楊 碩，謝文海，劉德民

(1.大連大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，遼寧大連116622;2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇無錫214122)

如果運動質(zhì)點受到的力及其作用線總是通過空間中某一固定點，這種力叫做有心力［1］。理論物理學(xué)中有心力包括萬有引力，重力，靜電力，部分磁場力等［2］。通過有心力理論分析質(zhì)點的運動狀況，在天體研究、原子結(jié)構(gòu)與核力研究、太空安全和相關(guān)技術(shù)發(fā)展、先進通訊、地球資源探測和軍事偵探等方面具有重要的意義［3］。有心力是理論力學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。在教學(xué)實踐中，常見的有心力實例如天體間萬有引力和電子受庫侖力作用在原子核內(nèi)的運動，無合適的實驗和教具展示，學(xué)生難以建立物理直觀圖像，難以深刻理解有關(guān)內(nèi)容。本文研究運用Mathematica進行編程，直觀、清晰地展示有心力下物體的運動，以此輔助理論力學(xué)教學(xué)。Mathematica［4］是美國Wolfram Research公司開發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，功能強大，使用方便，能進行微分、積分、微分方程式求解等運算。其內(nèi)置了大量而豐富的內(nèi)部數(shù)據(jù)處理函數(shù)，僅僅需要簡單的命令就可以計算函數(shù)和繪制圖形。Mathematica還可進行人機交互，通過簡單的命令即時顯現(xiàn)圖像和數(shù)值的變化，動態(tài)地展現(xiàn)物理圖像隨物理參數(shù)變化效果。此外，Mathematica平臺在互聯(lián)網(wǎng)上分享很多專業(yè)程序包和演示項目。理論力學(xué)問題通常涉及復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)計算，運用Mathematica輔助理論力學(xué)研究有助于提高物理教學(xué)效果。Mathematica展示動畫是基于科學(xué)公式計算的，與Flash等動畫制作軟件相比更加科學(xué)準確。本文研究利用Mathematica軟件探究有心力作用下質(zhì)點運動規(guī)律，繪制運動圖線，展示質(zhì)點在有心力下的運動過程，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，有利于學(xué)生建立物理情景，加深對物理概念和規(guī)律的認識。

1 平方反比引力下質(zhì)點運動的軌道

通過推導(dǎo)可知，在平方反比引力作用下質(zhì)點的運動軌跡相應(yīng)方程是

這是極坐標下典型的圓錐曲線方程［1］。在實際教學(xué)中，多數(shù)學(xué)生對極坐標方程和曲線圖形理解困難。通過Mathematica內(nèi)置的極坐標畫圖函數(shù)PolarPlot和可視交互命令Manipulate，繪制隨著離心率e的不同而變化的圓錐曲線。在式(1)中，設(shè)p=1，拖動參數(shù)滑動塊，改變離心率e值，Mathematica可及時、動態(tài)地展示圓錐曲線相應(yīng)不同離心率的圖線，展現(xiàn)了圖像動態(tài)變化的效果，有助于學(xué)生理解有關(guān)內(nèi)容。在Mathematica工作窗口輸入 Manipulate［PolarPlot［1/(1+e*cos［t］)，{t，0，2Pi}，{e，0，2}］，移動滑塊，改變 e 值，得到圖形如圖 1所示。

圖1 隨離心率e的變化，圓錐曲線的變化

2 開普勒定律和兩體運動的Mathematica模擬

圖2 開普勒第二定律的計算機模擬

在很多力學(xué)教材中，開普勒定律和兩體問題是有心力教學(xué)中的重要內(nèi)容。由于缺乏合適的展示教具，很多教師在實際教學(xué)中只注重開普勒的定律公式的推導(dǎo)及物理定理的證明。運用Mathematica進行有關(guān)的動畫制作和展示，有助于學(xué)生對這一知識點的掌握。此處，運用Mathematica網(wǎng)絡(luò)資源平臺分享的開普勒第二定律演示動畫，圖2為相應(yīng)于離心率0.86和0.5時，在不同時間段內(nèi)太陽和運動著的行星的連線掃過的面積示意圖。在遠日點附近相對引力小，行星加速度小，單位時間轉(zhuǎn)過的角度小，但是由于與力心連線的距離遠掃過的面積并不小;在近日點附近，質(zhì)點運動速度快，單位時間連線掃過的角度大。雖然行星在不同區(qū)域運動時單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過角度不同，但是正是在有心力作用下，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。此外，借助Mathematica還可以方便地改變行星運動軌道的離心率，形象地展示不同離心率下開普勒第二定律是普遍適用的。

選取一固定參考系，由開普勒第一定律可知，行星圍繞著太陽做橢圓運動，由開普勒第三定律的修正，太陽也圍繞著行星做橢圓運動，這就構(gòu)成兩體運動問題。兩體的質(zhì)量不同，離心力不同，運動軌道的形狀就有差異。從理論上分析，質(zhì)量大的物體軌道小，質(zhì)點小的物體運動軌道大。若離心率不同，運動的軌道難以想象，抽象程度高。由Mathematica自定義函數(shù)，利用如上開普勒三大定律定義 r［ε_，θ_］:=5/(1+εcos［θ－π/4］))，即r為ε和θ的函數(shù)，x，y也為ε和θ的函數(shù)，對其編程操作，不僅能能夠展現(xiàn)出不同離心率的運動軌道圖樣，還能控制物體的運動，展現(xiàn)不同質(zhì)量比和不同離心率的運動圖景。圖3中，當物體質(zhì)量比為1，離心率為0時，其兩物體相向運動，運動在同一條軌道上。當質(zhì)量相同時，物體軌道也相同。但離心率為0.5，繞兩軌道中心做橢圓運動。

圖3 質(zhì)量相同離心率不同時兩體運動軌道的對比

圖4 質(zhì)量比較小時，離心率不同的兩體運動的對比

當物體質(zhì)量比不同時，運動軌道大小不同，且離心率不同，軌道大小也不同，如圖4所示。質(zhì)量比大時，大質(zhì)量物體幾乎不運動，質(zhì)量小的物體軌道變化較大變化。如圖5所示，大質(zhì)量物體沒有顯示運動軌道。

在圖像變化中小物體離質(zhì)量大的物體較近時運動速度快，較遠時運動速度慢，符合開普勒第二定律。通過演示，讓學(xué)生的理論分析得到證實，驗證了開普勒第二定律的正確性和合理性。此外，還可以指導(dǎo)學(xué)生探究質(zhì)量比小于1的兩體運動規(guī)律、離心率大于一的兩體運動規(guī)律等。

圖5 質(zhì)量比較大時，離心率不同的兩體運動的對比

3 任意冪有心力問題的探討與研究

一般來說，有心力與距離呈冪指數(shù)的形式為

質(zhì)點在有心力的作用下的有心運動屬于非線性動力學(xué)問題，對其問題求解需要用更復(fù)雜的數(shù)學(xué)，理論分析較麻煩。在Mathematica中，用數(shù)值模擬，可以任意選擇每一個質(zhì)點的初始條件:質(zhì)點的位矢初始坐標r0(x0，y0)和初始速度v0(v0x，v0y)，質(zhì)點運動的軌跡一般是不閉合的，軌道離力心最遠點或最近的點叫做拱點，兩相鄰拱點矢徑間的夾角稱為拱角［1］。利用Mathematica互聯(lián)網(wǎng)平臺上分享的展示項目，A=5，x0=－0.62，y0= －0.84，v0x=0.75，v0y= －0.66，在一定的時間內(nèi)顯示，設(shè) t0為單位時間，當 n=1，n=2 時，相應(yīng)有心力作用下質(zhì)點的運動軌跡。

圖6 n=1 質(zhì)點隨時間的運動軌跡

圖7 n=2 質(zhì)點隨時間的運動軌跡

當n=1時，質(zhì)點運動軌道如圖6所示，軌道為不閉合曲線，質(zhì)點在30個單位時間運動的過程。我們可以觀察質(zhì)點一方面繞力心運動，同時軌道本身還繞力心轉(zhuǎn)動，軌道繞力心轉(zhuǎn)動稱為軌道的進動［1］。當n=2時，質(zhì)點運動軌道如圖7所示，此運動圖象較簡單，且運動圖像是一個閉合的圖像，在2個單位時間內(nèi)已閉合。當n不同，質(zhì)點的運動軌道不同，運動圖像差異較大。通過Mathematica也可以探究n=3，4，5等時物體的運動規(guī)律，由此激發(fā)學(xué)生對有心力規(guī)律的探究和學(xué)習(xí)動力。

4 結(jié)語

本文通過有心力的三個實例展示在有心力作用下物體的運動過程，探討如何通過Mathmatica軟件輔助有心力教學(xué)。在有心力的教學(xué)運用和實踐過程中優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，促進了教學(xué)質(zhì)量的提高，加深了學(xué)生對在有心力下物體運動規(guī)律的理解。

［1］陳世民.理論力學(xué)簡明教程［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］陳美紅.保守力特性在物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］.科技資訊，2008(14):142－143.

［3］潘繼環(huán).質(zhì)點在中心勢場 V(r)中的運動［J］.河池學(xué)院學(xué)報，2010，30(2):46 －53.

［4］Wolfram S.MATHEMATICA［M］.赫孝良，周義倉，譯.西安:西安交通大學(xué)出版社，2002.

［5］吳少平，王嵐.質(zhì)點在有心力場中的運動［J］.高等函授學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，14(5):28－30.

［6］謝善娟.有心力場中運動軌道的穩(wěn)定性［J］.寧德師專學(xué)報:自然科學(xué)版，2005，17(1):6－10.