何 蘋，王瑩瑩，賀 波，張圣杰

（空軍工程大學(xué)，陜西 西安 710051）

0 引言

利用高動態(tài)臨近空間平臺的的高度、速度優(yōu)勢，從臨近空間平臺發(fā)射無動力攻擊器，從頂部攻擊敵方高價(jià)值目標(biāo)是一種有前景的作戰(zhàn)方式［1］。彈道建模是攻擊器作戰(zhàn)性能研究的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)彈道建模中，因?qū)椛涑滩贿h(yuǎn)，彈道高度較低，經(jīng)常對影響彈道的某些因素作一些假設(shè)，如直接應(yīng)用地面測得的空氣動力系數(shù)曲線，用插值法確定氣動力系數(shù)；將地球視作平面，忽略地球曲率的影響，不考慮地球橢球體造成的影響；忽略地球自轉(zhuǎn)的影響等［2］。在常規(guī)導(dǎo)彈彈道研究中，這些因素的影響較小，簡化假設(shè)是合理的。對遠(yuǎn)程導(dǎo)彈彈道建模的研究，為臨近空間無動力攻擊器彈道建模提供了參考。文獻(xiàn)［3］用近似法對全球到達(dá)高超聲速飛行器的彈道特性進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)［4］針對遠(yuǎn)程彈箭飛行空域、速度的跨度和變化大的特點(diǎn)，對遠(yuǎn)程彈箭彈道特性進(jìn)行了研究。本文綜合考慮高空氣動力、重力加速度隨高度與緯度的變化，地球自轉(zhuǎn)，以及地表曲率等因素對臨近空間無動力攻擊器彈道的影響，并用仿真計(jì)算分析上述因素的影響程度。

1 臨近空間無動力攻擊器彈道影響因素

1.1 空氣動力模型

計(jì)算作用在攻擊器上的空氣動力，關(guān)鍵是確定空氣動力系數(shù)。攻擊器小攻角、小側(cè)滑角飛行時(shí)，可近似認(rèn)為

式中：CD，CL，CZ分別為阻力、升力和側(cè)力系數(shù)；α，β分別為攻角和側(cè)滑角為升力系數(shù)梯度；為側(cè)力系數(shù)梯度；為擬合系數(shù)；CD0為零升阻力系數(shù)，是飛行馬赫數(shù)Ma與飛行高度h的函數(shù)［4－6］。研究發(fā)現(xiàn)：攻擊器超聲速飛行時(shí)，CD0隨Ma變化趨勢符合Logistic下降型曲線的特點(diǎn)，隨h變化趨勢符合Logistic上升型曲線的特點(diǎn)，因此用Logistic曲線擬合CD0［7］。

高度相同時(shí)（h＝0km），分別用文獻(xiàn)［6］中的擬合公式和Logistic曲線擬合CD0的相對誤差見表1。Ma為3時(shí)，分別用文獻(xiàn)［6］中的擬合公式和Logistic曲線擬合CD0的相對誤差見表2，表中原始數(shù)據(jù)由文獻(xiàn)［4］中數(shù)據(jù)插值獲得。

由表1、2可知：與文獻(xiàn)［6］的擬合公式相比，Logistic曲線對臨近空間攻擊器CD0的擬合精度更高。因此，本文臨近空間無動力攻擊器彈道建模中，CD0采用Logistic擬合公式

式中：l為彈形系數(shù)。

1.2 重力加速度計(jì)算模型

地球?qū)嶋H是一橢球體，重力加速度可表示為

式中：φs為地心緯度；a為橢球體長半軸長度；J為地球一階扁率系數(shù)，且J＝1.5J2；f為引力常數(shù)；M為地球質(zhì)量；q為赤道上一點(diǎn)的離心慣性力與重力之比值，且q＝ω2a3／（fM）；r為攻擊器質(zhì)心至地心的距離，且r＝R＋h。此處：J2為地球形狀動力學(xué)系數(shù)；ω為地球自轉(zhuǎn)角速度；R為地面點(diǎn)到地心的距離，且

其中：為橢球體扁率。

對式（3），J＝0時(shí)，可得將地球視為圓球體時(shí)重力加速度gpel的表達(dá)式為

式中：為地球平均半徑；r＝＋h。

橢球體地理緯度Bell，φs與μ的關(guān)系可表示為

式中：μ為地球重力線與地心矢徑間的夾角。

對式（6），J2＝0時(shí)，可得圓球體的地理緯度Bpel，φs的關(guān)系可表示為

由式（3）、（5）、（6）、（7），采用牛頓迭代法，可計(jì)算臨近空間攻擊器處于不同高度（0～60km）、不同地理緯度（10°～60°），考慮與不考慮地球扁率時(shí)重力加速度的差異。經(jīng)計(jì)算，在高度60km、北緯30°時(shí)，地球扁率對重力加速度的影響最大，但差值僅0.121 96%。因此，在臨近空間無動力攻擊器彈道建模中，忽略地球扁率的影響，將地球視為圓球體。則g的表達(dá)式為

表1 相同高度零升阻力系數(shù)擬合Tab.1 Coefficients of zero-lift drag on the same height

表2 相同馬赫數(shù)零升阻力系數(shù)擬合Tab.2 Coefficients of zero-lift drag wit the same Math number

1.3 考慮地球曲率及自轉(zhuǎn)影響

將地球視為旋轉(zhuǎn)的圓球體，考慮離心慣性力、柯氏慣性力和牽連慣性力對攻擊器彈道的影響［8］。假設(shè)攻擊器在赤道平面內(nèi)水平飛行，此時(shí)攻擊器彈道傾角θ＝0°，φs＝0°，則

式中：m為攻擊器質(zhì)量；vm為攻擊器速度；D為空氣阻力；L為空氣升力。

可見，離心慣性力的影響表現(xiàn)為m（vm）2／r，與vm平方成正比，與距離r成反比；柯氏慣性力的影響表現(xiàn)為2mvmω，與vm成正比，與r無關(guān)；牽連慣性力的影響表現(xiàn)為mω2r，與r成正比，與vm無關(guān)。

設(shè)攻擊器飛行高度分別為7，30，60km，在每一高度飛行速度分別為200，1 000，1 500，2 000m／s，計(jì)算離心慣性力、柯氏慣性力、牽連慣性力與重力之比，結(jié)果見表3。由表3可知：隨著攻擊器飛行高度增大，三項(xiàng)附加力對攻擊器彈道的影響略增，但不明顯；從三項(xiàng)附加力的影響程度看，離心慣性力的影響最大，柯氏慣性力的影響次之，牽連慣性力的影響最小。其中牽連慣性力對攻擊器彈道的影響最大值僅0.356%。因此，在臨近空間無動力攻擊器彈道建模中，考慮離心慣性力、柯氏慣性力攻擊器彈道的影響，忽略牽連慣性力的影響。

表3 三部分附加力對攻擊器彈道的影響Tab.3 Analysis of the influence of additional force on pursuer trajectory

2 臨近空間無動力攻擊器修正彈道建模

在常規(guī)彈道模型的基礎(chǔ)上，綜合考慮高空空氣動力、重力加速度隨高度與緯度的變化、地球曲率及自轉(zhuǎn)等因素的影響，可得臨近空間無動力攻擊器質(zhì)心在發(fā)射坐標(biāo)系中的動力學(xué)方程組

式中：ρ為空氣密度；θ為攻擊器彈道傾角；η為極坐標(biāo)角；ψv為彈道偏角；L為空氣升力；Z為空氣側(cè)力。本文只給出考慮以上因素的變化部分，常規(guī)彈道的動力學(xué)模型參考文獻(xiàn)［2］。

3 仿真結(jié)果與分析

為校驗(yàn)本文建立的臨近空間無動力攻擊器彈道模型的合理性，并分析高空空氣動力、重力加速度隨高度與緯度的變化、地球曲率及自轉(zhuǎn)等因素對攻擊器彈道的影響，分別對綜合考慮與不考慮上述因素的彈道模型進(jìn)行仿真。仿真條件為：臨近空間平臺高度42km，以速度1 800m／s、發(fā)射角0°發(fā)射無動力攻擊器，攻擊距離150km外、高度10km，以Ma＝0.7、半徑50km作圓周巡航的目標(biāo)，采用比例導(dǎo)引彈道，比例系數(shù)為4。三自由度彈道如圖1所示。

由圖1可知：兩種彈道有較大差異。在相同發(fā)射條件下，攻擊器采用常規(guī)彈道模型時(shí)，攻擊器、目標(biāo)遭遇點(diǎn)的坐標(biāo)為（149 100，10 010，22 740）m，采用本文的修正彈道模型，攻擊器、目標(biāo)遭遇點(diǎn)的坐標(biāo)為（149 200，8 253，19 820）m。兩種彈道模型仿真中飛行性能見表4。由表4可知：末速度相差9.4%，平均速度相差2.0%，作戰(zhàn)飛行時(shí)間相差1.9%，對臨近空間無動力攻擊器來說，此差別不容忽視。因此，對臨近空間攻擊器彈道建模，有必要綜合考慮高空空氣動力、重力加速度隨高度與緯度的變化、地球曲率及自轉(zhuǎn)等因素的影響。

圖1 三自由度理想彈道Fig.1 Three-axis normal trajectory

表4 兩種彈道模型對應(yīng)攻擊器飛行性能指標(biāo)Tab.4 Flight performance index result of trajectory models

4 結(jié)束語

針對臨近空間無動力攻擊器的特殊飛行情況，基于盡可能減小誤差的原則，本文對彈道模型的精確化進(jìn)行了研究。定量分析了高空空氣動力、重力加速度隨高度與緯度的變化、地球曲率及自轉(zhuǎn)等因素對攻擊器彈道的影響，并建立了適于臨近空間無動力攻擊器的修正彈道模型。仿真結(jié)果表明，綜合考慮上述因素是必要的。研究結(jié)果對臨近空間攻擊器總體方案設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值。

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