石 薇，王海燕

（上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233）

0 引言

近年來，以ABGRALL，DECONINCK等為首的國外學(xué)者逐漸發(fā)展出一種新的數(shù)值計算空間離散格式——殘量分布格式（RD格式），該格式主要用于三角形網(wǎng)格和四面體網(wǎng)格［1－3］。殘量分布格式的優(yōu)點主要有：間斷面處可得到高分辨率解；任意非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，在節(jié)點與其緊鄰的節(jié)點構(gòu)成的緊湊單元上可實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)流場的空間二階精度；數(shù)值迎風(fēng)過程能真實反映多維物理信息；對網(wǎng)格的敏感度較低［4－5］。殘量分布格式的優(yōu)點突出，導(dǎo)致更多的國外研究學(xué)者聚焦于這種格式［6－7］。本文對殘量分布格式進行了研究，討論了標(biāo)量方程和Euler方程殘量分布格式的窄格式（N格式）、低擴散對流格式（LDA格式）和正流恒定格式（PSI格式）三種形式的性能［5］。

1 殘量分布格式

殘量分布格式構(gòu)建主要分為兩大步驟：一是由存儲在網(wǎng)格節(jié)點上的狀態(tài)參數(shù)計算出三角單元的殘量，二是將三角單元殘量按一定比例分配至單元所在的每個節(jié)點，更新節(jié)點參數(shù)［4］。

1.1 標(biāo)量方程

在二維空間Ω?R2中，標(biāo)量守恒方程

的準(zhǔn)線性形式為

式中：uh＝ ∑iuiξi；▽uh為常數(shù)為三角單元平均平流速度，且。此處：ξi為與節(jié)點i相關(guān)的線性形狀函數(shù)。由守恒線性化變換可得

圖1 節(jié)點單元Fig.1 Dual cell around a vertex

圖2 三角形內(nèi)法矢量Fig.2 Triangle with scale inward normals

將ΦT按一定的比例分配到每個節(jié)點，有

由此可得殘量分布格式的一般顯式形式為

三角形的每個節(jié)點分配三角單元殘量的過程，需遵循一定的設(shè)計原則：

a）迎風(fēng)特性，若ki≤0，則（Φi）T＝0；

b）線性保留條件，（Φi）T（uh）＝Θ（h3）；

c）單調(diào)性，若（Φi）T＝ ∑jcij（ui－uj），則cij≥0。

表1 殘量計算公式與格式特性Tab.1 Design principle of residual distribution schemes

1.2 Euler方程

在二維空間Ω?R2中，Euler守恒方程

的二維準(zhǔn)線性形式為

根據(jù)殘量分布格式的設(shè)計原則，可得Euler方程的N，LDA，PSI格式計算公式分別為

2 算例

2.1 旋轉(zhuǎn)余弦和旋轉(zhuǎn)柱體

旋轉(zhuǎn)余弦和旋轉(zhuǎn)柱體是二維線性非穩(wěn)態(tài)平流方程數(shù)值測試的典型算例［8］。模擬過程是余弦斜坡和柱體在以原點為中心的圓形區(qū)域內(nèi)作周期性圓周運動。

表2 旋轉(zhuǎn)余弦和旋轉(zhuǎn)柱體最大與最小解Tab.2 Min and max solutions for rotating cosine and cylinder test case

圖3 旋轉(zhuǎn)余弦數(shù)值解Fig.3 Solutions for rotating cosine hill after one revolution

2.2 縮放通道

2.3 平面葉柵

圖4 旋轉(zhuǎn)柱數(shù)值解Fig.4 Solutions for rotating cylinder after one revolution

圖5 網(wǎng)格與激波位置Fig.5 Mesh and position of shock wave

圖6 壁面靜壓力分布Fig.6 Distributions of pressure along curve wall

圖7 壁面馬赫數(shù)分布Fig.7 Distributions of Mach number along curve wall

圖8 葉柵計算網(wǎng)格Fig.8 Mesh of cascade for computation

3 結(jié)束語

圖9 靜壓等值線Fig.9 Static pressure contours

圖10 葉柵壁面靜壓力分布Fig.10 Distributions of static pressure alongxdirection

圖11 葉柵壁面馬赫數(shù)分布Fig.11 Distributions of Mach number along x direction

本文研究了一類新的數(shù)值離散格式，并與傳統(tǒng)中心差分、迎風(fēng)格式進行了比較。結(jié)果證明：該格式有較高的精度，能反映真正的多維物理信息，較傳統(tǒng)擬多維迎風(fēng)格式更接近物理事實，對網(wǎng)格的敏感度較低，在求解復(fù)雜物面條件下，比傳統(tǒng)迎風(fēng)格式有優(yōu)勢，但該格式時間消耗較傳統(tǒng)迎風(fēng)格式大，主要因為每個節(jié)點需進行多次的矩陣求逆。本文PSI格式的構(gòu)造方法簡單，但在極少數(shù)情況計算不準(zhǔn)確。

［1］ VAN DER WEIDE E，DECONINCK H，ISSMANNE，etal.Fluctuation splitting schemes for multidimensional convection problem：an alternative to finite volume and finite element methods［J］.Computational Mechanics，1999，23（2）：199-208.

［2］ DECONINCK H，SERMEUS K，ABGRALL R.Status of multidimensional upwind residual distribution schemes and applications in aeronautics［R］.AIAA，CP 2000-2328.

［3］ ABGRALL R，MEZINE M.Construction of secondorder accurate monotone and stable residual distribution schemes for steady problems［J］.Journal of Computational Physics，2004，195：474-507.

［4］ CSIK A，RICCHIUTO M，DECONINCK H，etal.Space-time residual distribution schemes for hyperbolic conservation laws［R］.AIAA，2001-2617.

［5］ ABGRALL R.Toward the ultimate conservative scheme：following the quest［J］.J Comput Phys，2001，167：277-315.

［6］ JCC H，LMC G.A multidimensional upwind matrix distribution scheme for conservation laws［J］.Comput Fluids，2004；33（5-6）：755-70.

［7］ ASLAN N.A visual fluctuation splitting scheme for magneto hydrodynamics with a new sonic fix and Euler limit［J］.Journal of Computational Physics，2004，197：1-27.

［8］ ABGRALL R，MEZINE M.Construction of second order accurate monotone and stable residual distribution schemes for unsteady flow problems［J］.J Comput Phys，2003，188（1）：16-55.

［9］ DOBES J，RICCHIUTO M，DECONINCK H.Implicit space-time residual distribution method for unsteady laminar viscous flow［J］.Computers ＆ Fluids，2005，34：593-615.