在初中數(shù)學(xué)相似圖形的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)問(wèn)題，通常的方法是利用相似三角形相似比等于對(duì)應(yīng)高的比來(lái)解決，但由于三角形的不同，所以采用內(nèi)接方式也不同，得到的邊長(zhǎng)也不盡相同，所對(duì)應(yīng)的正方形面積也不一樣，比如：如何才能使內(nèi)接正方形面積最大？一般的方法是分情況逐一計(jì)算、比較，但這里有無(wú)規(guī)律可循，結(jié)合我多年的教學(xué)積累，本文就此作一個(gè)粗淺的探討.

一、特殊三角形直角三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)問(wèn)題

情形1：（如圖1）當(dāng)正方形一邊落在直角邊上，設(shè)正方形邊長(zhǎng)DE為x，則借助三角形相似有：=，∴AD=x，∴CD=b-x，∴b-x=x，∴x=或=，∴BF=x，∴CF=a-x，∴a-x=x，∴x=.

由此得出結(jié)論1：直角三角形內(nèi)接正方形無(wú)論正方形一邊落在哪條直角邊上，邊長(zhǎng)均相等.

情形2：（如圖2）當(dāng)正方形一邊落在斜邊上，設(shè)正方形邊長(zhǎng)MN為y，斜邊AB邊上的高CD為h，則=.∴hy=ch-cy，又h=，∴y=，故x-y=-=-= abc（-），而c（a+b）-（ab+c2）=ac+bc-ab-c2 =（a-c）（c-b）.

由直角三角形斜邊c最長(zhǎng)，（a-c）·（c-b）<0，∴x>y第一種內(nèi)接正方形面積大于第二種內(nèi)接正方形面積.

由此得出結(jié)論2：直角三角形內(nèi)接正方形中，當(dāng)正方形的一邊落在直角邊上時(shí)，正方形面積最大.

二、銳角三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)問(wèn)題

由于此種情形內(nèi)接方式有三種，為了便于說(shuō)明，不妨設(shè)三邊關(guān)系為：a>b>c.

（如圖3）設(shè)此內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)DE=x，BC邊上的高AH=h1由相似得：

∴=，∴（a+h1）x=ah1，

∴x=.

設(shè)ah1=2s，∴x=.

同理：（如圖4） ∴y=，

（如圖5）∴ z=.

故x-y=-=（-）2s=（-）.再∵a+-（b+）=（a-b）+（-）2s=（a-b）+·2s=（a-b）（1-）=（a-b）（）.

由正弦面積公式得：S=absinC.

∵a+-（b+）=（a-b）（）=（a-b）（1-sinC）.由a>b，sinC<1得：∴a+-（b+）>0，∴xy<0，∴x

同理：y

由此得出結(jié)論3：銳角三角形內(nèi)接正方形中，當(dāng)正方形一邊落在銳角三角形最短邊時(shí)，此時(shí)內(nèi)接正方形面積最大.

三、鈍角三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)問(wèn)題

鈍角三角形內(nèi)接正方形只有正方形一邊落在斜邊上一種情況，邊長(zhǎng)的求法可仿照銳角三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)的方法，這里不再累述.

綜上所述，涉及三角形內(nèi)接正方形面積何時(shí)最大問(wèn)題，需分類(lèi)考慮的是直角三角形和銳角三角形，其共同規(guī)律是當(dāng)正方形一邊落在這兩種三角形最短邊時(shí)，此時(shí)內(nèi)接正方形面積最大.至此三角形內(nèi)接正方形面積最大問(wèn)題得到完全解決.

四、應(yīng)用舉例

1.如下圖，大正方形中有2個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是S1、S2，那么S1、S2的大小關(guān)系是（ ）.

A. S1>S2

B. S1=S2

C. S1

D. S1、S2的大小關(guān)系不確定

分析：此題不難看出是同一個(gè)直角三角形內(nèi)接正方形兩種不同情況，根據(jù)結(jié)論2不難選出正確答案C.

2. 現(xiàn)有一塊銳角三角形余料，經(jīng)測(cè)量三邊長(zhǎng)分別為12cm，15cm，17cm，現(xiàn)將它裁剪成一個(gè)最大的正方形材料備用，則這個(gè)正方形材料的邊長(zhǎng)是____________cm.

分析：這道題通常得分三種情況討論，但根據(jù)上面的結(jié)論3，只需求出正方形一邊放在較短邊的那種情況即可，過(guò)程請(qǐng)讀者自行完成.

3.如下圖，等腰直角△ABC腰長(zhǎng)為a，現(xiàn)分別按圖1，圖2方式在△ABC內(nèi)內(nèi)接一個(gè)正方形ADFE和正方形PMNQ.設(shè)△ABC的面積為S，正方形ADFE的面積為S1，正方形PMNQ的面積為S2.試比較S1+S2與S的大小.

分析：此題是湖南西州的一道中考題，不難看出它脫胎出于直角三角形內(nèi)接正方形的兩種情況，借助結(jié)論1：x+求出圖1的邊長(zhǎng)，y+求出圖2的邊長(zhǎng)，從而求出S1、S2的大小，從而輕松得出S1+S2與S的大小關(guān)系：S1+S2

反觀三角形內(nèi)接正方形面積最大問(wèn)題的解決，引發(fā)我深深的思考：解題只是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.但如何解好題 ，更重要的是通過(guò)探究、挖掘問(wèn)題本身所蘊(yùn)含內(nèi)在規(guī)律，它能使學(xué)生從浩然無(wú)際的題海中解放出來(lái)，能透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，學(xué)會(huì)了解題方法和技巧，也使教師在教學(xué)中擺脫了僅僅是就題論題這種狀況，從而達(dá)到了授之以“漁”而不是比授之以“魚(yú)”的效果.