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        四階行列式不能簡單地利用對角線法則計算

        2014-12-29 13:04:56李代欽
        科教導(dǎo)刊 2014年36期

        李代欽

        摘 要 行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重點(diǎn)內(nèi)容,由于計算方法的多變,使得這也成為一個難點(diǎn)內(nèi)容。筆者發(fā)現(xiàn)二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算,但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

        關(guān)鍵詞 行列式的計算 對角線法則 四階行列式

        中圖分類號:O151.22 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

        Fourth-order Determinant Can not Simply Use

        the Diagonal Rule Calculation

        LI Daiqin

        (Hu'nan Police Academy, Changsha, Hu'nan 410138)

        Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra, the calculation method of changeable, makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute, but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.

        Key words determinant calculation; diagonal rule; four-order determinant

        行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重點(diǎn)內(nèi)容,其計算方法也是多變的,①有定義法,對角線法,化三角形法,按行(列)展開法,遞推法,加邊法(升階法),拆行(列)法,數(shù)學(xué)歸納法,析因法,輔助行列式法,利用拉普拉斯定理計算,利用范德蒙行列式法,利用矩陣行列式公式計算,利用方陣特征值與行列式的關(guān)系計算等等。由于其計算方法的多樣性,使得行列式的計算成為一個難點(diǎn)內(nèi)容。筆者發(fā)現(xiàn)二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算,但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

        在二階行列式中,②,在三階行列式中

        都是利用對角線法則來進(jìn)行計算的。但對于四階行列式的計算,卻出現(xiàn)了問題。如

        例:求四階行列式的值。

        解法一:利用按行(列)展開法得到如下結(jié)論:

        解法二:利用對角線法則得到如下結(jié)論:

        為什么同一題采用不同的二種方法卻得到不同的結(jié)論呢?

        細(xì)心的讀者會稍加思考發(fā)現(xiàn),第二種方法是不可取的。因為按照行列式定義,四階行列式的展開項應(yīng)該有24項,而按照對角線法則,四階行列式的展開式中只有8項,顯然,四階行列式不能簡單地利用對角線法則進(jìn)行計算。那么是不是四階行列式就不能利用對角線法則了呢?筆者發(fā)現(xiàn)如果對對角線法則進(jìn)行一個補(bǔ)充,那么還是可行的。為了利用對角線法則計算行列式,作如下三種形式的變形:③

        第一種形式:

        第二種形式:

        第三種形式:

        從理論上看,按照行列式的定義,這三種形式的代數(shù)和剛好就是四階行列式的結(jié)果。從實際上來看,將例中的四階行列式按照上述方法展開,剛好是 + ,與第一種方法的結(jié)果完全相同。

        注釋

        ① 陳文燈,黃先開等.考研數(shù)學(xué)高分復(fù)習(xí)指南[M].北京:世界圖書出版公司,2012.

        ② 吳贛昌.線性代數(shù)(理工類·第三版)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2011.

        ③ 林啟法.對角線法則計算四階行列式的簡便方法[J].寧德師專學(xué)報,2005(2).endprint

        摘 要 行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重點(diǎn)內(nèi)容,由于計算方法的多變,使得這也成為一個難點(diǎn)內(nèi)容。筆者發(fā)現(xiàn)二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算,但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

        關(guān)鍵詞 行列式的計算 對角線法則 四階行列式

        中圖分類號:O151.22 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

        Fourth-order Determinant Can not Simply Use

        the Diagonal Rule Calculation

        LI Daiqin

        (Hu'nan Police Academy, Changsha, Hu'nan 410138)

        Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra, the calculation method of changeable, makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute, but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.

        Key words determinant calculation; diagonal rule; four-order determinant

        行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重點(diǎn)內(nèi)容,其計算方法也是多變的,①有定義法,對角線法,化三角形法,按行(列)展開法,遞推法,加邊法(升階法),拆行(列)法,數(shù)學(xué)歸納法,析因法,輔助行列式法,利用拉普拉斯定理計算,利用范德蒙行列式法,利用矩陣行列式公式計算,利用方陣特征值與行列式的關(guān)系計算等等。由于其計算方法的多樣性,使得行列式的計算成為一個難點(diǎn)內(nèi)容。筆者發(fā)現(xiàn)二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算,但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

        在二階行列式中,②,在三階行列式中

        都是利用對角線法則來進(jìn)行計算的。但對于四階行列式的計算,卻出現(xiàn)了問題。如

        例:求四階行列式的值。

        解法一:利用按行(列)展開法得到如下結(jié)論:

        解法二:利用對角線法則得到如下結(jié)論:

        為什么同一題采用不同的二種方法卻得到不同的結(jié)論呢?

        細(xì)心的讀者會稍加思考發(fā)現(xiàn),第二種方法是不可取的。因為按照行列式定義,四階行列式的展開項應(yīng)該有24項,而按照對角線法則,四階行列式的展開式中只有8項,顯然,四階行列式不能簡單地利用對角線法則進(jìn)行計算。那么是不是四階行列式就不能利用對角線法則了呢?筆者發(fā)現(xiàn)如果對對角線法則進(jìn)行一個補(bǔ)充,那么還是可行的。為了利用對角線法則計算行列式,作如下三種形式的變形:③

        第一種形式:

        第二種形式:

        第三種形式:

        從理論上看,按照行列式的定義,這三種形式的代數(shù)和剛好就是四階行列式的結(jié)果。從實際上來看,將例中的四階行列式按照上述方法展開,剛好是 + ,與第一種方法的結(jié)果完全相同。

        注釋

        ① 陳文燈,黃先開等.考研數(shù)學(xué)高分復(fù)習(xí)指南[M].北京:世界圖書出版公司,2012.

        ② 吳贛昌.線性代數(shù)(理工類·第三版)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2011.

        ③ 林啟法.對角線法則計算四階行列式的簡便方法[J].寧德師專學(xué)報,2005(2).endprint

        摘 要 行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重點(diǎn)內(nèi)容,由于計算方法的多變,使得這也成為一個難點(diǎn)內(nèi)容。筆者發(fā)現(xiàn)二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算,但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

        關(guān)鍵詞 行列式的計算 對角線法則 四階行列式

        中圖分類號:O151.22 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

        Fourth-order Determinant Can not Simply Use

        the Diagonal Rule Calculation

        LI Daiqin

        (Hu'nan Police Academy, Changsha, Hu'nan 410138)

        Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra, the calculation method of changeable, makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute, but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.

        Key words determinant calculation; diagonal rule; four-order determinant

        行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重點(diǎn)內(nèi)容,其計算方法也是多變的,①有定義法,對角線法,化三角形法,按行(列)展開法,遞推法,加邊法(升階法),拆行(列)法,數(shù)學(xué)歸納法,析因法,輔助行列式法,利用拉普拉斯定理計算,利用范德蒙行列式法,利用矩陣行列式公式計算,利用方陣特征值與行列式的關(guān)系計算等等。由于其計算方法的多樣性,使得行列式的計算成為一個難點(diǎn)內(nèi)容。筆者發(fā)現(xiàn)二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算,但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

        在二階行列式中,②,在三階行列式中

        都是利用對角線法則來進(jìn)行計算的。但對于四階行列式的計算,卻出現(xiàn)了問題。如

        例:求四階行列式的值。

        解法一:利用按行(列)展開法得到如下結(jié)論:

        解法二:利用對角線法則得到如下結(jié)論:

        為什么同一題采用不同的二種方法卻得到不同的結(jié)論呢?

        細(xì)心的讀者會稍加思考發(fā)現(xiàn),第二種方法是不可取的。因為按照行列式定義,四階行列式的展開項應(yīng)該有24項,而按照對角線法則,四階行列式的展開式中只有8項,顯然,四階行列式不能簡單地利用對角線法則進(jìn)行計算。那么是不是四階行列式就不能利用對角線法則了呢?筆者發(fā)現(xiàn)如果對對角線法則進(jìn)行一個補(bǔ)充,那么還是可行的。為了利用對角線法則計算行列式,作如下三種形式的變形:③

        第一種形式:

        第二種形式:

        第三種形式:

        從理論上看,按照行列式的定義,這三種形式的代數(shù)和剛好就是四階行列式的結(jié)果。從實際上來看,將例中的四階行列式按照上述方法展開,剛好是 + ,與第一種方法的結(jié)果完全相同。

        注釋

        ① 陳文燈,黃先開等.考研數(shù)學(xué)高分復(fù)習(xí)指南[M].北京:世界圖書出版公司,2012.

        ② 吳贛昌.線性代數(shù)(理工類·第三版)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2011.

        ③ 林啟法.對角線法則計算四階行列式的簡便方法[J].寧德師專學(xué)報,2005(2).endprint

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