shù)的一些基本性質(zhì)及其有關(guān)的積分問題，并給了一些關(guān)于廣義高斯函數(shù)的例子.

定義1 表示不超過 的最大整數(shù)， 則函數(shù) 稱為高斯函數(shù).

我們記 稱為 小數(shù)部分， .

由高斯函數(shù)的定義立刻可以得到如下簡單的性質(zhì):

定理1 設(shè) ，我們有

(1) . (2) 若 則 .(3) .

(4) (5) .(6) 或 . (7) .

下面再來討論高斯函數(shù) 的圖像及 的圖像和性質(zhì).

對于函數(shù) ，如何做出它的圖像呢?我們先來分析一下高斯函數(shù) 的圖像的基本性質(zhì)和特征.

(1)由 的性質(zhì)知 的圖形在 的圖形的下方.

(2) 由 的性質(zhì)知 的圖像是一組階高為1的平行于 軸的平行線段，這組平行線段呈階梯形.

可見函數(shù) 是一個不減(非單調(diào)) 的非周期的函數(shù)，其圖像如下(a)

(a)

定理2 設(shè) ，則 是一有界、周期為1的非單調(diào)函數(shù)，其圖像如(b).

(b)

(二)高斯函數(shù)的拓廣

下面討論廣義高斯函數(shù)的問題

定義2 假定函數(shù) 為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，我們用記號 表示不大于 的最大整數(shù)，叫做廣義高斯函數(shù)，其中 為自變量， 為基函數(shù).

若 = ，則廣義高斯函數(shù) 便寫成高斯函數(shù) 了，可見高斯函數(shù)為廣義高斯函數(shù)的特例.如果假定 ， 為閉區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，則有關(guān)高斯函數(shù)的性質(zhì)就可以推廣到廣義高斯函數(shù)中來.

以下再來討論一下廣義高斯函數(shù)的圖像，首先來分析一下 的圖像的特征.

(1)由函數(shù) 的性質(zhì) ，所以廣義高斯函數(shù) 的圖像在基函數(shù)

圖像的下方.

(2)由函數(shù) 的定義知 的圖像是一組階高為1的平行線段.

例3作出基函數(shù)為 的廣義高斯函數(shù)的圖像.

某些廣義高斯函數(shù)的積分問題及有關(guān)的其他問題

高斯函數(shù) 的積分

對于高斯函數(shù) 的積分，由定義知高斯函數(shù)是一個具有第一類間斷點的函數(shù)，只要在積分區(qū)間上有有限個這類間斷點，則根據(jù)定積分的可積性知函數(shù) 在積分區(qū)間上可積.

例4求積分 ( 為有限的自然數(shù)).

利用以上積分的結(jié)果很容易得到 的積分，即

例5求積分 .

有關(guān)高斯函數(shù)的應(yīng)用是比較多的，以上關(guān)于高斯函數(shù)和廣義高斯函數(shù)的討論只是一個開始，如果進一步對其進行討論，會得到一些更好的結(jié)論.

參考文獻

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[4] 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹.崇文書局，2003.