張丹丹 黃 麗 韋忠燕 申 高

（貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550018）

1 博弈論與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

1.1 博弈論簡(jiǎn)介

博弈論，直譯為“游戲理論”（Game Theory），是研究具有競(jìng)爭(zhēng)性活動(dòng)的理論和方法，它既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，也是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。博弈論是指?jìng)€(gè)人或組織面對(duì)一定的環(huán)境條件，在一定的規(guī)則下，依靠掌握的信息選擇策略加以實(shí)施并取得相應(yīng)的結(jié)果或受益的過(guò)程[1]。博弈論可分為常和（競(jìng)爭(zhēng)）博弈和變和（合作）博弈。常和博弈指人們?cè)诶嫦鄾_突的情況下如何采取策略使自己的收益最大；變和博弈是指人們通過(guò)合作使社會(huì)利益和個(gè)人利益達(dá)到最大，即收益分配問(wèn)題。

一個(gè)完整的博弈模型包括:博弈的參與者、各博弈方各自可選擇的全部策略或行為的集合、進(jìn)行博弈的次序、博弈方的得益四項(xiàng)內(nèi)容[2]。因而博弈論就是在各博弈方具有完全或有限理性能力的條件下，合理選擇策略時(shí)所得到的結(jié)果，并分析這些結(jié)果所帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)效益。

1.2 數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)教育教學(xué)制度的推進(jìn)影響數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展速度和方向，隨著對(duì)教育認(rèn)識(shí)的不斷加深，數(shù)學(xué)教育也正在迅速的從“灌”、“注”、“填”[4]教學(xué)模式向現(xiàn)代的自主、合作、探究式教學(xué)的轉(zhuǎn)變。

時(shí)至今日，世界各國(guó)都設(shè)置了九年以上的學(xué)校數(shù)學(xué)課程[3],而我國(guó)所涉及的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要是傳統(tǒng)的班級(jí)授課制，是數(shù)學(xué)教育教學(xué)中普遍使用的授課方式。主要包括教師傳授知識(shí)、技能和講解，學(xué)生學(xué)習(xí)、回答的全過(guò)程[3]；即把年齡和知識(shí)程度相同或相近的學(xué)生，編成固定人數(shù)的班級(jí)集體，按照數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的內(nèi)容，通過(guò)數(shù)學(xué)教材，選擇教學(xué)方法，并按照固定的時(shí)間，向全班學(xué)生進(jìn)行授課組織的形式，即為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是教師引起、維持或促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的一種形式。亦“教學(xué)”乃教師教、學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一活動(dòng)，在這個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)老師的教掌握一定的知識(shí)和技能，同時(shí)身心獲得一定的發(fā)展。

1.3 博弈論與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之間的聯(lián)系

現(xiàn)代博弈論是研究博弈行為發(fā)生相互作用時(shí)的博弈和該博弈的均衡問(wèn)題，即人們之間的博弈與行為成為一種相互影響的關(guān)系。所謂納什均衡是指在博弈中每個(gè)局中人都能在其他局中人已經(jīng)選擇策略的情況下，能夠選擇最優(yōu)策略以回應(yīng)對(duì)手。同樣在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，師生之間也在進(jìn)行博弈，他們?cè)谶M(jìn)行博弈時(shí)都必須考慮到對(duì)方的策略，選擇最優(yōu)策略使自己的收益達(dá)到最大，雙方之間達(dá)到“納什均衡”。因此，數(shù)學(xué)課堂事實(shí)上就是一個(gè)師生博弈，本文將從博弈論的角度分析老師和學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的博弈活動(dòng)以及如何取得雙贏。從而提高數(shù)學(xué)課堂的效率。

2 博弈視野下影響數(shù)學(xué)課堂教學(xué)分析

在課堂教學(xué)中，老師的“教”是促進(jìn)課堂教學(xué)活動(dòng)和師生發(fā)展的重要環(huán)節(jié)。而影響“教”的主要因素有：教師自身的職業(yè)道德和教學(xué)態(tài)度；教師對(duì)教材的研究、融合、理解深度與廣度以及綜合相關(guān)知識(shí)的能力，教師的教學(xué)能力一般和他的知識(shí)儲(chǔ)備成正比；教師的教學(xué)設(shè)計(jì)、板書(shū)設(shè)計(jì)和多媒體等各教學(xué)技能的運(yùn)用能力；老師對(duì)師生關(guān)系的認(rèn)知和處理師生關(guān)系的做法，和諧和融洽的師生關(guān)系在教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮著特殊、奇妙的作用。而在課堂教學(xué)中，學(xué)生的“學(xué)”是課堂教學(xué)的核心，是課堂教學(xué)的目的，更是教學(xué)的根本。影響學(xué)生“學(xué)”的主要因素有教師的感染力、專(zhuān)業(yè)知識(shí)水平、教學(xué)方法、教學(xué)態(tài)度；學(xué)生自己的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)能力以及家庭背景等方面。

3 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的博弈策略分析

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,老師和學(xué)生就是兩個(gè)博弈方,他們?yōu)榱耸棺约旱睦孢_(dá)到最大，也在進(jìn)行行為決策之間的博弈[2]。

首先，作為數(shù)學(xué)教師而言，他們不僅將“教師”視為一種謀生的職業(yè)，通過(guò)它來(lái)獲得經(jīng)濟(jì)利益、生活來(lái)源和生活保障[5]；而且他們作為教育者為了維護(hù)自己尊嚴(yán)和自身地位，采取一些措施使學(xué)生服從自己的管理來(lái)滿(mǎn)足精神上的需求。其次，學(xué)生作為受教育者，不僅希望將數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)以致用，獲得生存與發(fā)展所需的技能，從而讓自己更好地適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展，滿(mǎn)足社會(huì)的需求；而且想通過(guò)教育活動(dòng)獲得精神上的追求；他們渴望自由、民主、平等和公正，在課堂上敢于發(fā)表自己的見(jiàn)解，他們不想一味服從教師的管教[5]。因此，無(wú)論是教師還是學(xué)生，都有自己的利益追求和價(jià)值取向，這就形成了他們?cè)跀?shù)學(xué)課堂上的矛盾和沖突，從博弈的角度來(lái)看，這是師生非合作博弈的結(jié)果與表現(xiàn)。

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)課堂中教師和學(xué)生雙方都力求能得到最大利益，因此，我們有必要通過(guò)應(yīng)用相關(guān)博弈論的原理和方法對(duì)師生沖突現(xiàn)象進(jìn)行分析，找到有利于緩和雙方關(guān)系之解，實(shí)現(xiàn)雙方由矛盾向合作的轉(zhuǎn)變。面對(duì)沖突，教師和學(xué)生的策略選擇可以通過(guò)表1的矩陣博弈來(lái)表示。

表1 師生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中沖突的博弈矩陣

我們運(yùn)用以上這種博弈模型來(lái)分析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中老師和學(xué)生的博弈關(guān)系，這種模型我們把它叫做矩陣博弈。這種博弈是表示博弈問(wèn)題的一種常用方法，我們稱(chēng)這種矩陣為一個(gè)博弈的得益矩陣。在上述矩陣中A表示老師，B表示學(xué)生，他們都是博弈的參與者。師生沖突時(shí)，A有三種策略選擇，“好的教學(xué)”、“差的教學(xué)”、“一般的教學(xué)”，B有兩種選擇，“認(rèn)真學(xué)習(xí)”、“不認(rèn)真學(xué)習(xí)”。表中的數(shù)字代表該博弈下雙方的得益情況，正、負(fù)數(shù)表示在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中參與者獲取的利益和損失。

從博弈理論來(lái)看，這個(gè)矩陣表明了可能出現(xiàn)的六種情況。我們假定在數(shù)學(xué)課堂上老師講課的質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度發(fā)生沖突，老師是在學(xué)生認(rèn)不認(rèn)真學(xué)習(xí)而感到矛盾，心里想到底用什么教學(xué)方法去教他們呢？而學(xué)生也會(huì)在想老師會(huì)怎樣的教學(xué)方法來(lái)教，我到底要不要認(rèn)真的聽(tīng)他講課呢？老師和學(xué)生的互相猜疑以及不信任對(duì)方的這種態(tài)度讓他們之間產(chǎn)生了沖突。具體分析如下：

從表中可以看出，第一種情況是老師用差的教學(xué)質(zhì)量面對(duì)不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生；第二種情況是老師用一般的教學(xué)質(zhì)量面對(duì)不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生；第三種情況是老師用好的教學(xué)質(zhì)量面對(duì)不認(rèn)真的學(xué)生；第四種情況是老師用差的教學(xué)質(zhì)量面對(duì)認(rèn)真的學(xué)生；第五種情況是老師用一般的教學(xué)質(zhì)量面對(duì)認(rèn)真的學(xué)生；最后一種情況是老師用好的教學(xué)質(zhì)量面對(duì)認(rèn)真的學(xué)生。下面分析他們的得益情況：

對(duì)于不認(rèn)真學(xué)習(xí)的學(xué)生，如果老師選擇差的教學(xué)質(zhì)量，收益是-1，選擇好的教學(xué)質(zhì)量，收益是+1，選擇一般的教學(xué)質(zhì)量，收益是0；對(duì)于這樣的情況，老師應(yīng)該選擇好的教學(xué)質(zhì)量，收益是+1。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，選擇不認(rèn)真學(xué)習(xí)，收益始終是-1，選擇認(rèn)真學(xué)習(xí)，收益是+1；所以學(xué)生應(yīng)該選擇認(rèn)真學(xué)習(xí)，收益是+1。這樣老師選擇好的教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生選擇認(rèn)真學(xué)習(xí)，那么他們雙方都是得益的。這顯然是最滿(mǎn)意的結(jié)果。也就是說(shuō)，有效的教學(xué)策略會(huì)極大調(diào)動(dòng)主動(dòng)性和積極性，促進(jìn)教學(xué)提高教學(xué)質(zhì)量，最終達(dá)到雙贏[7]。然而，在實(shí)際的教學(xué)當(dāng)中，大部分的課堂教學(xué)都沒(méi)有達(dá)到這樣的效果。

4 博弈視野下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中師生關(guān)系的構(gòu)建

和諧的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要取決于師生之間達(dá)到相互融洽、相互信任、完美配合、教學(xué)相長(zhǎng)的最佳狀態(tài)，博弈視野下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中師生和諧關(guān)系構(gòu)建應(yīng)該注重從二人博弈入手，以合作博弈為目標(biāo)導(dǎo)向，提高課堂教學(xué)效率，達(dá)到“尊師重教”和“以生為本”[7]的教學(xué)效果。

4.1 營(yíng)造師生之間良好的課堂氛圍

首先處理好師生之間和諧的課堂氛圍，其根本在于協(xié)調(diào)師生之間的心理狀態(tài)，使他們間的心理距離縮短，教師要“以生為本”，善于和不同層次的學(xué)生溝通，做到寬容大度、和藹可親、平易近人。讓學(xué)生在情感上能夠感受到教師的愛(ài)，接受教師的教學(xué)方式，達(dá)到平等融洽的氣氛。其次應(yīng)該營(yíng)造師生互動(dòng)課堂的氛圍[7]，老師不再以灌、注、填為基本特征來(lái)主宰課堂，學(xué)生也不會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)情緒，取而代之的是師生之間的相互交流與探討，從而達(dá)到課堂互動(dòng)的氛圍。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下自己動(dòng)手、動(dòng)腦做數(shù)學(xué)，逐步發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和問(wèn)題解決的能力。數(shù)學(xué)課堂中的師生互動(dòng)，既體現(xiàn)了人與人之間的合作關(guān)系，又能將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中，從而推動(dòng)教育的發(fā)展。

4.2 選擇合理的學(xué)習(xí)方法

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)“記憶=竅門(mén)”，找到學(xué)習(xí)的竅門(mén)，知識(shí)就容易記住。所以學(xué)習(xí)方法直接影響著學(xué)生潛能的發(fā)揮。即好的學(xué)習(xí)方法能更好的挖掘他們的潛能，而笨拙的學(xué)習(xí)方法則會(huì)阻礙他們才能的發(fā)展，老師的教學(xué)任務(wù)不再是“授之以漁”。因此在課堂教學(xué)過(guò)程中，老師應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。讓學(xué)生在課堂中不斷的探索新的學(xué)習(xí)方法，并通過(guò)這些方法使他們達(dá)到自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考和積極創(chuàng)新的目的。

4.3 培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)效率

正如孔子所說(shuō)：“知之者不如好之者，好者不如樂(lè)之者”。如果老師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中給學(xué)生創(chuàng)造寬松的成長(zhǎng)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)他們的創(chuàng)造思維，達(dá)到一種雙贏的效果。例如：班級(jí)中的每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力不同，根據(jù)學(xué)生的差異，他們?cè)谡n堂上的表現(xiàn)也會(huì)不同。領(lǐng)悟能力較好的學(xué)生，可能會(huì)想方設(shè)法和周?chē)瑢W(xué)說(shuō)話(huà)，影響他們聽(tīng)課，從而影響了整堂課效率。所以這就需要老師通過(guò)自己的教學(xué)方法保持?jǐn)?shù)學(xué)課堂上的活躍性和趣味性。雖然純理論的數(shù)學(xué)是一門(mén)較枯燥的學(xué)科，但是老師可以通過(guò)生活實(shí)例來(lái)引起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

假如老師這么說(shuō)：“同學(xué)們都知道，國(guó)家為了青少年兒童免受傷害，健康成長(zhǎng)特制定了《未成年人保護(hù)法》，同樣的為了使該公式免受傷害（老師此時(shí)用彩色粉筆勾畫(huà)出部分同學(xué)在黑板上做練習(xí)時(shí)出現(xiàn)的諸如這類(lèi)錯(cuò)誤），促使該公式的正確應(yīng)用，我們可否制定一個(gè)“法”來(lái)讓大家使用該公式時(shí)遵守呢？”此時(shí)老師就運(yùn)用《未成年人保護(hù)法》來(lái)引起學(xué)生的注意，接著學(xué)生就老師提出的問(wèn)題進(jìn)行思考、討論并發(fā)表自己的觀點(diǎn)，學(xué)生甲可能會(huì)這么說(shuō)：從公式看，無(wú)論a取什么實(shí)數(shù)，都為非負(fù)數(shù)，我們定為“非負(fù)數(shù)保護(hù)法”。此時(shí)學(xué)生乙也提出了自己觀點(diǎn)：學(xué)生甲的“非負(fù)數(shù)保護(hù)法”雖說(shuō)明了“算術(shù)根”的最終結(jié)果，但未能很好的體現(xiàn)“算術(shù)根”和“絕對(duì)值”的密切聯(lián)系，不如指定成“絕對(duì)值保護(hù)法”更為確切。通過(guò)學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)，不僅使課堂氛圍活躍，更能增加師生之間的信任。最后，老師對(duì)同學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，并發(fā)表觀點(diǎn)：贊同學(xué)生乙的觀點(diǎn)，就制定為“絕對(duì)值保護(hù)法”即=。要化簡(jiǎn)必須按以下兩條要求辦理：

2.至于如何讓走出，就取決于a的“體質(zhì)”（非負(fù)或負(fù)）；（1）“體質(zhì)健壯”a≥0的直接出去，即=a=a(a≥0)；（2）“體質(zhì)虛弱”a＜0的要“防止感冒”，出去時(shí)必須系“一條圍巾”（負(fù)號(hào)“-”）即=a=-a(a＜0)[3]。

以上例子老師通過(guò)詼諧幽默的語(yǔ)言，不僅提高了整堂課的效率，而且拉近了師生之間的距離，提高了教師在學(xué)生心中的地位，為以后的教學(xué)策略打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提高了教學(xué)的有效性和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。這就如宋朝學(xué)者張載所說(shuō)的：“學(xué)習(xí)達(dá)到快樂(lè)地步，就會(huì)輕松，以致不能自己，因此定會(huì)長(zhǎng)進(jìn)?！?/p>

總而言之，師生之間只有建立在老師教得好學(xué)生認(rèn)真學(xué)的基礎(chǔ)上才能達(dá)到雙贏的效果。因此，以上的博弈分析不僅適用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，也可以用于其他學(xué)科的課堂教學(xué)。

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