符 琳

（安徽理工大學(xué)，安徽 淮南232000）

0 引言

近些年來(lái)，不少學(xué)者在有理二次，三次，四次有理插值樣條以及他們的性質(zhì)和應(yīng)用上做了研究。如：王仁宏，吳順唐在文獻(xiàn)[1]中，構(gòu)設(shè)計(jì)幾種具有線性結(jié)構(gòu)的有理插值樣條并討論了它們的解析；Gregory，Delbourgo在文獻(xiàn)[2]設(shè)計(jì)了2/2型有理插值樣條，研究了它的保形問(wèn)題；Delbourgo在文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了2/1型有理插值樣條，并探究了它的保凸問(wèn)題；方逵在文獻(xiàn)[8]中構(gòu)造了一種分子為四次，分母為雙二次的二元有理插值函數(shù)，討論了其保形性。王強(qiáng)在文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了雙參數(shù)3/1型的有理插值樣條,探究了其光滑性。 段奇、Hussain在文獻(xiàn)[4-6]也是用含參數(shù)的分段三次有理函數(shù)構(gòu)造了滿足約束條件插值樣條。

上述的插值方法對(duì)于非封閉曲線確實(shí)能很好地?cái)?shù)學(xué)描述，但針對(duì)封閉曲線的特殊性，一直沒(méi)有能對(duì)其進(jìn)行可行的描述。本文在二次有理插值的基礎(chǔ)上，效仿隱函數(shù)的表示方式，引入正參數(shù)m和n，在x和y方向上各自插值文章詳細(xì)地介紹這種插值方法，并在此基礎(chǔ)上由鏈?zhǔn)椒ǖ玫揭浑A，二階導(dǎo)數(shù)來(lái)探究其保形性。

它具有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)具有顯式表達(dá)式，形式簡(jiǎn)單；(2)表達(dá)式是分片的；(3)過(guò)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)；(4)每片含有參數(shù)，可以通過(guò)參數(shù)的改變而不是點(diǎn)的變動(dòng)來(lái)修改插值函數(shù)。

本文結(jié)構(gòu)如下：第一部分簡(jiǎn)單描述了這種方法。第二部分研究其保形性。第三部分是對(duì)文章的小結(jié)。

1 構(gòu)造

給定數(shù)據(jù)（xi，fi），i=1，2，…，n，其中fi為被插函數(shù)在分劃點(diǎn)xi上的函數(shù)值，此處x1＜x2＜…＜xn，記hi=xi+1-xi，定義：

2 保形

假設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]單調(diào)遞增,因此f1≤f2≤…≤fn，或△i≥0.

在區(qū)間[xi，xi+1]，y（t）單調(diào)遞增的充要條件為：

故存在x-1（t），將其帶入

其中

由于αi，βi＞0，則只需要滿足

式帶入，則得到插值函數(shù)的保單調(diào)條件：

定理2：已知數(shù)據(jù)（f1≤f2≤…≤fn）單調(diào)遞增,導(dǎo)數(shù)值di≥0，當(dāng)di滿足(6)時(shí),則存在含有正參數(shù)αi，βi的雙參數(shù)有理插值函數(shù)是單調(diào)遞增的。

假設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)凸函數(shù)，因此設(shè)：

y（x）的保凸性條件是：

定理3：對(duì)于給定的嚴(yán)格凸數(shù)據(jù)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)參數(shù)di上式時(shí),則存在一族含有非負(fù)參數(shù)mi，ni的雙參數(shù)有理插值函是保凸的。

3 小結(jié)

本文構(gòu)造了雙參數(shù)有理插值樣條，通過(guò)研究單調(diào)和保凸性探究了其保形性。這種新方法不僅可以用于曲線的構(gòu)造，在以后的曲面構(gòu)造尤其是封閉曲面的構(gòu)造中也可以很好的應(yīng)用。在計(jì)算機(jī)圖像處理上也將有強(qiáng)大的應(yīng)用。這將在以后的研究的中進(jìn)一步討論。

［1］王仁宏，吳順唐.關(guān)于有理spline函數(shù)[J].吉林大學(xué)學(xué)版:自然科學(xué)版,1978:58-70.

［2］J.A.Gregory,R.Delbourgo.Piecewise rational quadratic interpolation to monotonic data,IMA[J].Numer.Anal.,1982,2:123-130.

［3］R.Delbourgo.Shape preserving interpolation to convex data by rational functions with quadratic numerator and linear denominator.IMA[J].Numer.Anal.，1989,9:123-136.

［4］Q.Duan,K.Djidjeli,W.G.Price,E.H.Twizell.A rational cubic spline based on function values[M].Comput.And Graphics,1998,22(4):479-486.

［5］Q.Duan,L.Wang,E.H.Twizell.A ational interpolation based on function values and constrained control of the interpolant curves[M].Applied Mathematics and Computation,2005,1:311-322.

［6］M.Z.Hussain,M.Hussain.Visualization of data subject to positive constraints[M].Information and Computing Science,2006,1(3):149-160.

［7］王強(qiáng).三次保形有理插值[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,28(11):1461-1464.

［8］方逵.一種新的二元有理插值及其性質(zhì)[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào),2010:117-122.