【摘 要】《數(shù)與代數(shù)》中的實數(shù)的概念在小學(xué)與初中的數(shù)學(xué)知識中起著承上啟下的作用，是學(xué)生步入中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行抽象化學(xué)習(xí)的重要一步。因此，通過本文，希望能幫助一些初中學(xué)生更好地理解有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別。

【關(guān)鍵詞】有理數(shù) 分?jǐn)?shù) 循環(huán)小數(shù) 無理數(shù)

【中圖分類號】O121 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）09-0130-01

在《數(shù)與代數(shù)》一章中，學(xué)生首先接觸到“實數(shù)”這一概念，在學(xué)習(xí)這一小節(jié)中，經(jīng)常遇到“下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？”這樣的題目，對中學(xué)生來說顯得有些吃力，但這一類的小題目又不會在升學(xué)考試中碰到，因此不夠引起學(xué)生和老師的重視，本人希望通過下面幾個問題讓初中學(xué)生更好地理解有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別。

一 有理數(shù)與循環(huán)小數(shù)

首先，有理數(shù)的定義是：（正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)），整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（整數(shù)不再贅述）。

在《高等數(shù)學(xué)》中，是這樣規(guī)定有理數(shù)的：

全體有理數(shù)的集合記做Q，即Q={ |p∈Z，q∈N+且p

與q互質(zhì)}。

從這一定義可以看出：首先分?jǐn)?shù)線上下的兩個數(shù)p、q都

為整數(shù)，并且p與q互質(zhì)即沒有公約數(shù)，例如 、 當(dāng)q=1，

q為任意整數(shù)時， 即為任意整數(shù)?？梢?，在中學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)定

有理數(shù)即整數(shù)和分?jǐn)?shù)就更條理化了。

有時還會碰到這樣的問題： 要等于 無限循環(huán)小數(shù)，因

此大家又規(guī)定無限循環(huán)小數(shù)也屬于有理數(shù)，如 ，在計算器上，

可將1除以17，從而得到0.05882352941176470588235294117 647……即以“0588235294117647”為循環(huán)節(jié)的無限循環(huán)小數(shù)。

等號兩邊是否相等，取決于左邊要等于右邊，同時，右邊也

要等于左邊。在 中，通過計算器首先將2除以3得到了 ，

即左邊等于右邊。如何證明 是否等于 呢？請看下面例題：

例題：將無限循環(huán)小數(shù) 化為分?jǐn)?shù)。

解析： =0.12+0.0012+0.000012……，易判斷此數(shù)列表示一個無窮等比數(shù)列的各項和，而此數(shù)列首相a1=0.12，公比

q=0.01，則 =0.12+0.0012+0.000012+……= 。

使用數(shù)列求和公式方法是將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的常

用方法，同樣的 也可以通過例題中的方法得到 。有人將

其總結(jié)成為一個數(shù)學(xué)小技巧：設(shè) 是個分?jǐn)?shù)， 的循環(huán)節(jié)為6，把6設(shè)為這個分?jǐn)?shù)的分子；在分母上給出與循環(huán)節(jié)的

位數(shù)相同的9的個數(shù)即分母為一個9，就是 。所以可將 化

為 這個分?jǐn)?shù)，約分可得 。

這樣，就可以證明出右邊等于左邊了。所以無限循環(huán)小數(shù)一定可以寫成分?jǐn)?shù)，則無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。顯然，所有的分?jǐn)?shù)都可以寫成無限循環(huán)小數(shù)，而那些能化為無限循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)。

所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)可以互化分?jǐn)?shù)。因此，所有有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。有理數(shù)包括循環(huán)小數(shù)。

二 無理數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)

無限不循環(huán)小數(shù)不能通過上面的方法得到分?jǐn)?shù)。項武義教授說：“無理數(shù)本該叫作‘非比數(shù)’，即無理數(shù)無法用分?jǐn)?shù)表達(dá)?！眴螐淖置嫔侠斫?，學(xué)生們總會覺得無理數(shù)應(yīng)該就是“無理的”。由于學(xué)生以往所學(xué)的概念中絕大部分是肯定概念，這就使得一部分學(xué)生學(xué)習(xí)無理數(shù)定義時很不習(xí)慣，認(rèn)為無理數(shù)應(yīng)該沒有什么存在的價值。圓周率就是無限不循環(huán)小數(shù)3.1415926……，它可以由一個希臘字母π表示。π在幾何學(xué)、物理學(xué)中應(yīng)用十分廣泛。那么無理數(shù)就不是“無理的”。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)。

在學(xué)習(xí)中，經(jīng)常要通過把根式化為小數(shù)來查看大小，在中學(xué)，通過查表只可以得到它的近似值?？赏ㄟ^以下的證明 是無理數(shù)。

假設(shè) 是有理數(shù)，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中有理數(shù)的定義，可

將 設(shè)為 ，p和q互質(zhì)，然后將兩邊平方可得到2q2=p2。

由此式可知：p2里面有質(zhì)數(shù)2，因而p中也應(yīng)含有質(zhì)因數(shù)2，所以可設(shè)p=2k（k是自然數(shù)），即有（2k）2=2q2化簡可得，2k2=q2那么q中也含有質(zhì)數(shù)2的因數(shù)，那么p和q就不是互質(zhì)的，這與題設(shè)是矛盾的，因此假設(shè)不成立。故有 在實數(shù)范圍內(nèi)不是有理數(shù)，而是無理數(shù)。由此可以得出，只有當(dāng) 根號下面的自然數(shù)n不是平方數(shù)，那么 就必為無理數(shù)。

三 結(jié)束語

在實數(shù)范圍內(nèi)，相對于有理數(shù)來說，無理數(shù)不能用分?jǐn)?shù)表示。無理數(shù)的這一屬性就是它的特有屬性。而對于有理數(shù)的循環(huán)小數(shù)來說，無理數(shù)的不循環(huán)性也是其特有的屬性。

需要注意的是，在數(shù)理化計算題中經(jīng)常會要求把結(jié)果通過四舍五入化為與準(zhǔn)確值有差異的近似數(shù)或者估計一個無理數(shù)的值。這樣容易誤導(dǎo)學(xué)生，錯誤認(rèn)為分?jǐn)?shù)可以化為無限不循環(huán)小數(shù)。數(shù)學(xué)教師應(yīng)該多向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，將某分?jǐn)?shù)化為小數(shù)時，要求約值的意義并非等同于把分?jǐn)?shù)化為小數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1]王昆揚(yáng).談中學(xué)數(shù)學(xué)課程中“實數(shù)”[J].數(shù)學(xué)通報，2006（12）

[2]舒興城.談?wù)勚袑W(xué)生理解無理數(shù)概念的困難[J].中等數(shù)學(xué)，1983（4）

[3]江紅光.從證明“2～（1/2）”是無理數(shù)所想到的[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1983（4）

〔責(zé)任編輯：高照〕