周誌元，譚天樂

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233；2.上海市空間智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200233）

0 引言

近年來，小行星探測已成為深空探測中的研究熱點(diǎn)，小行星上有豐富的自然資源；研究其軌道的運(yùn)動機(jī)制，可評估小行星撞擊地球的潛在風(fēng)險。國際上的小行星探測任務(wù)越來越頻繁，國內(nèi)也開展了小行星探測的背景論證。小行星帶位于火星與木星間，距離地球距離很遠(yuǎn)，采用傳統(tǒng)化學(xué)推進(jìn)則需攜帶大量推進(jìn)劑，當(dāng)探測器重量受限時，只能減少有效載荷的占比，因此小行星探測普遍采用小推力電推進(jìn)技術(shù)。小推力軌跡優(yōu)化有別于傳統(tǒng)脈沖推進(jìn)的動力學(xué)模型，給軌跡優(yōu)化帶來了挑戰(zhàn)。軌跡優(yōu)化對航天器設(shè)計有重要的意義和實(shí)際的工程應(yīng)用價值，通過軌跡優(yōu)化能減少航天器的燃料消耗，延長其在軌壽命，在深空探測時能以更短的時間，飛越更多的小行星，獲得更大的科學(xué)回報。目前，常用的軌跡優(yōu)化數(shù)值方法有直接法和間接法。從20世紀(jì)90年代開始，興起的一類智能優(yōu)化算法在全局優(yōu)化方面為軌跡優(yōu)化提供了新思路。本文基于多目標(biāo)小行星小推力軌跡優(yōu)化研究熱點(diǎn)，綜述了小行星探測中的直接法、間接法和智能優(yōu)化算法原理、特點(diǎn)與應(yīng)用。

1 軌跡優(yōu)化問題

航天器軌跡優(yōu)化問題可用一般的最優(yōu)控制數(shù)學(xué)描述表示：對一個給定的系統(tǒng)，尋找控制變量，在其作用下能使系統(tǒng)的性能指標(biāo)最好。

一般，性能指標(biāo)為Bolza型性能指標(biāo)，可表示為

式中：Φ為末值型性能指標(biāo)函數(shù)；L為積分型性能函數(shù)中被積函數(shù)；t0，tf分別為初始和終端時刻；x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，且x（t）∈Rn；u（t）為控制變量，且u（t）∈Rm。滿足系統(tǒng)狀態(tài)方程

邊界條件

等式和（或）不等式約束

2 直接法

直接法通過把控制變量或狀態(tài)變量離散和參數(shù)化，將最優(yōu)控制轉(zhuǎn)換為一個非線性規(guī)劃，再通過數(shù)值方法求解使性能指標(biāo)最優(yōu)參數(shù)，從而獲得最優(yōu)控制問題的解。

直接法的特點(diǎn)是易收斂，無需推導(dǎo)一階最優(yōu)條件；因參數(shù)均有物理意義，便于初值猜測；離散后優(yōu)化變量過多，計算量很大，直接法無法保證求出的是全局最優(yōu)解，易收斂至局部最優(yōu)解。

直接法有多種，主要分三類，區(qū)別是求解參數(shù)的不同（僅求解控制參數(shù)還是同時求解全部或部分狀態(tài)參數(shù)）、數(shù)值積分方法的不同和插值方法的不同［1］。目前發(fā)展的直接法主要有直接打靶法、配點(diǎn)法、偽譜法和微分包含法等。

2.1 直接打靶法

直接打靶法是僅將控制變量在整個時間區(qū)間上離散并參數(shù)化，通過顯示數(shù)值積分獲得狀態(tài)變量，從而求出目標(biāo)函數(shù)，將最優(yōu)控制轉(zhuǎn)為非線性規(guī)劃，用對目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)確定控制變量離散后的待求參數(shù)［2］。

因僅離散控制變量，與其他直接法相比直接打靶法的優(yōu)點(diǎn)是優(yōu)化變量少，計算時間短，可相對快速求解最優(yōu)軌跡問題［3］。但因直接打靶法中的數(shù)值積分區(qū)間為單區(qū)間［t0，tf］，在時間間隔較大時積分精度會降低，增加分段節(jié)點(diǎn)數(shù)又會增加運(yùn)算量。

直接打靶法早期就被用于解決火箭（如大力神、Delta）上升軌跡優(yōu)化和空間飛行器轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化。有學(xué)者用直接打靶法研究了有限推力軌跡優(yōu)化問題：文獻(xiàn)［3］用直接打靶法將最優(yōu)軌跡問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，分析了轉(zhuǎn)化過程中產(chǎn)生的誤差，并將直接打靶法應(yīng)用到最優(yōu)交會問題；文獻(xiàn)［4］綜合了Gauss偽譜法和直接打靶法，研究了高精度月球定點(diǎn)著陸軌道優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化所得最佳著陸軌道可很好滿足邊界和過程約束，計算精度較高，且對初值要求不敏感，收斂速度快；文獻(xiàn)［5］提出了一種多重直接打靶法，是對直接打靶法的一種改進(jìn)，并不單純離散控制變量，而是將節(jié)點(diǎn)處的控制變量和狀態(tài)變量均作為設(shè)計變量，通過分段積分可提高計算精度。

2.2 直接配點(diǎn)法

直接配點(diǎn)法是一種將控制變量和狀態(tài)變量同時離散的方法，最早由HARGRAVES提出。直接配點(diǎn)法將系統(tǒng)整個時間過程劃分為N段，每段的兩個端點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（Node），兩節(jié)點(diǎn)間用多項(xiàng)式代表狀態(tài)變量隨時間的變化關(guān)系，這些多項(xiàng)式屬于Gauss－Lobatt多項(xiàng)式族［6］?？刂谱兞康淖兓话慵俣榫€性，用分段線性函數(shù)表示。

根據(jù)選取的多項(xiàng)式類型、階次和插值與積分方法的不同，直接配點(diǎn)法又可分為低階的梯形法、Simpson法，以及高階的四階、五階方法等。軌道優(yōu)化中，一般常用的是低階方法，如三階Simpson法。

配點(diǎn)法獲得的非線性規(guī)劃模型的優(yōu)化變量維數(shù)多于直接打靶法，但該法更易收斂，精度也有提高。對軌跡優(yōu)化應(yīng)用，早期OTIS軟件中集成了一系列飛行器軌跡優(yōu)化問題的模型，目前已發(fā)展到了OTIS4版本。文獻(xiàn)［7－8］基于直接配點(diǎn)法研究了飛行器再入軌跡優(yōu)化設(shè)計和月球軟著陸軌道快速優(yōu)化，用直接配點(diǎn)法將最優(yōu)控制問題離散化為非線性規(guī)劃問題，應(yīng)用SNOPT軟件包求解參數(shù)最優(yōu)問題，直接配點(diǎn)法對這兩類問題的初值取值不敏感，求解過程有一定實(shí)時性。文獻(xiàn)［9］基于雙積分軌道動力學(xué)模型給出了一種改進(jìn)配點(diǎn)法，在不增加非線性規(guī)劃問題約束條件下，用四階Gauss－Labatto積分式處理系統(tǒng)微分方程，提高了配點(diǎn)法的計算精度，并將此方法用于地球－金星的燃料最省小推力轉(zhuǎn)移軌道問題。文獻(xiàn)［10］基于配點(diǎn)法研究了軌道在線優(yōu)化方法，可得高精度的軌道優(yōu)化結(jié)果，且對狀態(tài)量和控制量的初值選取不敏感，仿真具有實(shí)時性，計算速度快，可滿足在線軌道優(yōu)化的要求。

2.3 偽譜法

偽譜法又稱為正交配點(diǎn)法，也是一種同時離散控制變量和狀態(tài)變量的直接方法，早期源于解決流體力學(xué)問題的光譜分析法。偽譜法用正交多項(xiàng)式對狀態(tài)變量和最優(yōu)控制變量進(jìn)行近似表示，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。

偽譜法可根據(jù)配點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)位置和插值基函數(shù)的不同而分類，在航天航空領(lǐng)域較常見的有Chebyshev偽譜法（CPM）、Legendre偽譜法（LPM）、Gauss偽譜法（GPM）和 Radau偽譜法（RPM），見表1［11］。

表1 不同偽譜法Tab.1 Various orthogonal collocation

偽譜法與直接配點(diǎn)法的不同是采用了全局插值多項(xiàng)式而非分段插值多項(xiàng)式擬合狀態(tài)與控制變量。偽譜法對數(shù)值迭代初值敏感性很低，收斂性非常好。

國內(nèi)外對偽譜法進(jìn)行了研究，偽譜法應(yīng)用很廣，如導(dǎo)彈制導(dǎo)、機(jī)械臂控制、振動阻尼、月面導(dǎo)航、上升段、再入軌和軌道轉(zhuǎn)移的最優(yōu)控制等。文獻(xiàn)［12］證明了Gauss偽譜法中非線性規(guī)劃的KKT條件與離散的哈密頓邊值問題的一階最優(yōu)性條件一致，采用此方法就能使非線性規(guī)劃問題的解滿足間接法的一階最優(yōu)性條件，從而改善了直接法中的不足。基于偽譜法的軌跡優(yōu)化已有實(shí)際應(yīng)用。2006年11月5日和2007年的3月3日，國際空間站（ISS）基于偽譜法的軌跡優(yōu)化，成功完成了2次“零推進(jìn)”大角度姿態(tài)機(jī)動［13］。這兩次成功的應(yīng)用證明了其具有解決高復(fù)雜、非線性最優(yōu)控制問題的能力，以及用于實(shí)際系統(tǒng)的可能性。

2.4 微分包含法

1994年，SEYWALD提出了一種基于微分包含的軌跡優(yōu)化方法［14］。文獻(xiàn)［15］對該方法進(jìn)行了深入研究。它是一種基于隱式積分原理的離散方法，首先將控制變量轉(zhuǎn)化為狀態(tài)變量，之后對狀態(tài)變量進(jìn)行離散化。

作為配點(diǎn)法的一種改進(jìn)方法，微分包含法與配點(diǎn)法OTIS程序有類似的結(jié)構(gòu)。其突出優(yōu)點(diǎn)是僅對狀態(tài)變量進(jìn)行離散，而通過對狀態(tài)變量的變化率的限制將受限控制變量消去［16］。該方法關(guān)注的是狀態(tài)變量和狀態(tài)的變化率，不需要明確的控制變量，這樣就避免了非線性規(guī)劃中的初值猜測，且減少了非線性規(guī)劃問題的參數(shù)空間維數(shù)，使求解的速度更快，利于航天器軌跡優(yōu)化的在線實(shí)現(xiàn)。

在軌跡優(yōu)化中，文獻(xiàn)［17］基于微分包含法研究了小推力行星際任務(wù)設(shè)計問題，并引入高階導(dǎo)數(shù)估計提高了精度和收斂速度。文獻(xiàn)［18］用微分包含法研究了導(dǎo)彈的軌跡優(yōu)化問題，使目標(biāo)區(qū)域估計的不確定性達(dá)到最小。

3 間接法

間接法是基于龐特里亞金極小值原理將最有控制問題式（1）～（4）轉(zhuǎn)為一個哈密頓邊值問題（HBVP）。引入哈密頓函數(shù)

式中：λ（t）為狀態(tài)x（t）的協(xié)調(diào)矢量或伴隨矢量；f［x（t），u（t），t］為系統(tǒng)狀態(tài)方程式（2）的右函數(shù)。邊界條件式（3）包含了初始條件x（t0）＝x0和終值條件N［x（tf），tf］＝0。

設(shè)u＊為最優(yōu)控制，其必要條件是存在一個非零矢量函 數(shù)λ＊（t）（t∈ ［t0，tf］），使u＊（t），λ＊（t），x＊（t），，滿足條件：

a）哈密頓方程組

b）極小值條件

c）終端橫截條件

式中：N為終值條件；υ為未知的拉格朗日乘子，且υ∈Rq。

d）終端約束

間接法一般先基于極小值條件式（8）求出最優(yōu)控制變量關(guān)于協(xié)態(tài)變量和狀態(tài)變量的函數(shù)，然后通過求解哈密頓方程組、終端橫截條件和約束構(gòu)成的一個兩點(diǎn)邊值問題，從而獲得最優(yōu)軌跡x＊（t）和最優(yōu)控制u＊（t）的數(shù)值解。

間接法用于軌跡優(yōu)化問題時解的精度較高，并滿足一階最優(yōu)性條件。但間接法也存在缺點(diǎn)：一是基于龐德李亞金極小值原理推導(dǎo)最優(yōu)解與橫截條件等過程較復(fù)雜和繁瑣。二是求解兩點(diǎn)邊值問題時收斂域很小，致使對未知邊界條件的初值估計精度要求很高，且小行星軌跡優(yōu)化問題本身非常復(fù)雜，用間接法要求估計協(xié)態(tài)變量的初值，而協(xié)態(tài)變量無實(shí)際物理意義，其初始值難以估計，增大使用間接法的難度。三是當(dāng)軌跡優(yōu)化問題中含路徑約束，如多目標(biāo)小行星探測中有探測目標(biāo)小行星的路徑順序等約束，就難以采用間接法，須將路徑約束通過數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)化為等價的終端約束，才能用間接法求解。四是含隱式約束條件時，很難消去相應(yīng)的拉格朗日乘子，計算量將增大。

在20世紀(jì)60年代，間接法就開始用于軌跡優(yōu)化領(lǐng)域。文獻(xiàn)［19］用間接法研究了有限推力最優(yōu)變軌問題。文獻(xiàn)［20］用間接法研究了基于電推進(jìn)系統(tǒng)的最優(yōu)共面軌道轉(zhuǎn)移問題，解決了近地軌道衛(wèi)星在地球暗面的最優(yōu)軌跡問題。文獻(xiàn)［21］用間接法研究了小推力軌道優(yōu)化問題，通過末端橫截條件反向積分伴隨方程迭代求解最優(yōu)解，從而避開了伴隨變量的猜測，并將此方法用于逃逸地心引力場軌道和低軌道變軌的優(yōu)化。文獻(xiàn)［22］針對多目標(biāo)、多任務(wù)小行星探測，用間接法研究了燃料最優(yōu)小推力軌跡優(yōu)化問題。

對兩點(diǎn)邊值問題中的初值估計進(jìn)行了進(jìn)一步研究：針對共面航天器的連續(xù)推力最優(yōu)控制，文獻(xiàn)［23］提出了一種共態(tài)變量初值的近似估計方法，可用于邊值問題中的初值估計；文獻(xiàn)［24］研究了初始伴隨變量估計問題，提出了一種可近似估計所有初始伴隨變量的方法，通過時間最優(yōu)小推力軌道轉(zhuǎn)移問題驗(yàn)證了方法的可行性；文獻(xiàn)［25］針對小推力軌道設(shè)計提出了一種無需初值猜測的間接法，有效提高了計算效率，適于大批量的軌道搜索任務(wù)。

4 智能優(yōu)化算法

智能優(yōu)化算法是通過模擬或揭示某些自然現(xiàn)象或過程發(fā)展而來的優(yōu)化算法，涉及了數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、人工智能、神經(jīng)科學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)和計算機(jī)科學(xué)等學(xué)科。自20世紀(jì)80年代以來，智能優(yōu)化算法發(fā)展迅速，進(jìn)化算法、禁忌搜索算法、粒子群算法、模擬退火算法、蟻群算法等新的優(yōu)化算法不斷涌現(xiàn)，在眾多領(lǐng)域中都有應(yīng)用。90年代以來，因智能優(yōu)化算法相對經(jīng)典優(yōu)化算法，具全局、并行、高效特點(diǎn)，有更好的全局收斂性，在航天器軌跡方面發(fā)展迅速，成為了軌跡優(yōu)化的一個研究熱點(diǎn)。

4.1 遺傳算法

在智能優(yōu)化方法中進(jìn)化算法的應(yīng)用最廣，進(jìn)化算法主要包括遺傳算法、進(jìn)化策略和進(jìn)化規(guī)劃等，其中遺傳算法的應(yīng)用最成功、最廣泛。遺傳算法隨機(jī)產(chǎn)生稱為種群（或群體）的一組初始解，開始進(jìn)行搜索。種群中的每個個體是問題的一個解，稱為染色體。染色體通過一代代的選擇、交叉、變異等遺傳操作不斷進(jìn)化，此過程稱為遺傳。遺傳算法不是一般的隨機(jī)搜索算法，染色體的好壞是用個體適應(yīng)度函數(shù)評價，通過適應(yīng)度函數(shù)判定在種群中選擇部分適應(yīng)性較好的個體，與交叉和變異產(chǎn)生的新個體組成下一代種群，繼續(xù)進(jìn)化過程，最終進(jìn)化到“最適應(yīng)環(huán)境”的個體，獲得問題的最優(yōu)解或次優(yōu)解。

基于遺傳算法的軌跡優(yōu)化，需經(jīng)以下步驟。

a）首先需要考慮問題的參數(shù)化。航天器軌跡優(yōu)化問題一般是最優(yōu)控制問題，搜索空間是泛函空間，遺傳算法不能直接用于求解最優(yōu)控制問題。需要將這類動態(tài)優(yōu)化問題進(jìn)行參數(shù)化，轉(zhuǎn)為靜態(tài)優(yōu)化問題便于編碼和解碼。參數(shù)化方法是飛行器軌跡優(yōu)化和遺傳算法間的橋梁，其精度直接關(guān)系最優(yōu)軌跡的好壞程度［26］。

b）對染色體進(jìn)行編碼。在遺傳算法中描述問題的解，即將一個問題的解從其解空間轉(zhuǎn)換到遺傳算法能處理的搜索空間的轉(zhuǎn)換方法稱為編碼［27］。編碼決定了染色體的排列形式、個體從搜索空間的基因型變化到解空間的表現(xiàn)型時的解碼方法、交叉算子和變異算子等遺傳算子的運(yùn)算方法，以及遺傳進(jìn)化運(yùn)算的效率。

c）設(shè)計適應(yīng)度函數(shù)，計算每個個體的適應(yīng)度。在遺傳算法中，模擬自然選擇的過程是通過計算個體適應(yīng)度函數(shù)值評判的，設(shè)計合適的適應(yīng)度函數(shù)直接關(guān)系最優(yōu)解的好壞。智能優(yōu)化算法基本針對無約束優(yōu)化問題，而航天器軌跡優(yōu)化是具多個復(fù)雜約束的非線性最優(yōu)控制問題，須結(jié)合約束處理，設(shè)計合適的適應(yīng)度函數(shù)表示傳統(tǒng)優(yōu)化方法中的目標(biāo)函數(shù)。目前，最常用的約束處理技術(shù)是罰函數(shù)法，其原理簡單，實(shí)現(xiàn)方便，對問題本身無苛刻要求［28］。

d）一般的遺傳算法包含選擇、交叉和變異三個基本操作。遺傳算法使用選擇（或稱復(fù)制）操作優(yōu)勝劣汰群體中的個體。適應(yīng)度較高的個體被遺傳到下一代群體中的概率較大，適應(yīng)度較低的個體被遺傳到下一代群體中的概率較小。交叉操作是指對兩個相互配對的染色體按某種方式相互交換其部分基因，而形成兩個新個體。變異操作是指對個體的某些基因上的基因值作變動，形成一個新個體。使用變異算子可改善遺傳算法的局部搜索能力，維持群體的多樣性，防止出現(xiàn)早熟，陷入局部最優(yōu)解。

e）遺傳算法中需選擇的遺傳控制參數(shù)主要有個體編碼串長度、群體大小、交叉概率、變異概率和終止代數(shù)。

遺傳算法是一種高度并行、不依靠梯度信息、自適應(yīng)的全局搜索優(yōu)化算法，具較強(qiáng)的魯棒性，能快速排除適應(yīng)度較差的個體，加快尋優(yōu)速度，并避免了傳統(tǒng)優(yōu)化方法的初值猜測。文獻(xiàn)［29］基于遺傳算法研究了航天器小推力軌跡轉(zhuǎn)移問題。LARRY提出的遺傳算法雖然可避免經(jīng)典算法中初值估計問題，但尋優(yōu)精度劣于經(jīng)典算法［30］。文獻(xiàn)［31］基于遺傳算法研究了月球衛(wèi)星小推力變軌，解決了從雙曲線軌道到圓軌道的燃料最省問題。

遺傳算法也有缺點(diǎn)，如早熟、局部尋優(yōu)能力較差。對航天器軌跡優(yōu)化此類復(fù)雜問題，常需要對遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，利用經(jīng)典算法局部尋優(yōu)能力強(qiáng)的特點(diǎn)，構(gòu)成混合遺傳算法，彌補(bǔ)遺傳算法的不足。常用的方法有串行混合和并行混合。國內(nèi)外對遺傳算法改進(jìn)進(jìn)行了大量研究：文獻(xiàn)［32］提出了一種高效的全局優(yōu)化混合遺傳算法，結(jié)合局部優(yōu)化方法與遺傳算法，以改善遺傳算法局部尋優(yōu)的能力，使尋優(yōu)速度更快更高效，特別適于工程系統(tǒng)中大規(guī)模優(yōu)化問題；文獻(xiàn)［33］基于混合遺傳算法對機(jī)翼優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行了研究，將牛頓迭代作為局部優(yōu)化與遺傳算法混合，提高了局部尋優(yōu)能力和尋優(yōu)速度。

4.2 模擬退火算法

模擬退火算法是KIRKATRICK等在20世紀(jì)80年代初提出的，這是一種模擬固體退火過程的啟發(fā)式隨機(jī)搜索優(yōu)化方法。在某一初始溫度下，固體的溫度慢慢下降，當(dāng)溫度達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，固體的內(nèi)能最小，基于上述邏輯，用固體的狀態(tài)表示問題的解x，固體狀態(tài)相對應(yīng)的能量E表示目標(biāo)函數(shù)f（x），溫度t為控制參數(shù)。從初始溫度t0開始降溫，對當(dāng)前溫度ti的解xi計算對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)f（xi），判斷是否接受，若f（xi）＜fmin，則接受并更新最優(yōu)解，若不成立則產(chǎn)生新溫度，重復(fù)上述過程，經(jīng)反復(fù)迭代最終收斂至穩(wěn)定的溫度，得到全局最優(yōu)解xmin，fmin為相應(yīng)的最優(yōu)值。

模擬退火的搜索結(jié)合了具有概率突跳性的Metropolis準(zhǔn)則，在收斂至局部最優(yōu)解時能概率性地跳出，最終收斂到全局最優(yōu)解，因此模擬退火算法的全局收斂性優(yōu)于遺傳算法，可避免出現(xiàn)早熟，這是其最突出的優(yōu)點(diǎn)。但模擬退火算法的收斂速度較慢，難以在短時間得到最優(yōu)解，且獲得最優(yōu)解的條件很高，若初始溫度不夠高，最終溫度不夠低，或降溫時間不夠長，往往僅能獲得近似最優(yōu)解。

LU Ping是較早基于模擬退火方法研究軌跡優(yōu)化問題的學(xué)者，并將模擬退火算法用于飛行器軌跡優(yōu)化，并證明這種算法是解決非光滑軌跡優(yōu)化問題的一種強(qiáng)大的工具，有很好的魯棒性和通用性［34］。文獻(xiàn)［35］基于模擬退火算法研究了最優(yōu)控制的全局優(yōu)化問題，用多重參數(shù)化法將最優(yōu)控制問題參數(shù)化，用非可微函數(shù)法處理約束，對模擬退火算法進(jìn)行改進(jìn)，使其能用于求解非線性約束優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［36］采用改進(jìn)的模擬退火算法求解單航天器對空間多目標(biāo)多次接近的最優(yōu)接近軌道。因模擬退火算法的隨機(jī)性不能保證終止解是整個搜索過程中最優(yōu)解，故加入記憶器記錄整個過程中的最優(yōu)解，結(jié)果證明了最優(yōu)接近軌道的存在性。由此，模擬退火算法可用于多目標(biāo)小行星探測的軌道設(shè)計，關(guān)鍵是接近各空間目標(biāo)的優(yōu)先級不一致，在軌道設(shè)計過程中需考慮優(yōu)先接近權(quán)值設(shè)計。

4.3 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是KENNEDY，EBERHART于1995年提出的［37］。粒子群算法源于模擬鳥群、魚群等動物覓食過稱中的行為，它們會根據(jù)同伴的運(yùn)動狀態(tài)，調(diào)整自己的運(yùn)動狀態(tài)。將鳥群中每只鳥視作一個粒子，粒子的信息包括當(dāng)前位置、當(dāng)前速度、自身搜索過的最好位置、群體搜索過最好的位置。粒子均由一個適應(yīng)度函數(shù)決定其在空間中的適應(yīng)度值。粒子通過在“飛行”過程中與同伴的信息交互，更新并記憶有最好位置的粒子并追隨它，不斷向最優(yōu)點(diǎn)位置靠近，最終找到最優(yōu)位置。

粒子群算法簡單，引起研究者的關(guān)注，在基本粒子群算法基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了許多改進(jìn)算法。SHI，EBERHART提出了通過調(diào)整慣性因子w大小調(diào)整算法的搜索范圍，平衡全局搜索和局部搜索的矛盾，當(dāng)w較大時可對空間進(jìn)行較大范圍的搜索，當(dāng)w較小時對空間進(jìn)行局部小范圍的搜索［38］。該方法稱為標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，之后的多個改進(jìn)方法均在此基礎(chǔ)上進(jìn)行。

粒子群算法概念較簡單，易實(shí)現(xiàn)，應(yīng)用廣泛。對軌跡優(yōu)化，文獻(xiàn)［39］研究了粒子群算法與模擬退火算法和差分進(jìn)化算法的混合算法，并將其用于小行星小推力軌跡優(yōu)化問題，指出PSO在優(yōu)化復(fù)雜問題時由于對參數(shù)選擇的敏感性，很難獲得近似最優(yōu)解，需用混合算法對其進(jìn)行改善［39］。文獻(xiàn)［40］通過地球到木星的借力飛行軌跡優(yōu)化問題比較了粒子群算法和進(jìn)化差分算法，結(jié)果證明了兩種方法在軌跡優(yōu)化中的可行性與可靠度［40］。文獻(xiàn)［41］基于粒子群算法研究了航天器再入軌跡問題，并獲得了近似最優(yōu)解。

4.4 蟻群算法

1991年，DORIGO等通過觀察螞蟻尋覓食物的過程，模仿蟻群覓食的策略和特點(diǎn)，建立了蟻群算法。蟻群在覓食過程中會在經(jīng)過的路上留下與食物源質(zhì)量成比例的信息素，并能敏感信息素是否存在及其濃度大小，螞蟻選擇信息素濃度較大的方向移動的概率較大，這樣就形成了一種正反饋。路徑上信息素的濃度以一定速度消散，螞蟻?zhàn)哌^的路徑越長，濃度就越低，而離食物越近、食物越多的路徑上信息素濃度大，就能吸引越來越多螞蟻，信息素的濃度會越來越大，最后蟻群就能找到覓食的最優(yōu)路徑。

蟻群算法具有全局優(yōu)化能力，采用分布式計算，可在空間不同點(diǎn)進(jìn)行獨(dú)立搜索，不依賴于問題的具體數(shù)學(xué)表達(dá)方式，具有自組織的特點(diǎn)和較強(qiáng)的魯棒性。但算法也存在缺點(diǎn)：搜索時間較長，收斂速度較慢，易陷入局部最優(yōu)。因此，在基本蟻群算法的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了多種改進(jìn)算法，典型的有最大最小螞蟻系統(tǒng)，它設(shè)定了信息素的上下限，避免了因局部路徑上的信息素太大造成的早熟問題［42］。自適應(yīng)蟻群算法對基本蟻群算法中的參數(shù)采用自適應(yīng)調(diào)整策略，一定程度改善了算法的不足，加快了搜索速度［43］。

蟻群算法最初的應(yīng)用是解決旅行商問題，之后也被用于航天器軌跡優(yōu)化。文獻(xiàn)［44］利用蟻群算法研究了雙脈沖地球－火星轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計優(yōu)化問題。在基本算法的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，不僅找到了全局最優(yōu)解，還找到了局部最優(yōu)解4個，增加了發(fā)射窗口和發(fā)射重量選擇機(jī)會。文獻(xiàn)［45］利用增加了局部搜索策略的十進(jìn)制蟻群算法研究了燃料最優(yōu)月球軟著陸軌跡優(yōu)化問題，并與自適應(yīng)模擬退火算法進(jìn)行比較，結(jié)果表明十進(jìn)制蟻群算法的收斂速度快很多。文獻(xiàn)［46］將基本蟻群算法與禁忌搜索混合，提出一種改進(jìn)蟻群算法，并將其用于多次重力助推軌跡優(yōu)化問題，改進(jìn)算法的尋優(yōu)速度迅速，且精度很高。文獻(xiàn)［47］提出了一種多信息素權(quán)重與信息素更新結(jié)合的改進(jìn)蟻群算法，并將其用于研究多目標(biāo)優(yōu)化問題，用雙目標(biāo)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法有效，可進(jìn)一步用于更復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問題。

4.5 多目標(biāo)進(jìn)化算法

航天器軌跡優(yōu)化問題具有多個復(fù)雜約束，部分約束?；ハ嗝?，如燃料最優(yōu)與時間最優(yōu)。與傳統(tǒng)單目標(biāo)優(yōu)化問題不同，多目標(biāo)優(yōu)化問題的解是一個由眾多Pareto最優(yōu)解組成的解集。目前，多目標(biāo)進(jìn)化算法是求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的一種有效手段，與傳統(tǒng)基于目標(biāo)權(quán)重分配的優(yōu)化算法相比，多目標(biāo)進(jìn)化算法計算效率高，無需依賴先驗(yàn)知識，是近年來多目標(biāo)優(yōu)化算法中的熱門研究方向。

20世紀(jì)90年代后，提出了不同的多目標(biāo)進(jìn)化算法，如矢量評價遺傳算法（VEGA）、多目標(biāo)進(jìn)化算法（MOGA）、非劣分類遺傳算法（NSGA）、小生境Pareto遺傳算法（NPGA、NPGA－II）、強(qiáng)度 Pareto進(jìn)化算法（SPEA、SPEA－II），以及經(jīng)典的 NSGA－II等。在航天器軌跡優(yōu)化中應(yīng)用最多的是NSGA，NSGA－II。NSGA－II是迄今為止最優(yōu)秀的多目標(biāo)進(jìn)化算法之一，其最突出的特點(diǎn)是采用了快速非支配排序方法和排擠機(jī)制，能使搜索收斂至整個Pareto前沿面，同時保證Pareto最優(yōu)解的多樣性［48］。文獻(xiàn)［49］基于多目標(biāo)進(jìn)化算法研究了小推力深空轉(zhuǎn)移問題。文獻(xiàn)［50］研究了多目標(biāo)最優(yōu)交會問題。文獻(xiàn)［51］基于NSGA－II研究了RLV多目標(biāo)再入軌跡優(yōu)化問題。

5 結(jié)束語

本文綜述了典型的航天器軌道優(yōu)化設(shè)計方法，分析了其優(yōu)缺點(diǎn)并介紹了其在小行星軌跡中的應(yīng)用。間接法解的精度高，但求解兩點(diǎn)邊值問題十分困難，目前有學(xué)者正開展進(jìn)一步的研究以改善間接法求解困難的缺點(diǎn)。直接法可避免兩點(diǎn)邊值問題的求解，但不能保證得到的是原軌道問題的最優(yōu)解。近年來，偽譜法受到了廣泛的關(guān)注并已在實(shí)際工程中獲得應(yīng)用，為直接法在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用奠定了更深的基礎(chǔ)。智能優(yōu)化算法作為近年興起的一類新型優(yōu)化算法，其全局收斂的特點(diǎn)為軌跡優(yōu)化問題提供了新思路并不斷涌現(xiàn)出新的混合改進(jìn)算法。目前，針對軌跡優(yōu)化，尚無一種完全通用的全局優(yōu)化方法。隨著與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的結(jié)合，以及智能優(yōu)化算法自身的不斷改善，在未來混合智能優(yōu)化算法將在航天器軌跡優(yōu)化中有更多發(fā)展與應(yīng)用。隨著深空探測的發(fā)展，基于智能優(yōu)化算法的多目標(biāo)小行星軌跡優(yōu)化將成為研究的熱點(diǎn)。

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