汪民樂，房茂燕

（第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710025）

對(duì)面積目標(biāo)射擊效能優(yōu)化問題是導(dǎo)彈作戰(zhàn)效能分析中一個(gè)經(jīng)典而復(fù)雜的問題，其本質(zhì)是導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)的優(yōu)化選擇［1－4］。由于目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜性，對(duì)面積目標(biāo)射擊導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)的優(yōu)化是典型的非線性多峰函數(shù)優(yōu)化問題。對(duì)該問題，基于爬山法（Climbing）的傳統(tǒng)求解算法效率低下，且通常只能獲得次優(yōu)解，因而不能充分發(fā)揮導(dǎo)彈的毀傷效能，也不利于提高作戰(zhàn)指揮決策的效率。在導(dǎo)彈射擊效能分析實(shí)踐中，為使問題簡(jiǎn)化，常見的做法是將面積目標(biāo)形狀近似為規(guī)則的幾何形狀，利用已有的特殊函數(shù)（如：拉普拉斯函數(shù)）來簡(jiǎn)化瞄準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，以降低問題求解的難度和計(jì)算量。但這種對(duì)目標(biāo)形狀的近似勢(shì)必帶來求解精度的下降，直接影響導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化選擇的效果，而且即便是簡(jiǎn)化后的問題，其求解復(fù)雜性依然存在，這已為大量實(shí)際問題所證明。遺傳算法作為一種仿生類智能優(yōu)化算法［5－8］，采用群體搜索策略，由于其搜索過程的隱并行性，對(duì)導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化這類復(fù)雜非線性優(yōu)化問題具有較高的求解效率，同時(shí)也具有較高的全局收斂性。遺傳算法的求解過程還不依賴于問題本身，主要表現(xiàn)在對(duì)目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜性不敏感，甚至不要求有目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式［9－10］，而這一特性尤其適合于導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化這類具有復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)的問題。此外，用遺傳算法求解對(duì)面積目標(biāo)射擊導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化問題，無(wú)須對(duì)面積目標(biāo)形狀進(jìn)行近似，即適應(yīng)于任意形狀面積目標(biāo)，而對(duì)任意形狀面積目標(biāo)瞄準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化問題至今仍是射擊效能分析中的難點(diǎn)。因此，用遺傳算法求解導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)優(yōu)化問題具有傳統(tǒng)算法無(wú)可比擬的突出優(yōu)點(diǎn)。

1 對(duì)面積目標(biāo)射擊效能優(yōu)化模型

在面積目標(biāo)價(jià)值分布不均勻的情況下，對(duì)面積目標(biāo)射擊效能優(yōu)化問題是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，需要考慮的目標(biāo)有3個(gè)：objective 1，平均毀傷面積盡量大；objective 2，平均毀傷價(jià)值盡量大；objective 3，脫靶面積盡量小。

設(shè)面積目標(biāo)所占區(qū)域?yàn)镾A，對(duì)該目標(biāo)發(fā)射N發(fā)導(dǎo)彈，試決定N發(fā)導(dǎo)彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)（xi，yi）（i＝1，2，…，N），以使總的射擊效能最優(yōu)，即

式中：f1，f2，f3分別表示objective 1，objective 2，objective 3的目標(biāo)函數(shù)；f為目標(biāo)函數(shù)向量。建立對(duì)面積目標(biāo)射擊效能多目標(biāo)優(yōu)化模型的關(guān)鍵是3個(gè)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的構(gòu)造。以下分別給出各目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。

1）objective 1的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。

objective 1的目標(biāo)函數(shù)為：maxf1＝M［Sh］，式中：Sh為N枚導(dǎo)彈總的殺傷面積。M［Sh］的計(jì)算需分2種情形進(jìn)行。

①當(dāng)N枚導(dǎo)彈射擊相互獨(dú)立時(shí)：

式中：（x′，y′）為SA上任一點(diǎn)坐標(biāo)，Pi（x′，y′）為第i枚導(dǎo)彈對(duì)以（x′，y′）為中心的面積元的殺傷概率：

式中：Gi（x－x′，y－y′）為第i枚彈作用下（x′，y′）的依坐標(biāo)毀傷律，當(dāng)各枚導(dǎo)彈威力相同時(shí)，依坐標(biāo)毀傷律可統(tǒng)一記為G（x－x′，y－y′）；φi（x，y，xi，yi）為第i枚導(dǎo)彈在以（xi，yi）為瞄準(zhǔn)點(diǎn)的情況下彈著點(diǎn)分布律。

在給定（xi，yi）（i＝1，2，…，N）時(shí)，Pi（x′，y′）及M［Sh］的計(jì)算需采用高維數(shù)值積分方法。

②當(dāng)N枚導(dǎo)彈射擊相關(guān)時(shí)：

式中：（xg，yg）表示N枚導(dǎo)彈的集體誤差，φg（xg，yg）為集體誤差分布密度函數(shù)，Pi（x′，y′，xg，yg）為在固定的集體誤差下第i枚導(dǎo)彈對(duì)以（x′，y′）為中心的面積元的殺傷概率，則

式中：φi（x，y，xi，yi／xg，yg）表示在固定的集體誤差（xg，yg）下，第i枚導(dǎo)彈在以（xi，yi）為瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)彈著點(diǎn)的條件分布密度函數(shù)。

2）objective 2的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。

objective 2的目標(biāo)函數(shù)表示達(dá)式：maxf2＝M［Vh］，其中，Vh為N枚導(dǎo)彈總的毀傷價(jià)值。

完全類似于objectivet 1目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的建立過程，同樣分2種情形計(jì)算在瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)為（xi，yi）（i＝1，2，…，N）時(shí)的M［Vh］。

①當(dāng)N枚導(dǎo)彈射擊相互獨(dú)立時(shí)：

式中：V（x′，y′）為面積目標(biāo)的價(jià)值密度函數(shù)。

②當(dāng)N枚導(dǎo)彈射擊相關(guān)時(shí)：

3）objective 3的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式。

以各枚導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)距面積目標(biāo)中心距離的和作為objective 3的度量，則目標(biāo)函數(shù)形式為

為統(tǒng)一于式（1）的形式，將式（8）等價(jià)為下列形式：

式中：（xo，yo）為面積目標(biāo)中心坐標(biāo)。

2 對(duì)面積目標(biāo)射擊效能的遺傳優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

由于多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法在求解多目標(biāo)優(yōu)化模型上的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，以及面積目標(biāo)射擊效能多目標(biāo)優(yōu)化模型的復(fù)雜性，適宜采用多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法對(duì)其求解。在求解時(shí)，有2種策略：①直接求解，即同時(shí)考慮3個(gè)目標(biāo)，此時(shí)為多目標(biāo)無(wú)約束優(yōu)化；②將objective 3化為約束，從而將問題簡(jiǎn)化為二目標(biāo)的優(yōu)化，約束形式為

式中：So為某一正值。此約束的數(shù)學(xué)意義是把（xi，yi）（i＝1，2，…，N）局限在R2N中的一個(gè)超球內(nèi)。

由此可見，無(wú)論采取何種策略，Objective 1和Objective 2都必須同時(shí)被考慮，這是因?yàn)槎弑磉_(dá)的目的不同。Objective 1的目的是使殺傷范圍盡量大，以造成廣泛的心理壓力，最大程度地削弱敵方士氣；objective 2的目的是最大程度地摧毀敵方軍事、經(jīng)濟(jì)實(shí)力，獲取最高的作戰(zhàn)效費(fèi)比?？梢孕蜗蟮卣f，objective 1的效應(yīng)體現(xiàn)在橫向，而objective 2的效應(yīng)體現(xiàn)在縱深。從瞄準(zhǔn)點(diǎn)選擇的角度來看，objective 1要求彈著點(diǎn)稀疏，以使重復(fù)殺傷盡量小，而objective 2要求彈著點(diǎn)置于高價(jià)值區(qū)域，objective 3則要求彈著點(diǎn)集中于目標(biāo)中心。必須指出的是，當(dāng)目標(biāo)價(jià)值分布均勻時(shí)，objective 1與objective 2等價(jià)。以下將采用第2種求解策略，即簡(jiǎn)化為二目標(biāo)優(yōu)化問題。

2.1 編碼方案

在利用遺傳算法求解問題時(shí)，最先解決的應(yīng)該是編碼問題，即如何將問題的解轉(zhuǎn)化為染色體，在對(duì)面積目標(biāo)的攻擊決策過程中主要涉及到目標(biāo)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)。圖1所示陰影部分表示面積目標(biāo)Si，對(duì)Si的發(fā)射彈數(shù)為ni，瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)記為（）（j＝1，2，…，ni），瞄準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)置于Si上以減小脫靶面積。

圖1 面積目標(biāo)示意圖

根據(jù)Si幅員可得：

為減小染色體編碼長(zhǎng)度，采用實(shí)數(shù)編碼。每個(gè)染色體由ni個(gè)基因段構(gòu)成，每個(gè)基因段包含2個(gè)基因，分別表示瞄準(zhǔn)點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。因此，染色體總長(zhǎng)度為2ni，整個(gè)染色體編碼代表子模型的一個(gè)解，如圖2所示。

圖2 染色體示例

2.2 適應(yīng)度函數(shù)的計(jì)算

針對(duì)不同的射擊情形，在不計(jì)殺傷積累的條件下，建立不同的適應(yīng)度函數(shù)。

①各枚導(dǎo)彈的射擊相互獨(dú)立，且彈著點(diǎn)隨機(jī)散布。

此種情形見于各枚導(dǎo)彈由不同平臺(tái)發(fā)射，或雖由同一平臺(tái)發(fā)射，但每次射擊均重新瞄準(zhǔn)。

設(shè)第j枚導(dǎo)彈彈著點(diǎn)坐標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為σxj，σyj，不計(jì)系統(tǒng)誤差，彈著點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)合概率密度函數(shù)為

設(shè)（x′，y′）為Si上任一點(diǎn)，則該點(diǎn)被第j枚導(dǎo)彈殺傷的概率為

式中：Rj為第j枚導(dǎo)彈的殺傷半徑。

由于ni枚導(dǎo)彈射擊相互獨(dú)立，則（x′，y′）至少被一枚導(dǎo)彈殺傷的概率為

設(shè)d（x′，y′）表示（x′，y′）處目標(biāo)價(jià)值密度，則ni枚導(dǎo)彈對(duì)面積目標(biāo)Si的平均殺傷價(jià)值為

在式（14）中令d（x′，y′）＝1，則此時(shí)將得到平均殺傷面積。

對(duì)于任一個(gè)體X，以平均殺傷面積作為其第一適應(yīng)度f(wàn)1（X），以平均殺傷價(jià)值作為其第二適應(yīng)度f(wàn)2（X），這樣，任一個(gè)體X均 對(duì)應(yīng)一個(gè)適應(yīng)度向量f（X）：

②各枚導(dǎo)彈射擊相關(guān)，且彈著點(diǎn)隨機(jī)散布。

此種情形見于各枚導(dǎo)彈由同一平臺(tái)齊射或連射。

設(shè)射擊隨機(jī)誤差為2組誤差型，且集體隨機(jī)誤差為（xG，yG），其分布密度為fG（xG，yG），在（xG，yG）一定的情況下，各枚導(dǎo)彈射擊相互獨(dú)立。設(shè)第j枚導(dǎo)彈彈著點(diǎn)坐標(biāo)在固定隨機(jī)誤差下的條件密度為fj（xj，yj／xG，yG），類似于式（13）得ni枚導(dǎo)彈在固定的（xG，yG）下殺傷Si上任一點(diǎn)（x′，y′）的概率為

式中：

考慮到（xG，yG）的隨機(jī)性，由全概率公式得ni枚廣義彈對(duì)（x′，y′）的殺傷概率為

至此，完全類似于式（14），可以得到任意個(gè)體X的適應(yīng)度向量f（X）。

③ni枚導(dǎo)彈部分相關(guān)且彈著點(diǎn)隨機(jī)散布。

所謂部分相關(guān)是指ni枚導(dǎo)彈可以劃分為若干類，每一類導(dǎo)彈射擊相關(guān)，但各類之間射擊相互獨(dú)立。此種情形見于多個(gè)平臺(tái)射擊，每一平臺(tái)齊射或連射若干枚，或由同一平臺(tái)進(jìn)行多輪射擊，每一輪射擊齊射或連射若干枚導(dǎo)彈且各輪射擊均重新瞄準(zhǔn)。

不失一般性，設(shè)ni枚導(dǎo)彈可劃分為q個(gè)相關(guān)類，第k類包括nik枚導(dǎo)彈，顯然

首先由②中的方法求出第k個(gè)相關(guān)類中導(dǎo)彈對(duì)Si上任一點(diǎn)（x′，y′）的殺傷概率Phk（k＝1，2，…，q），再由①中方法求出q個(gè)相關(guān)類對(duì)（x′，y′）的殺傷概率Ph：

由Ph，采用與①、②中完全類似的方法，即可得到任一個(gè)體X的適應(yīng)度向量f（X）。

④不考慮彈著點(diǎn)散布，即認(rèn)為各彈落點(diǎn)無(wú)飄移。

此種情形下選擇最優(yōu)瞄準(zhǔn)點(diǎn)實(shí)際上是選擇最優(yōu)“成爆點(diǎn)”，即導(dǎo)彈應(yīng)成爆于此；至于散布問題，應(yīng)在發(fā)射或投擲過程中加以控制，力求準(zhǔn)確命中預(yù)定瞄準(zhǔn)點(diǎn)。事實(shí)上，投射誤差是無(wú)法預(yù)測(cè)的，這主要是由于大量隨機(jī)誤差的影響。指出成爆點(diǎn)已經(jīng)為攻擊行動(dòng)指明了方向，達(dá)到了支持戰(zhàn)前決策的目的，這也正是本文研究與以往文獻(xiàn)的一個(gè)不同之處。

精確制導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展也為這種選取瞄準(zhǔn)點(diǎn)的方法提供了有力支持。例如：射程長(zhǎng)達(dá)2 000km的戰(zhàn)斧式巡航導(dǎo)彈誤差僅10m左右，其它短程導(dǎo)彈誤差更小，且更易控制其瞄準(zhǔn)、命中過程。用選擇“成爆點(diǎn)”代替選擇瞄準(zhǔn)點(diǎn)的思想可避免大量繁雜而效益不大的推導(dǎo)、計(jì)算，大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間，從而向瞄準(zhǔn)點(diǎn)選擇的快速化甚至實(shí)時(shí)化邁進(jìn)一大步。

在無(wú)飄移情形下計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度可采用目標(biāo)分塊法，即通過加網(wǎng)格將目標(biāo)劃分為許多小矩形塊，根據(jù)小矩形塊中心坐標(biāo)以及各枚導(dǎo)彈預(yù)定彈著點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)小矩形塊作殺傷判斷，并分別作殺傷價(jià)值和殺傷面積累加，即可得到個(gè)體的適應(yīng)度向量f（X）。

2.3 適應(yīng)度函數(shù)的再設(shè)計(jì)

根據(jù)瞄準(zhǔn)點(diǎn)選擇多目標(biāo)優(yōu)化的需要，對(duì)適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行再設(shè)計(jì)，該適應(yīng)度函數(shù)由2個(gè)函數(shù)構(gòu)成，定義如下。

定義1 極值性適應(yīng)度函數(shù)。

對(duì)于任意個(gè)體X，有一個(gè)適應(yīng)度向量f（X）與之對(duì)應(yīng)，以該向量的長(zhǎng)度作為個(gè)體X的極值性適應(yīng)度函數(shù)，有：

定義2 均勻性適應(yīng)度函數(shù)。

僅用fit，1度量個(gè)體的適應(yīng)性是不夠的，因?yàn)榭赡艽嬖谶@樣的個(gè)體，fit，1較大，但適應(yīng)度向量中某個(gè)分量fi（X）較小，仍然不滿足非劣性要求，因此，還需要定義個(gè)體的均勻性適應(yīng)度函數(shù)：

式中：C為某個(gè)足夠大的正常數(shù)。

2.4 遺傳操作

以上設(shè)計(jì)的多目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)實(shí)際由2個(gè)適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)成，因而，不能再采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的選擇算子。為此提出一種新型選擇算子——多重選擇算子。其執(zhí)行流程是：首先以fit，1（X）為適應(yīng)度對(duì)種群進(jìn)行選擇，得到一個(gè)中間種群；再以fit，2（X）為適應(yīng)度對(duì)中間種群進(jìn)行選擇，得到新種群。其中2次種群選擇的具體操作仍可采用賭輪選擇，同時(shí)加入最優(yōu)個(gè)體保護(hù)策略以保證全局收斂性。這樣的選擇過程逐代進(jìn)行，可以使種群的非劣性逐步提高。交叉操作采用實(shí)數(shù)編碼的部分離散雜交算子，變異操作采用實(shí)數(shù)編碼的均勻變異算子。必須指出的是，對(duì)于實(shí)數(shù)編碼，變異成為主要算子，變異概率較之二進(jìn)制編碼有較大增加。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，二進(jìn)制編碼變異概率取值范圍約為0.001～0.05，而實(shí)數(shù)編碼的變異概率的取值范圍約為0.2～0.5。

3 仿真實(shí)例

假設(shè)利用導(dǎo)彈攻擊某一區(qū)域面積目標(biāo)，目標(biāo)的形狀為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)、寬分別為100m和400m。為了便于計(jì)算，假設(shè)目標(biāo)的價(jià)值密度函數(shù)d（x，y）＝1，此時(shí)對(duì)目標(biāo)毀傷的面積指標(biāo)1與價(jià)值指標(biāo)2相同，簡(jiǎn)化了計(jì)算。

現(xiàn)在考慮利用6枚同一類型導(dǎo)彈對(duì)該目標(biāo)進(jìn)行攻擊，利用本文提出的方法求解最佳瞄準(zhǔn)點(diǎn)。假設(shè)各導(dǎo)彈的殺傷半徑為50m，標(biāo)準(zhǔn)差相同，均為10m，各枚導(dǎo)彈的射擊相互獨(dú)立，且彈著點(diǎn)隨機(jī)散布。以攻擊目標(biāo)的一個(gè)角作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 目標(biāo)區(qū)域示意圖

假設(shè)第i個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi，yi），則0≤xi＜200m，0≤yi＜50m，采用實(shí)數(shù)編碼，精度為10－4m，即小數(shù)點(diǎn)后取4位，則染色體的長(zhǎng)度為78。采用初始種群規(guī)模為100，交叉概率為0.75，變異概率為0.4，按照上面的進(jìn)化規(guī)則對(duì)種群進(jìn)行進(jìn)化，進(jìn)化100代，得到結(jié)果如下：最大毀傷面積為36 139.60m2，6枚導(dǎo)彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)分別為（32.904 0，52.066 2），（118.395 6，55.683 9），（206.282 8，53.037 1），（275.600 9，87.675 8），（286.826 5，21.992 0），（356.534 4，49.954 5）（單位：m），如圖4所示。

圖4 導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)分布圖

從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，利用本文提出的算法得到的導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)分布合理，用6枚導(dǎo)彈對(duì)此面積目標(biāo)的面積毀傷即達(dá)到了90.35%，效果非常好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過分析面積目標(biāo)的特點(diǎn)，首先建立了面積目標(biāo)優(yōu)化問題的指標(biāo)函數(shù)，然后設(shè)計(jì)了一種面積目標(biāo)射擊效能遺傳優(yōu)化算法。該遺傳算法采用實(shí)數(shù)編碼，由于此問題為多目標(biāo)優(yōu)化問題，在選擇算子中采用依托多個(gè)指標(biāo)的選擇算子，同時(shí)針對(duì)不同的射擊情形，給出了各自的指標(biāo)評(píng)價(jià)方程，在具體問題求解過程中具有很強(qiáng)的操作性。最后通過仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文提出的算法進(jìn)行驗(yàn)證，得到了滿意的結(jié)果。

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