周晚萌，王 華，許江濤，崔乃剛

（1.國防科學技術(shù)大學 航天科學與工程學院，長沙410000；2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱150001；3.哈爾濱工業(yè)大學 航天工程系，哈爾濱150001）

可重復使用助推飛行器（Reusable Boosted Vehicle，RBV）是根據(jù)空間任務需求［1］，重復使用并搭載不同上面級的一種運載飛行器。與傳統(tǒng)的重復使用飛行器相比，RBV的維護成本低、可靠性高，可明顯改善運載系統(tǒng)性能［2］，國內(nèi)外有大量學者進行了相關研究［3］。

在RBV整個再入過程中，大氣參數(shù)、飛行馬赫數(shù)以及一些其它因素的變化會使模型參數(shù)的非線性特征更加突出，傳統(tǒng)線性控制器很難滿足控制要求，由此許多再入飛行器引入了增益調(diào)度技術(shù)（GainScheduling，GS）［4］。該技術(shù)最早由Shamma J S提出［5］，后來逐步發(fā)展為傳統(tǒng)增益調(diào)度技術(shù)和基于線性變參數(shù)系統(tǒng)（LPV）的增益調(diào)度技術(shù)［6］。

雖然有大量關于增益調(diào)度點的選擇以及調(diào)度點間隙測度與控制穩(wěn)定性方面的理論研究［7］，但目前關于增益調(diào)度變量選取主要還是通過滿足所選變量要體現(xiàn)對象的非線性特征，具有可測性等要求來實現(xiàn)。本文以面對稱RBV的再入段為研究對象［8］，提出用線性相關系數(shù)作為選取調(diào)度變量的指標，并基于迭代理論和線性擬合理論對其加以證明，最終通過仿真驗證了線性相關系數(shù)這一指標的合理性。

1 RBV線性化模型

本文首先對RBV再入過程進行系統(tǒng)建模，并對所建模型線性化，為解耦線性化模型設計控制系統(tǒng)，主要做出如下假設：

①未擾動運動中側(cè)向運動學參數(shù)和縱向參數(shù)對時間的一階導數(shù)很小，略去它們之間的乘積以及它們與其它小量的乘積；

②不考慮RBV的結(jié)構(gòu)參數(shù)偏差對擾動運動的影響；

③小角度三角函數(shù)可以近似表示為sinθ≈θ，cosθ≈1；

④未擾動的運動參數(shù)、氣動參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)和制導參數(shù)都不變。

基于以上假設，RBV線性化［9］后的運動學方程表示為

式中：θ為彈道傾角，ψv為彈道偏角，?為俯仰角，ψ為偏航角，γ為滾轉(zhuǎn)角。

補充關系線性化方程為

線性化后的RBV動力學方程表示為

式中：α，β分別為攻角、側(cè)滑角；m，Jx，Jy，Jz分別為 RBV 質(zhì)量和3個體軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為3個通道氣動力系數(shù)對相關擾動的導數(shù)分別為三通道氣動力矩系數(shù)對相關擾動的導數(shù)。

2 RBV控制器設計

2.1 控制器參數(shù)優(yōu)化設計

本文以期望氣動角為輸入，加入控制器、增益限制、舵面延時各環(huán)節(jié)后的氣動角為輸出，RBV線性化模型三通道傳遞函數(shù)可統(tǒng)一表示為

式中：K為增益系數(shù)，可以根據(jù)系統(tǒng)響應要求確定，具體的特征方程為

式中：ξn為阻尼系數(shù)，ωn為無阻尼自振角頻率。令式（4）和式（5）的特征方程對應項系數(shù)相等，可以求出系統(tǒng)的控制器的初步參數(shù)。

進一步優(yōu)化，優(yōu)化的控制器參數(shù)集表示為k＝（kpkikdkd1kd2）T∈R5×1，其中kd1為反饋系數(shù)，kd2為角度反饋系數(shù)，kd為微分系數(shù)，kp為比例系數(shù)，ki為積分系數(shù)。

目標函數(shù)f為響應曲線超出響應約束范圍的面積，表示為

式中：t為總仿真時間，T為更新時間步長，y（iT）為iT時刻系統(tǒng)的響應輸出，yl（iT）為輸出約束下界，yh（iT）為輸出約束上界，w（iT）為iT時刻系統(tǒng)的輸出響應超出約束閾值的大小。

利用單純形法對式（6）進行優(yōu)化，具體的迭代步驟如下：

①給出n組保證階躍響應穩(wěn)定性初始設計控制參數(shù)k（n），定義反射系數(shù)λ＝1，收縮系數(shù)η＝0.5，擴張系數(shù)μ＝2，壓縮系數(shù)σ＝0.5。

②將單純形的n＋1個頂點按目標函數(shù)值的大小重新編號，使其滿足：

③由下式計算除去最壞點以外各點組成圖形的中心的目標值：

當滿足式（8）時，停止迭代計算，否則轉(zhuǎn)入下一步。

④反射計算：

若f（k（n＋2））＜f（k（0）），轉(zhuǎn) 入 第 ⑤ 步；若f（k（n＋2））＜f（k（n）），轉(zhuǎn)入第⑥步；若f（k（n＋2））≥f（k（n）），轉(zhuǎn)入第⑦步。

⑤擴張計算：

若滿足f（k（n＋3））＜f（k（n＋2）），令k（n）＝k（n＋3），轉(zhuǎn)入第②步，否則轉(zhuǎn)入下一步。

⑥令k（n）＝k（n＋2），轉(zhuǎn)入第②步。

⑦收縮計算：

若滿足f（k（n＋4））＜f（k（n）），令k（n）＝k（n＋4），轉(zhuǎn)入第②步，否則轉(zhuǎn)入下一步。

⑧壓縮計算：

k（j）＝k（0）＋σ（k（j）－k（0）），j＝0，1，…，n，轉(zhuǎn)入第②步。

2.2 優(yōu)化結(jié)果分析

以滾轉(zhuǎn)通道為例建立模型，如圖1所示。Mxd1為副翼產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩的效率。

該回路中共有5個系數(shù)分別是速率反饋系數(shù)kd1、角度反饋系數(shù)kd2、微分系數(shù)kd、比例系數(shù)kp和積分系數(shù)ki。令kd2＝1，kd1＝1，ki＝0，加入PD環(huán)節(jié)后利用極點配置法，獲得kd＝－1.723×106，kp＝－9.091×106。

根據(jù)極點配置獲得的PD系數(shù)設置6組初始控制器參數(shù)值，利用階躍響應結(jié)果進行參數(shù)非線性優(yōu)化。滾轉(zhuǎn)通道的優(yōu)化迭代階躍響應曲線如圖2所示。

由仿真結(jié)果可以看出，利用該方法能夠有效設計這類控制器，整個階躍響應的超調(diào)量下降了70%，過渡過程時間由1.5s減少至1.3s，優(yōu)化效果顯著。

圖1 滾轉(zhuǎn)通道的簡化模型

圖2 參數(shù)優(yōu)化過程響應曲線

3 增益調(diào)度系統(tǒng)設計

3.1 調(diào)度變量的選擇指標分析

本文利用線性相關系數(shù)選取調(diào)度變量，下面證明線性相關系數(shù)與控制性能指標的正比關系。

設X為調(diào)度變量，且X∈R1×6，K5×5為對應的控制參數(shù)矩陣，將每個特征點處的5個控制系數(shù)組成一列，則可將5個特征點處的全部控制系數(shù)表示為K5×5＝（k1k2k3k4k5），K′∈R5×5。5個系數(shù)的相關系數(shù)計算公式如下：

式中：ξ分別代表p，i，d，d1，d2。

利用單純形法，對5個控制點處的控制參數(shù)集k1～k5分別進行優(yōu)化設計，迭代過程中保證了目標函數(shù)達到最小f＊。定義特征點處控制器的控制性能為

ρ越大表示控制器越接近期望性能，該指標量綱為rad－1。

期望的控制性能為ρ＊，控制器的控制性能為ρ′。兩者之間的性能差距可表示為

由協(xié)方差與數(shù)理統(tǒng)計相關理論，可知：

式中：kξ為設計控制器時的理論優(yōu)化參數(shù)；為擬合系數(shù)；D（kξ）為系數(shù)kξ的方差。將上式5個等式求和，可得：

故當線性相關系數(shù)rXk越大，擬合形成的控制器系數(shù)與定點設計的控制器的控制參數(shù)k就越接近，就越小。由單純形法優(yōu)化最終收斂條件式（8）可知，因此有≤ε，即在理論優(yōu)化控制系數(shù)k的臨域內(nèi)，目標函數(shù)收斂于局部最優(yōu)f＊。因此有：

以ρ為半徑作圓來形象化地表示控制能力，縱軸為控制器參數(shù)無量綱，橫軸為增益調(diào)度變量的數(shù)值，其量綱由所選的調(diào)度變量確定，當兩者的線性相關性越小，控制器的控制能力也越小，如圖3所示。

圖3 線性相關性與控制系統(tǒng)魯棒性的關系

3.2 增益調(diào)度控制系統(tǒng)設計

分析RBV整個再入制導過程，利用295s時的控制器對處于不同高度的RBV進行控制，以俯仰通道為例，可獲得如圖4所示的階躍響應的曲線族。隨著高度h的降低，由于氣動效率的增加，超調(diào)量不斷增加且上升時間縮短，過渡過程時間延長。

在47.45～54.1km的高度范圍內(nèi)選取6個特征點，除47.45km處的控制器外，還要根據(jù)氣動參數(shù)的變化對其它高度處的5個特征點的控制器重新進行設計，重新整定后的控制器的階躍響應曲線族如圖5所示。最終3個通道調(diào)整后的控制器參數(shù)如表1所示。

圖4 同一控制器在不同特征點處的響應曲線

圖5 調(diào)整控制器后在不同特征點處的響應曲線

表1 不同特征點處的控制系數(shù)總表

將各組系數(shù)對應不同的調(diào)度系數(shù)進行插值，并計算響應的線性相關系數(shù)。通過計算滾轉(zhuǎn)通道的比例系數(shù)與不同增益調(diào)度變量之間的線性相關系數(shù)可知，同一控制系數(shù)與不同調(diào)度變量間存在不同的線性相關性。同一調(diào)度變量與不同參數(shù)間的線性關系，如圖6所示。從中可以看出調(diào)度變量與不同控制參數(shù)間存在不同的線性相關性。由圖7可知，在不同的通道下同一組調(diào)度變量與控制系數(shù)之間存在不同的線性相關性。綜合考慮以上3種對應關系的線性相關系數(shù)，選擇馬赫數(shù)作為滾轉(zhuǎn)、偏航通道的調(diào)度變量，高度作為俯仰通道的調(diào)度變量。

在選擇合適的調(diào)度變量之后，利用調(diào)度策略，將輸入的調(diào)度變量對應的控制參數(shù)通過插值的方法解算出來，從而建立這一時刻的控制器。

3.3 增益調(diào)度系統(tǒng)仿真

將設計好的控制器參數(shù)裝定入增益調(diào)度模塊，給定期望姿態(tài)角并開始仿真。仿真過程中的所有氣動參數(shù)都是根據(jù)參數(shù)插值環(huán)節(jié)獲得，整個系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。

圖6 馬赫數(shù)與控制參數(shù)間的線性關系圖

圖7 動壓與三通道反饋的線性關系圖

仿真初始條件如下：初始時間295s，初始位置（125.46km，528.65km，0.789km），初 始 速度1 365.1m／s，速度傾角 3.726 9rad，速度偏角0.000 263rad，姿態(tài)角（4.405 5rad，0，0），姿態(tài)角速度0，質(zhì)量30 500kg，轉(zhuǎn)動慣量（90 000kg·m2，939 000kg·m2，923 000kg·m2）。

仿真結(jié)果，分別表示滾轉(zhuǎn)角、側(cè)滑角、攻角以及角速度在5s內(nèi)的控制結(jié)果。

仿真結(jié)果如圖8所示，由于滾轉(zhuǎn)通道與其它通道存在耦合，因此存在小幅度波動。實際偏航角較好地跟蹤了期望信號，雖然存在一個較小的控制延時誤差，但誤差不會積累。俯仰通道在1.2s之后呈現(xiàn)周期性震蕩，最大偏差不超過0.3°。

圖8 姿態(tài)角的仿真結(jié)果

以上仿真結(jié)果表明，采用線性相關系數(shù)的方法選擇調(diào)度變量，可以充分發(fā)揮增益調(diào)度系統(tǒng)的優(yōu)越性，達到更好的控制效果。

4 結(jié)束語

本文以RBV為控制對象，基于線性相關系數(shù)進行再入段增益調(diào)度控制系統(tǒng)設計。

①采用單純形法與極點配置組合優(yōu)化方法設計并優(yōu)化控制器參數(shù)，完成單個點處的線性控制器設計，提高了控制器設計精度和設計效率。整個階躍響應的超調(diào)量下降了70%，過渡過程時間由1.5s減少至1.3s。

②基于傳統(tǒng)增益調(diào)度方法，并根據(jù)參數(shù)優(yōu)化的迭代收斂條件和概率統(tǒng)計中的擬合線性相關性理論，提出了反映不同調(diào)度變量控制性能的量化指標，證明并驗證了基于線性相關系數(shù)的增益調(diào)度控制系統(tǒng)能很好地滿足控制要求，最終仿真結(jié)果跟蹤誤差不超過0.3°。

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