段美華 殷 瑩

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 天津300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，中國(guó) 天津300222）

0 前言

20世紀(jì)二、三十年代，美國(guó)人休哈特博士首先提出過(guò)程控制的概念與實(shí)施過(guò)程監(jiān)控的方法，經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，現(xiàn)己形成統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制理論，即SPC(Stat_istical Process Control)。它是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)過(guò)程中的各個(gè)階段進(jìn)行監(jiān)控，從而達(dá)到保證與改進(jìn)質(zhì)量的目的。統(tǒng)計(jì)中我們常假設(shè)觀察值為來(lái)自某總體的獨(dú)立同分布樣本，之后考慮總體某些特征的估計(jì)，然而，在實(shí)際問(wèn)題中，觀察到的數(shù)據(jù)多與時(shí)間有關(guān)且可能是相關(guān)的。針對(duì)這些相關(guān)數(shù)據(jù)的建模及預(yù)測(cè)我們采用了時(shí)間序列。

1 自相關(guān)函數(shù)

1）μ1=c,其中c為一常數(shù)

2）E（X2t）＜∞,即二階矩有限

3）γ（t，s）＝γ（t-s，0）

2 P階自回歸序列AR（P）的相關(guān)結(jié)構(gòu)

在平穩(wěn)時(shí)間序列分析中，常見(jiàn)的三種模型為自回歸AR(p),移動(dòng)平均MA(q)和自回歸移動(dòng)平均序列ARMA(p,q)模型。這里我們只研究AR(p)模型。

特別地，當(dāng)P=1,即對(duì)于AR(1)序列，ψj=φ-1j，γ（h）＝φ-1h

另外，對(duì)于AR(P)序列的自協(xié)方差函數(shù)，我們還有如下迭代公式：

如在上式中取h=1,2,...,p,則有如下的Yule-Walker方程,其中

對(duì)于AR(p)序列而言，其最主要的特征是其偏相關(guān)函數(shù)具有截尾的特點(diǎn)。其偏相關(guān)的定義為：對(duì)于任一給定的k＞0，我們記αk=（αk1，…，αkk），且αk＝Γ-k1γk，則稱｛αkk，k=0，1，2，…｝為AR(p)序列的偏相關(guān)函數(shù)，其中α00=1。

可以證明：零均值的平穩(wěn)序列｛xi｝為AR(p)序列的充要條件是αkk=0，?k＞p。由此可見(jiàn)，偏相關(guān)函數(shù)截尾性質(zhì)是用來(lái)判斷一組數(shù)據(jù)是否來(lái)自AR模型的有效方法。

3 實(shí)例

某化學(xué)工廠需就其某種化工產(chǎn)品的溫度進(jìn)行測(cè)量，以便決定其是否合格。表1所示的數(shù)據(jù)為該工廠對(duì)該產(chǎn)品每2分鐘進(jìn)行一次溫度測(cè)量的結(jié)果（從左到右，共100次測(cè)量）。

表1 產(chǎn)品溫度測(cè)量記錄表

（1）由于數(shù)據(jù)的相關(guān)性對(duì)檢測(cè)的效果有極大影響，所以對(duì)于這些溫度測(cè)量結(jié)果，首先比較重要的是研究這些數(shù)據(jù)的相關(guān)性。因此，我們根據(jù)表1，通過(guò)minitab計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，其中顯著性限制為0.05,結(jié)果如圖1所示。

圖1

自相關(guān)函數(shù)圖a的正弦慢衰減表明了測(cè)量數(shù)據(jù)符合自回歸過(guò)程，而偏自相關(guān)函數(shù)圖顯示自回歸過(guò)程的階數(shù)為1。

（2）基于上面的分析，對(duì)于這些測(cè)量數(shù)據(jù)，我們構(gòu)造一階自回歸模型xt=ξ+φxt-1+εt，并就該模型建立一個(gè)基于殘差的單值控制圖，如圖2。

對(duì)圖2結(jié)果進(jìn)行分析可知，第94個(gè)溫度記錄值偏離中心線超過(guò)了3δ值，即第94個(gè)溫度記錄值為失控；第69、70、71這3個(gè)連續(xù)溫度記錄值中，有2溫度值（第69個(gè)和71個(gè)）偏離中心線超過(guò)了2δ值。并可以看出，在最初的溫度記錄中，殘差不表現(xiàn)出周期性,且分布在控制限之內(nèi)，即化學(xué)過(guò)程可控。

圖2 基于殘差的單值控制圖

（3）就上述模型，我們現(xiàn)在分別構(gòu)造基于殘差的CUSUM和EWMA控制圖，如圖3。其中CUSUM控制圖中k=0.5,h=5；EWMA控制圖中λ=0.1,L=2.7。

圖3

從CUSUM控制圖可以看出，沒(méi)有觀察值超過(guò)控制限，殘差可控,即過(guò)程可控。

這與殘差的單值控制圖所得到的結(jié)論是一致的。從EWMA控制圖也可以看出，沒(méi)有觀察值超過(guò)控制限，殘差可控,過(guò)程可控。這與殘差的單值控制圖和CUSUM控制圖所得到的結(jié)論一致。

4 結(jié)論

從上面對(duì)化工產(chǎn)品溫度測(cè)量數(shù)據(jù)的分析知，為了避免測(cè)量數(shù)據(jù)有相關(guān)性，我們可以通過(guò)時(shí)間序列中的相關(guān)函數(shù)圖選擇更好的模型，以便在以后的檢測(cè)中減少錯(cuò)誤報(bào)警率，提高效率。而且該方法也適用于其他方面的測(cè)量數(shù)據(jù)的研究。

［1］安鴻志.時(shí)間序列分析[M].華東師范出版社,1992.

［2］王兆軍，鄒長(zhǎng)亮，李忠華.統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制圖理論與方法[M].南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系,2013.

［3］王沁.時(shí)間序列分析及其應(yīng)用[M].西南交通大學(xué)出版社,2008.

［4］Lowry,C.A.,Woodall,W.H.,Champ,C.W.and Rigdon,S.E..Multivariate exponentially weighted moving average control chart[J].Technometrics,1992,34:46-53.