【摘要】隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，生活的數(shù)學(xué)無(wú)處不在。數(shù)學(xué)期望同樣在生活中的眾多領(lǐng)域都有著重要的而應(yīng)用。本文通過(guò)一系列的生活實(shí)例來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)期望從理論到實(shí)踐上都具有重要意義！

【關(guān)鍵詞】概率統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)期望；風(fēng)險(xiǎn)決策

面對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象，優(yōu)化決策的正確通常是指隨機(jī)變量的均值，面對(duì)決策方案即將數(shù)學(xué)期望最大的方案作為最佳方案加以決策。如果知道任意方案Aj（j=1，2…，m）在每個(gè)自然狀況（影響因素）Si（i=1，2…n）發(fā)生的情況下，實(shí)施方案Aj所產(chǎn)生的盈利值P（Si，Aj），及各自然狀況發(fā)生的概率P（Si），則可以比較各個(gè)方案的期望盈利：EP（Aj）=選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。

一、風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題

例1、某商場(chǎng)要根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來(lái)決定節(jié)日是在商場(chǎng)內(nèi)還是場(chǎng)外開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)。統(tǒng)計(jì)資料表明，每年國(guó)慶節(jié)商場(chǎng)內(nèi)促銷(xiāo)可獲經(jīng)濟(jì)效益2萬(wàn)元，場(chǎng)外促銷(xiāo)活動(dòng)中遇到有雨天氣則帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失4萬(wàn)元，無(wú)雨可獲得經(jīng)濟(jì)效益10萬(wàn)元，9月30日氣象臺(tái)預(yù)報(bào)國(guó)慶節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，商場(chǎng)應(yīng)該選擇哪種促銷(xiāo)方式？

設(shè)商場(chǎng)外促銷(xiāo)活動(dòng)獲得的經(jīng)濟(jì)效益為ξ萬(wàn)元，

則P（ξ=10）=0.6，P（ξ=-4）=0.4

所以Eξ=10×0.6+（-4）×0.4=4.4（萬(wàn)元）

由Eξ>2知，場(chǎng)外促銷(xiāo)方式可獲經(jīng)濟(jì)效益的數(shù)學(xué)期望4.4萬(wàn)元高于場(chǎng)內(nèi)促銷(xiāo)可獲經(jīng)濟(jì)效益2萬(wàn)元，故應(yīng)選擇場(chǎng)外促銷(xiāo)方式。

說(shuō)明：因?yàn)樘鞖庥杏昊驘o(wú)雨是一個(gè)不確定的因素，因此作出決策時(shí)有存在一定的風(fēng)險(xiǎn)，我們不能保證所作的決策一定會(huì)取得最好效益，但必須使效益的期望值是最高的。

如果選擇場(chǎng)外促銷(xiāo)方式恰逢天氣有雨，則帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失4萬(wàn)元，比商場(chǎng)內(nèi)促銷(xiāo)可獲經(jīng)濟(jì)效益2萬(wàn)元更不合算，這就是風(fēng)險(xiǎn)。這樣的決策稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)決策。

二、投資決策問(wèn)題

例2：某人有10萬(wàn)元，有兩種投資方案：一是購(gòu)買(mǎi)股票，二是存入銀行獲取利息。買(mǎi)股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，假設(shè)可分三種狀態(tài)：形勢(shì)好、形勢(shì)中等、形勢(shì)不好（即經(jīng)濟(jì)衰退）。若形勢(shì)好可獲利4萬(wàn)元，若形勢(shì)中等可獲利1萬(wàn)元，若形勢(shì)不好要損失2萬(wàn)元。如果是存入銀行，假設(shè)年利率為8%，即可得利息8000元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好、中、差的概率分別為30%、50%和20%，試問(wèn)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

設(shè)a1為購(gòu)買(mǎi)股票，a2為存銀行，θ1為經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，θ2為經(jīng)濟(jì)形勢(shì)中等，θ3為經(jīng)濟(jì)衰退，P（θj）（j=1，2，3）為三種形勢(shì)的概率，aij為第i種方案和第j種狀態(tài)結(jié)合的結(jié)果，把它們列成一張表（稱(chēng)之為報(bào)償表），即：

從上表可以看出，如果在經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好（θ1）和經(jīng)濟(jì)形勢(shì)中等（θ2）的情況下，那么購(gòu)買(mǎi)股票是合算的；但如果經(jīng)濟(jì)形勢(shì)衰退（θ3）時(shí)，那么采取存銀行的方案比較好。然而人們事先是不知道哪種情況會(huì)出現(xiàn)，因此采取期望值標(biāo)準(zhǔn)是比較合理的。方案a1、a2的期望值分別為：

E1=40000×0.3+10000×0.5+（-20000）×0.2=13000（元），E2=8000（元）

因?yàn)镋1>E2，所以方案a1期望的收益比a2大，按最大收益原則，應(yīng)采用期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以應(yīng)采用購(gòu)買(mǎi)股票的方案。

說(shuō)明：投資方案有兩種，但經(jīng)濟(jì)形勢(shì)是一個(gè)不確定因素。根據(jù)最大收益原則，做出選擇的根據(jù)必須是數(shù)學(xué)期望高的方案。

三、方案決策問(wèn)題

例3、某冷飲店需要制定某種冷飲在七、八月份的日進(jìn)貨計(jì)劃。該品種冷飲的進(jìn)貨成本為每箱30元，銷(xiāo)售價(jià)格為每箱50元，當(dāng)天銷(xiāo)售后每箱可獲利20元，但如果當(dāng)天剩余一箱，就要因冷藏費(fèi)及其他原因而虧損10元?，F(xiàn)有前兩年同期共120天的日銷(xiāo)售量資料，其中日銷(xiāo)售量為130箱有12天，日銷(xiāo)售量為120箱有36天，日銷(xiāo)售量為110箱有48天，其余24天的日銷(xiāo)售量也達(dá)100箱。請(qǐng)對(duì)于進(jìn)貨量分別為100箱、110箱、120箱、130箱四個(gè)方案給予決策。

根據(jù)前兩年同期日銷(xiāo)售量資料，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可確定不同日銷(xiāo)售量的概率。

按日進(jìn)貨量100箱的方案，不論市場(chǎng)銷(xiāo)售狀況如何，當(dāng)天只能銷(xiāo)售100箱，可獲利20×100=2000元。

若按日進(jìn)貨量110箱的方案，在市場(chǎng)銷(xiāo)售狀況為日銷(xiāo)售100箱時(shí)，則當(dāng)天可盈利20×100-10×10=1900元；而在市場(chǎng)銷(xiāo)售大于110箱時(shí)，當(dāng)天也只能銷(xiāo)售110箱，則當(dāng)天可獲盈利20元×110=2200元。

據(jù)此類(lèi)推，可計(jì)算出各個(gè)方案在不同市場(chǎng)銷(xiāo)售狀況下的盈利值，參見(jiàn)如下盈利表。

四、求職決策問(wèn)題

中國(guó)社會(huì)市場(chǎng)化進(jìn)程越來(lái)越快，用人單位在招聘人才時(shí)，除了明確所招人員的學(xué)歷條件和能力之外，一般還會(huì)重點(diǎn)申明所招不同崗位人員的年薪值.而當(dāng)今社會(huì)的價(jià)值取向主流是，勞動(dòng)者盡其所能付出勞動(dòng)后，希望獲得盡可能大的薪酬回報(bào)，我們認(rèn)為這是推動(dòng)社會(huì)向前發(fā)展的重要因素.現(xiàn)在大學(xué)畢業(yè)生以年薪期望值作為擇業(yè)決策的主要依據(jù)正是這種價(jià)值取向主流的具體體現(xiàn). 大學(xué)生在求職面試多個(gè)機(jī)會(huì)過(guò)程中，其年薪期望值是一個(gè)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，只有在其擇業(yè)決策做出后才能相對(duì)確定下來(lái)，因此，做出好的擇業(yè)決策就顯得相當(dāng)?shù)闹匾?以下為了說(shuō)明問(wèn)題，通過(guò)一個(gè)已簡(jiǎn)單化了的實(shí)例，通俗說(shuō)明如何把握這個(gè)動(dòng)態(tài)的年薪期望值來(lái)準(zhǔn)確做出擇業(yè)決策的方法.。

例4：有三家公司都為碩士畢業(yè)生李宏提供了就職面試的機(jī)會(huì)，按面試的時(shí)間順序，這三家公司分別記為A、B、C，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位，每家公司將根據(jù)面試情況決定給予求職者何種職位或拒絕提供職位，若規(guī)定求職雙方在面試以后要立即決定提供、接受或拒絕某種職位，且不容許毀約。咨詢(xún)專(zhuān)家為李宏的學(xué)業(yè)成績(jī)和綜合素質(zhì)進(jìn)行評(píng)估后認(rèn)為，他獲得極好、好、一般職位的可能性分別為0.2、0.3、0.4。三家公司的工資數(shù)據(jù)如下：

李宏如果把工資數(shù)盡量大作為首要條件的話，那么他在各公司面試時(shí)，對(duì)該公司提供的各種職位應(yīng)如何對(duì)策？

由于面試有時(shí)間先后，使得李宏在A、B公司面試，作選擇時(shí)，還要考慮到后面C公司的情況，所以應(yīng)先從C公司開(kāi)始討論。

C公司的工資期望值為：4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700（元）；

現(xiàn)在考慮B公司。因?yàn)锽公司的一般職位工資只有2500元，低于C公司的期望值，所以只接受B公司極好或好的職位，否則就到C公司應(yīng)聘，如此決策時(shí)，他的工資期望值為：3900×0.2+2950×0.3+2700×0.5=3015（元）；

最后考慮A公司，由于A公司只有極好職位的工資超過(guò)3015元，所以他只接受A公司的極好職位，否則就到B公司應(yīng)聘。

他的總決策是這樣的：先去A公司應(yīng)聘，若A公司提供極好的職位就接受，否則去B公司應(yīng)聘；若B公司提供極好或好的職位就接受，否則去C公司應(yīng)聘，接受C公司提供的任何職位。

在這一策略下，他的工資期望值為：3500×0.2+3015×0.8=3112元。

通過(guò)數(shù)學(xué)期望在平均工資中的應(yīng)用，使我們有了準(zhǔn)確具體的決策依據(jù)可依，清楚明白其中的決策風(fēng)險(xiǎn)如何，我們果斷的決策會(huì)帶給招聘單位一個(gè)良好的印象。面對(duì)這個(gè)復(fù)雜的求職面試多個(gè)機(jī)會(huì)的擇業(yè)決策問(wèn)題，數(shù)學(xué)期望豐富了我們大學(xué)生在擇業(yè)決策依據(jù)整合和擇業(yè)決策風(fēng)險(xiǎn)分析方面相應(yīng)的知識(shí)和技巧。

五、試驗(yàn)決策問(wèn)題

例5：某新工藝流程如投產(chǎn)成功可收益300萬(wàn)元，但投產(chǎn)之前，必須經(jīng)過(guò)小型試驗(yàn)和中型試驗(yàn)，試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)分別需2萬(wàn)元和36萬(wàn)元，小型試驗(yàn)的成功率為0.7，如果連做兩次小型試驗(yàn)，則成功率可提高到0.8，在小型試驗(yàn)基礎(chǔ)上的中型試驗(yàn)的成功率為0.7，如果直接搞中型試驗(yàn)的成功率為0.5，應(yīng)該如何決策，才能獲利最多？

共有三種決策：

⑴一次小型試驗(yàn)和一次中型試驗(yàn)，此時(shí)工程的所有可能情況及其概率如下：

工程投資獲益的期望值：E1=0.49×262+0.21×（-38）+ 0.3×（-2）=119.8（萬(wàn)元）

⑵兩次小型試驗(yàn)和一次中型試驗(yàn)，此時(shí)工程的所有可能情況及其概率如下：

工程投資獲益的期望值：E2=0.56×260+0.24×（-40）+ 0.2×（-4）=135.2（萬(wàn)元）

⑶如果急于求成，想省去小試，直接搞中試，此時(shí)工程的所有可能情況及其概率如下：

工程投資獲益的期望值：E3=0.5×264+0.5×（-36）=114（萬(wàn)元）。

E2>E1>E3顯然，這時(shí)采取第二方案最有利。

通過(guò)上述一系列的數(shù)學(xué)期望在決策中的應(yīng)用舉例，我們看到了數(shù)學(xué)知識(shí)給我們帶來(lái)的價(jià)值與意義。在現(xiàn)代社會(huì)中決策問(wèn)題受到人們極大的重視，就是在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的今天，科學(xué)決策在更大范圍、更多領(lǐng)域?qū)⑷〈?jīng)驗(yàn)決策，要科學(xué)決策就離不開(kāi)數(shù)學(xué)。

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作者簡(jiǎn)介

1.李桂范（1963--），女，黑龍江哈爾濱人，副教授。

2.蘇敏（1963--），女，黑龍江哈爾濱人，副教授。