楊勤利，盧 山，朱思莉，夏永江

（1.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240；2.上海航天控制技術(shù)研究所 上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室，上海 200233；3.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109）

0 引言

在空間目標(biāo)偵察、在軌服務(wù)等任務(wù)的需求牽引下，航天器的自主交會技術(shù)得到廣泛的重視和開發(fā)。從早期以人手動操作為主的交會對接，逐漸向自主性、多樣性發(fā)展［1－2］。具體表現(xiàn)在：整個任務(wù)期間可完全依靠星上自主完成，地面站僅起監(jiān)控作用；從簡單的交會對接發(fā)展成具備繞飛、定點伴飛等多種能力的多任務(wù)模式。

在原有載人交會對接的基礎(chǔ)上對自主交會技術(shù)展開了大量的演示驗證項目，如美國的DART、軌道快車，日本的ETS－VII，歐洲的ROGER等，均要求機動平臺具有近距離定點伴飛能力，可對目標(biāo)進行偵察、捕獲等在軌操作［3］。目前國外初步掌握了對處于自由飛行狀態(tài)的目標(biāo)進行自主接近和定點伴飛技術(shù)，可用于工程實際任務(wù)。

針對目標(biāo)存在機動的定點伴飛研究其潛在的用途，工程實際應(yīng)用價值受到關(guān)注。因目標(biāo)機動的控制力大小和方向未知，對合作目標(biāo)的自主定點伴飛控制方法的控制效果的影響較大，甚至無法完成伴飛任務(wù)。文獻(xiàn)［4］對目標(biāo)機動的空間攔截進行了研究，在控制律設(shè)計中考慮將目標(biāo)機動的加速度作為未知量，達(dá)到理想的控制效果。但對目標(biāo)機動時的定點伴飛，目前國內(nèi)外研究較少，其中的關(guān)鍵技術(shù)有待攻克。

本文對目標(biāo)機動條件下機動目標(biāo)的定點伴飛進行了研究。

1 不確定系統(tǒng)

1.1 相對軌道動力學(xué)

建立目標(biāo)自由飛行時的追蹤星定點伴飛相對軌道動力學(xué)方程。相對位置矢量如圖1所示。圖中：T為目標(biāo)星；C為追蹤星；D為定點伴飛的目標(biāo)點。定義軌道坐標(biāo)系So：原點為目標(biāo)星質(zhì)心；z軸沿徑向指向地球；x軸垂直于z軸且沿速度方向；y軸符合右手定則，即沿軌道面的負(fù)法線方向。令rT，rC分別為目標(biāo)星和追蹤星相對地球的位置矢量，rTC，rTD分別為追蹤星和目標(biāo)點相對目標(biāo)星的位置矢量；Δr為追蹤星相對目標(biāo)點位置矢量。

圖1 相對位置矢量Fig.1 Vector of relative position

設(shè)目標(biāo)星為自由飛行，則其軌道動力學(xué)方程可描述為

式中：μ為地球引力常數(shù)。

追蹤星的軌道動力學(xué)方程考慮軌道控制，可描述為

式中：uC為追蹤星的控制加速度。

由圖1中相對運動關(guān)系可知

式（2）與式（1）相減，并根據(jù)式（3）的相對運動關(guān)系，可得目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系中的相對運動方程

式（4）為完整的兩星相對軌道動力學(xué)方程，在近圓軌道、近距離的條件下，按C－W方程的簡化方法，可得近圓軌道的相對運動方程為

式中：n為目標(biāo)星近圓軌道的軌道角速度［5］。令

式中：uD為伴飛點相對目標(biāo)星的相對狀態(tài)引起的動力學(xué)方程中的常值項，可用前饋控制進行補償。

將式（6）代入式（5），在軌道坐標(biāo)系中展開后可得目標(biāo)星自由飛行時的定點伴飛相對軌道動力學(xué)方程

式中：x，y，z為Δr在軌道坐標(biāo)系三軸的分量。

1.2 帶不確定項的相對動力學(xué)

非合作目標(biāo)進行軌道機動時，追蹤星對其軌道推力的大小和方向均未知，可將其機動加速度作為一個未知的干擾量加入相對運動學(xué)方程，構(gòu)成一不確定系統(tǒng)。該不確定系統(tǒng)可用狀態(tài)方程表示為

2 不確定系統(tǒng)的定點伴飛控制方法

2.1 目標(biāo)不機動時的伴飛最優(yōu)控制方法

若目標(biāo)不機動，則式（8）中f為0，相對動力學(xué)方程是線性方程。設(shè)計控制律的目的是使追蹤星相對目標(biāo)伴飛點的相對狀態(tài)X趨近于0。根據(jù)線性二次最優(yōu)控制原理，定義性能指標(biāo)為

式中：Q，R為正定矩陣［6］。

根據(jù)LQR理論，最小化性能指標(biāo)的最優(yōu)控制律為

式中：矩陣P為Riccati方程，式（11）的唯一正定解。

求出控制U后，可解出追蹤星實際所需的uC。

2.2 針對不確定參數(shù)的控制律設(shè)計

目標(biāo)星進行軌道機動后，追蹤星需施加額外的控制力克服目標(biāo)的未知機動力，保證定點伴飛。設(shè)額外的控制力為uL，結(jié)合目標(biāo)不機動時的最優(yōu)控制力，代入式（8），可得

設(shè)計控制律，首先定義Lyapunov函數(shù)

式中：K為正定矩陣。

證明＜0，則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，即追蹤星相對伴飛點的相對狀態(tài)X會趨近于零。對式（13）求導(dǎo)，并結(jié)合式（10）、（12）后化簡可得

將最優(yōu)控制律代入目標(biāo)不機動時的相對軌道動力學(xué)方程中，可得

由于該系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，可得

則代入式（14）中等號右邊前兩項后可推得

為保證不確定系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定，即＜0，只需證明2XTKB（uL＋f）≤0。

使用控制律

式中：參數(shù)ε≥‖f‖，可理解為追蹤星的機動能力要大于目標(biāo)星的機動能力。則

因此采用式（18）控制律時，條件2XTKB（uL＋f）≤0可滿足，證明不確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。綜合最優(yōu)控制U，uL，可得出結(jié)論：欲使目標(biāo)機動條件下的不確定相對動力學(xué)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，追蹤星實際所需的軌道控制加速度

3 仿真

式中：X1＝－4 000m；X2＝－200m；X3＝200m；X4＝2m／s；X5＝0.5m／s；X6＝0.5m／s。

目標(biāo)星三軸推力如圖2所示。第一個軌道周期時推力器不工作，5 800s后，即從第二個軌道周期開始，目標(biāo)星持續(xù)進行三軸機動。采用線性二次最優(yōu)控制律的定點伴飛結(jié)果如圖3所示，在目標(biāo)星未機動時，追蹤星由初始相對位置機動至伴飛點并能形成穩(wěn)定伴飛。5 800s后目標(biāo)機動，采用LQR控制律仍能形成定點伴飛，但伴飛的位置誤差接近20m，伴飛效果受影響。

圖2 目標(biāo)星三軸推力Fig.2 Thrust in each axis of target satellite

采用目標(biāo)機動控制律的定點伴飛全過程相對位置和目標(biāo)機動后目標(biāo)位置的仿真結(jié)果如圖4、5所示。目標(biāo)機動后采用相應(yīng)的針對不確定系統(tǒng)設(shè)計的控制律，可使定點伴飛的精度維持在1m左右，較采用LQR控制律高出一個量級，可確保在目標(biāo)機動時仍能為執(zhí)行定點偵查、跟蹤等任務(wù)提供有力條件。

圖3 采用LQR控制律的定點伴飛相對位置Fig.3 Relative position of station keeping control under LQR control law

圖4 采用目標(biāo)機動控制律的定點伴飛相對位置Fig.4 Relative position of station keeping control under uncertain system control law

圖5 機動時的定點伴飛位置精度Fig.5 Station－keeping precision

為考察不確定系統(tǒng)控制方法的魯棒性，對第二種目標(biāo)機動進行仿真。目標(biāo)星在第一軌運行期間保持自由飛行的狀態(tài)，第二軌開始目標(biāo)星進行三軸機動，三軸推力器輸出為常值13N，追蹤星采用目標(biāo)機動時的控制律繼續(xù)進行定點伴飛，并保持2個軌道周期。仿真其余參數(shù)和伴飛要求與上述第一種仿真相同。

定點伴飛相對位置仿真結(jié)果如圖6、7所示。由圖可知：目標(biāo)星采取不同的機動策略，追蹤星采用不確定系統(tǒng)控制方法仍可實現(xiàn)對目標(biāo)的穩(wěn)定伴飛，且伴飛精度仍然維持在1m的量級，證明該方法對目標(biāo)不同的機動有較強的魯棒性。

圖6 第二種情況下的目標(biāo)星三軸推力Fig.6 Thrust in each axis of target satellite in case 2

4 結(jié)束語

本文以機動目標(biāo)的定點伴飛任務(wù)為研究背景，帶不確定項的定點伴飛相對軌道動力學(xué)模型為研究對象，用LQR法設(shè)計目標(biāo)自由飛行時的伴飛最優(yōu)控制律，針對不確定系統(tǒng)，引入Lyapunov法，通過兩種方法綜合設(shè)計適用于目標(biāo)機動條件下的定點伴飛的控制律。仿真結(jié)果表明：該控制律確保在不能獲知精確目標(biāo)機動加速度時仍可實現(xiàn)精確伴飛，而且對不同的目標(biāo)機動具有較強的魯棒性。

圖7 采用目標(biāo)機動控制律的定點伴飛相對位置Fig.7 Relative position of station keeping control under uncertain system control law

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