摘 要：針對(duì)爆破振動(dòng)速度回歸分析中穩(wěn)健回歸分析作用被高估產(chǎn)生疑問(wèn)，以最小二乘回歸和穩(wěn)健回歸和兩種方法在爆破振動(dòng)速度公式參數(shù)確定中的應(yīng)用對(duì)比為研究對(duì)象，首先介紹了回歸分析中特異值的分類和在回歸分析前如何用帽子值、權(quán)重對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并在此分析結(jié)果基礎(chǔ)上選擇最小二乘和穩(wěn)健回歸的依據(jù)。

關(guān)鍵詞：最小二乘回歸；穩(wěn)健回歸；爆破振速；帽子值；權(quán)重

1引言：

對(duì)于爆破振動(dòng)分析，各國(guó)如美國(guó)、日本等提出了基于大量爆破觀測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析出的振速計(jì)算公式。其中最為經(jīng)典在國(guó)內(nèi)實(shí)際應(yīng)用較多的還是前蘇聯(lián)薩道夫斯基提出的計(jì)算公式： （1），其中Q為炸藥量，kg；R為炸源至測(cè)點(diǎn)間距離，m；m為藥量指數(shù)，m= 或 ，《爆破安全規(guī)程》（GB6722—2003） 推薦m取 ；K，α為與爆破點(diǎn)地形，地質(zhì)條件有關(guān)的系數(shù)和衰減指數(shù)。Q，R都可以根據(jù)爆破計(jì)劃得出準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，而K，α取值《爆破安全規(guī)程》都只有推薦范圍，帶有很大的經(jīng)驗(yàn)性和主觀性，此時(shí)對(duì)公式進(jìn)行回歸分析，根據(jù)已經(jīng)得到爆破振速監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，得出符合現(xiàn)場(chǎng)條件K，α值，指導(dǎo)后續(xù)爆破設(shè)計(jì)施工很有必要。

回歸分析最常用的是最小二乘回歸，其最大缺點(diǎn)就是抗異常值干擾能力太低，也就是異常值的出現(xiàn)就有可能破壞回歸分析的準(zhǔn)確性，針對(duì)這一點(diǎn) “穩(wěn)健”回歸分析被提了出來(lái)，此法在巖石力學(xué) ，煤炭開采 地震振動(dòng) 等 領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。但在爆破領(lǐng)域?qū)Α胺€(wěn)健”這一概念似乎有些過(guò)于拔高 ，穩(wěn)健回歸在有些情況下效果并不如最小二乘有效簡(jiǎn)便。本文就爆破振動(dòng)數(shù)據(jù)分析中如何選用回歸分析提出一些意見。

2最小二乘回歸分析（OLS回歸）與穩(wěn)健回歸分析特點(diǎn)

2.1最小二乘回歸分析及其特點(diǎn)

線性回歸方程 ，OLS回歸就是使殘差平方和最小即 ，將OLS回歸應(yīng)用到求解爆破振動(dòng)公式（1）中參數(shù)K，α：

①將公式（1）線性化，兩邊取對(duì)數(shù)： ，令

，則（1）變成：

② （2）

③（2）式成立的必要條件： 即

整理得： （3）

④令D= ，

若D≠0則（3）有唯一解即： ， ，再由變量代換關(guān)系，求得 ，

線性模型的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推論基于如下幾個(gè)誤差項(xiàng)的假定：

① y與x之間的關(guān)系為線性關(guān)系。也就是說(shuō)，在給定x值的情況下，ε的期望值為0， 。②在所有x值下，誤差項(xiàng)的方差恒定， 。③誤差項(xiàng) 相互獨(dú)立， ，其中i≠j。

2.2穩(wěn)健回歸

當(dāng)我們面對(duì)特異值束手無(wú)策時(shí)，也就是說(shuō)它們不能被重新編碼，也無(wú)法通過(guò)進(jìn)行形式變換或在模型中納入新因素的方式得到處理時(shí)，穩(wěn)健回歸就是OLS回歸之外的合適選擇。很多穩(wěn)健回歸的共同目標(biāo)都是提供不受特異值或偏態(tài)殘差分布影響的無(wú)偏估計(jì)。一個(gè)文件估計(jì)量必須滿足兩個(gè)條件：①數(shù)據(jù)的微小改動(dòng)，將不會(huì)造成估計(jì)的劇烈變化；②在各種條件下估計(jì)都有高度的效率。

3 OLS估計(jì)及穩(wěn)健回歸分析選擇

3.1特異值類型

為了更好理解特異值如何對(duì)估計(jì)量產(chǎn)生影響，首先將特異值進(jìn)行分類：①回歸特異值：X值處于主體正常數(shù)據(jù)取值范圍內(nèi)，而Y值與主體數(shù)據(jù)相差很遠(yuǎn)的值，回歸特異值顯著特點(diǎn)就是殘差大，但是殘差大并不會(huì)影響回歸直線斜率估計(jì)，也就是它并不會(huì)影響回歸直線趨勢(shì)，而只是將回歸直線平行拉向自己。②“好”杠桿點(diǎn)，一個(gè)特異點(diǎn)如果X值離主體平均值越遠(yuǎn)，則杠桿效應(yīng)越明顯，但卻不一定對(duì)回歸直線的影響越明顯，因?yàn)槿绻藭r(shí)Y值也異常且恰好落在回歸直線周圍，那么此異常對(duì)回歸結(jié)果還會(huì)產(chǎn)生有利影響，這種情況仍采用OLS估計(jì)才顯明智。③“壞”杠桿點(diǎn)，XY值均異常，且會(huì)回歸直線斜率改變，使其偏向自己。

3.2回歸特異值的探測(cè)

①帽子值 ： ，指示了對(duì)應(yīng)第i個(gè)案例的X值偏離整體X均值的大小，它只能指示杠桿效應(yīng)，帽子值與其他數(shù)據(jù)差別較大的值應(yīng)引起關(guān)注，此值有可能是“壞”的杠桿點(diǎn)。

②權(quán)重 ：穩(wěn)健回歸時(shí)每個(gè)觀察值都會(huì)被賦予不同的權(quán)重 ，它表示每個(gè)值的異常程度，權(quán)重越小則表示觀察案例越異常。

4穩(wěn)健回歸M-估計(jì)簡(jiǎn)介

4.1M-估計(jì)

最小二乘回歸時(shí)是最小化殘差平方和。穩(wěn)健回歸M估計(jì)最小化一個(gè)遞增效率較低的殘差函數(shù)之和：

（4）， 為引入的目標(biāo)函數(shù)，目的是給分布尾部越靠外的觀測(cè)值的權(quán)重越小，常用 估計(jì)目標(biāo)方程：

，其中 ，c通常取1.345。相應(yīng)賦予每個(gè)觀察案例的權(quán)重為 （5）

為了使（4）中的 具有尺度不變性，引入尺度參數(shù) ，中位絕對(duì)離差（MAD）常用，MAD常被用來(lái)計(jì)算尺度測(cè)量S，定義 ，得到S估計(jì) 。

（4）式應(yīng)用到解析薩道夫斯基公式參數(shù)： （6）

要使（5）式成立等價(jià)于： ，即 （7）

5結(jié)論

⑴有“壞”杠桿效應(yīng)異常值存在情況下，由于最小二乘回歸賦予每個(gè)觀測(cè)值相同權(quán)重，無(wú)法消除異常值的影響，使得回歸模型與正常觀測(cè)值間的誤差較大。而穩(wěn)健回歸分析則通過(guò)賦予異常值較小權(quán)重減小異常值影響，得到回歸模型準(zhǔn)確性增大。⑵在有異常值存在但為“好”杠桿效應(yīng)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該最好選擇最小二乘回歸分析，此法正是通過(guò)賦予異常值與正常值相同權(quán)重，恰好將通過(guò)此異常點(diǎn)反應(yīng)的實(shí)際工況考慮進(jìn)了回歸模型，此異常值并不會(huì)對(duì)回歸直線斜率產(chǎn)生太影響，但降低了估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，因?yàn)樗鼣U(kuò)大了估計(jì)的x范圍。

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作者簡(jiǎn)介：張鳴（1987-），男，四川攀枝花人，碩士研究生，從事隧道及地下工程爆破方面的研究工作.