楊勤利,盧 山,朱思莉,夏永江
(1.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院,上海 200240;2.上海航天控制技術(shù)研究所 上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室,上海 200233;3.上海航天技術(shù)研究院,上海 201109)
在空間目標(biāo)偵察、在軌服務(wù)等任務(wù)的需求牽引下,航天器的自主交會技術(shù)得到廣泛的重視和開發(fā)。從早期以人手動操作為主的交會對接,逐漸向自主性、多樣性發(fā)展[1-2]。具體表現(xiàn)在:整個任務(wù)期間可完全依靠星上自主完成,地面站僅起監(jiān)控作用;從簡單的交會對接發(fā)展成具備繞飛、定點伴飛等多種能力的多任務(wù)模式。
在原有載人交會對接的基礎(chǔ)上對自主交會技術(shù)展開了大量的演示驗證項目,如美國的DART、軌道快車,日本的ETS-VII,歐洲的ROGER等,均要求機動平臺具有近距離定點伴飛能力,可對目標(biāo)進行偵察、捕獲等在軌操作[3]。目前國外初步掌握了對處于自由飛行狀態(tài)的目標(biāo)進行自主接近和定點伴飛技術(shù),可用于工程實際任務(wù)。
針對目標(biāo)存在機動的定點伴飛研究其潛在的用途,工程實際應(yīng)用價值受到關(guān)注。因目標(biāo)機動的控制力大小和方向未知,對合作目標(biāo)的自主定點伴飛控制方法的控制效果的影響較大,甚至無法完成伴飛任務(wù)。文獻(xiàn)[4]對目標(biāo)機動的空間攔截進行了研究,在控制律設(shè)計中考慮將目標(biāo)機動的加速度作為未知量,達(dá)到理想的控制效果。但對目標(biāo)機動時的定點伴飛,目前國內(nèi)外研究較少,其中的關(guān)鍵技術(shù)有待攻克。
本文對目標(biāo)機動條件下機動目標(biāo)的定點伴飛進行了研究。
建立目標(biāo)自由飛行時的追蹤星定點伴飛相對軌道動力學(xué)方程。相對位置矢量如圖1所示。圖中:T為目標(biāo)星;C為追蹤星;D為定點伴飛的目標(biāo)點。定義軌道坐標(biāo)系So:原點為目標(biāo)星質(zhì)心;z軸沿徑向指向地球;x軸垂直于z軸且沿速度方向;y軸符合右手定則,即沿軌道面的負(fù)法線方向。令rT,rC分別為目標(biāo)星和追蹤星相對地球的位置矢量,rTC,rTD分別為追蹤星和目標(biāo)點相對目標(biāo)星的位置矢量;Δr為追蹤星相對目標(biāo)點位置矢量。
圖1 相對位置矢量Fig.1 Vector of relative position
設(shè)目標(biāo)星為自由飛行,則其軌道動力學(xué)方程可描述為
式中:μ為地球引力常數(shù)。
追蹤星的軌道動力學(xué)方程考慮軌道控制,可描述為
式中:uC為追蹤星的控制加速度。
由圖1中相對運動關(guān)系可知
式(2)與式(1)相減,并根據(jù)式(3)的相對運動關(guān)系,可得目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系中的相對運動方程
式(4)為完整的兩星相對軌道動力學(xué)方程,在近圓軌道、近距離的條件下,按C-W方程的簡化方法,可得近圓軌道的相對運動方程為
式中:n為目標(biāo)星近圓軌道的軌道角速度[5]。令
式中:uD為伴飛點相對目標(biāo)星的相對狀態(tài)引起的動力學(xué)方程中的常值項,可用前饋控制進行補償。
將式(6)代入式(5),在軌道坐標(biāo)系中展開后可得目標(biāo)星自由飛行時的定點伴飛相對軌道動力學(xué)方程
式中:x,y,z為Δr在軌道坐標(biāo)系三軸的分量。
非合作目標(biāo)進行軌道機動時,追蹤星對其軌道推力的大小和方向均未知,可將其機動加速度作為一個未知的干擾量加入相對運動學(xué)方程,構(gòu)成一不確定系統(tǒng)。該不確定系統(tǒng)可用狀態(tài)方程表示為
若目標(biāo)不機動,則式(8)中f為0,相對動力學(xué)方程是線性方程。設(shè)計控制律的目的是使追蹤星相對目標(biāo)伴飛點的相對狀態(tài)X趨近于0。根據(jù)線性二次最優(yōu)控制原理,定義性能指標(biāo)為
式中:Q,R為正定矩陣[6]。
根據(jù)LQR理論,最小化性能指標(biāo)的最優(yōu)控制律為
式中:矩陣P為Riccati方程,式(11)的唯一正定解。
求出控制U后,可解出追蹤星實際所需的uC。
目標(biāo)星進行軌道機動后,追蹤星需施加額外的控制力克服目標(biāo)的未知機動力,保證定點伴飛。設(shè)額外的控制力為uL,結(jié)合目標(biāo)不機動時的最優(yōu)控制力,代入式(8),可得
設(shè)計控制律,首先定義Lyapunov函數(shù)
式中:K為正定矩陣。
證明<0,則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,即追蹤星相對伴飛點的相對狀態(tài)X會趨近于零。對式(13)求導(dǎo),并結(jié)合式(10)、(12)后化簡可得
將最優(yōu)控制律代入目標(biāo)不機動時的相對軌道動力學(xué)方程中,可得
由于該系統(tǒng)漸進穩(wěn)定,可得
則代入式(14)中等號右邊前兩項后可推得
為保證不確定系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定,即<0,只需證明2XTKB(uL+f)≤0。
使用控制律
式中:參數(shù)ε≥‖f‖,可理解為追蹤星的機動能力要大于目標(biāo)星的機動能力。則
因此采用式(18)控制律時,條件2XTKB(uL+f)≤0可滿足,證明不確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。綜合最優(yōu)控制U,uL,可得出結(jié)論:欲使目標(biāo)機動條件下的不確定相對動力學(xué)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,追蹤星實際所需的軌道控制加速度
式中:X1=-4 000m;X2=-200m;X3=200m;X4=2m/s;X5=0.5m/s;X6=0.5m/s。
目標(biāo)星三軸推力如圖2所示。第一個軌道周期時推力器不工作,5 800s后,即從第二個軌道周期開始,目標(biāo)星持續(xù)進行三軸機動。采用線性二次最優(yōu)控制律的定點伴飛結(jié)果如圖3所示,在目標(biāo)星未機動時,追蹤星由初始相對位置機動至伴飛點并能形成穩(wěn)定伴飛。5 800s后目標(biāo)機動,采用LQR控制律仍能形成定點伴飛,但伴飛的位置誤差接近20m,伴飛效果受影響。
圖2 目標(biāo)星三軸推力Fig.2 Thrust in each axis of target satellite
采用目標(biāo)機動控制律的定點伴飛全過程相對位置和目標(biāo)機動后目標(biāo)位置的仿真結(jié)果如圖4、5所示。目標(biāo)機動后采用相應(yīng)的針對不確定系統(tǒng)設(shè)計的控制律,可使定點伴飛的精度維持在1m左右,較采用LQR控制律高出一個量級,可確保在目標(biāo)機動時仍能為執(zhí)行定點偵查、跟蹤等任務(wù)提供有力條件。
圖3 采用LQR控制律的定點伴飛相對位置Fig.3 Relative position of station keeping control under LQR control law
圖4 采用目標(biāo)機動控制律的定點伴飛相對位置Fig.4 Relative position of station keeping control under uncertain system control law
圖5 機動時的定點伴飛位置精度Fig.5 Station-keeping precision
為考察不確定系統(tǒng)控制方法的魯棒性,對第二種目標(biāo)機動進行仿真。目標(biāo)星在第一軌運行期間保持自由飛行的狀態(tài),第二軌開始目標(biāo)星進行三軸機動,三軸推力器輸出為常值13N,追蹤星采用目標(biāo)機動時的控制律繼續(xù)進行定點伴飛,并保持2個軌道周期。仿真其余參數(shù)和伴飛要求與上述第一種仿真相同。
定點伴飛相對位置仿真結(jié)果如圖6、7所示。由圖可知:目標(biāo)星采取不同的機動策略,追蹤星采用不確定系統(tǒng)控制方法仍可實現(xiàn)對目標(biāo)的穩(wěn)定伴飛,且伴飛精度仍然維持在1m的量級,證明該方法對目標(biāo)不同的機動有較強的魯棒性。
圖6 第二種情況下的目標(biāo)星三軸推力Fig.6 Thrust in each axis of target satellite in case 2
本文以機動目標(biāo)的定點伴飛任務(wù)為研究背景,帶不確定項的定點伴飛相對軌道動力學(xué)模型為研究對象,用LQR法設(shè)計目標(biāo)自由飛行時的伴飛最優(yōu)控制律,針對不確定系統(tǒng),引入Lyapunov法,通過兩種方法綜合設(shè)計適用于目標(biāo)機動條件下的定點伴飛的控制律。仿真結(jié)果表明:該控制律確保在不能獲知精確目標(biāo)機動加速度時仍可實現(xiàn)精確伴飛,而且對不同的目標(biāo)機動具有較強的魯棒性。
圖7 采用目標(biāo)機動控制律的定點伴飛相對位置Fig.7 Relative position of station keeping control under uncertain system control law
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