馮揚(yáng)帆，周洲，肖偉

(西北工業(yè)大學(xué)無(wú)人機(jī)特種技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710065)

0 引言

高空太陽(yáng)能無(wú)人機(jī)具有展弦比大、結(jié)構(gòu)重量輕、結(jié)構(gòu)剛度小、在飛行過(guò)程中機(jī)翼變形明顯等特點(diǎn)，如“太陽(yáng)神”無(wú)人機(jī)在極限狀態(tài)下的機(jī)翼上反角可達(dá)到50°［1］。大展弦比彈性無(wú)人機(jī)的機(jī)翼結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率低，與無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)模態(tài)頻率接近，存在明顯的動(dòng)力學(xué)耦合，所以其動(dòng)力學(xué)特性相比常規(guī)飛機(jī)有很大的不同。

目前飛行力學(xué)中常用的彈性飛機(jī)模型是基于機(jī)翼為勻質(zhì)、單方向變形假設(shè)推導(dǎo)的，使用同一坐標(biāo)描述，該模型對(duì)于發(fā)生大幅度變形的大展弦比太陽(yáng)能無(wú)人機(jī)來(lái)說(shuō)不再適用。文獻(xiàn)［2］基于幾何精確完全本征梁模型，建立了大展弦比柔性飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)氣動(dòng)彈性與飛行動(dòng)力學(xué)耦合配平、動(dòng)穩(wěn)定性和時(shí)域響應(yīng)特性開(kāi)展了研究。文獻(xiàn)［3］將整個(gè)無(wú)人機(jī)看作Hodges梁［4］，并基于Hamilton原理對(duì)大展弦比彈性無(wú)人機(jī)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，得到了局部坐標(biāo)系下的狀態(tài)方程，但并沒(méi)有詳細(xì)論證狀態(tài)方程從局部坐標(biāo)系到整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，也沒(méi)有通過(guò)模態(tài)特性研究其縱向動(dòng)力學(xué)特性。

局部坐標(biāo)系可以使大展弦比無(wú)人機(jī)建模過(guò)程大為簡(jiǎn)化，但卻不利于分析研究無(wú)人機(jī)整體的動(dòng)力學(xué)特性。本文將無(wú)人機(jī)局部坐標(biāo)系下的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換到平均軸坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)系組成的整體坐標(biāo)系下，消去高頻結(jié)構(gòu)模態(tài)，在不同的狀態(tài)點(diǎn)對(duì)彈性無(wú)人機(jī)進(jìn)行分析，通過(guò)彈性無(wú)人機(jī)特征根分布研究了彈性無(wú)人機(jī)的縱向動(dòng)力學(xué)特性。

1 整體坐標(biāo)系下的狀態(tài)方程

無(wú)人機(jī)局部坐標(biāo)系下的狀態(tài)方程為:

式中，Δx=［Δu1，Δχ1，ΔV1，Δω1，…，Δun，Δχn，ΔVn，Δωn］，其中Δu，Δχ，ΔV，Δω 分別為無(wú)人機(jī)每一段在局部坐標(biāo)系下的線位移、角位移、速度和角速度。需要建立一個(gè)由平均軸坐標(biāo)系與模態(tài)坐標(biāo)系組成的整體坐標(biāo)系，用來(lái)描述無(wú)人機(jī)整體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)變形，并且使無(wú)人機(jī)整體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)與無(wú)人機(jī)彈性變形運(yùn)動(dòng)在動(dòng)力學(xué)上分離開(kāi)來(lái)。

1.1 平均軸坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程

將無(wú)人機(jī)的每一段獨(dú)立研究，彈性力當(dāng)作外力處理，把無(wú)人機(jī)看作多剛體系。考慮n個(gè)剛體組成的多剛體系，第i個(gè)剛體的質(zhì)量為mi，在每一個(gè)剛體上建立自身參考系bi。在其自身參考系內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ii，速度為Vi，角速度為ωi，內(nèi)力和內(nèi)力矩為Fi和Mi。針對(duì)該剛體系，任意建立一個(gè)統(tǒng)一的參考系a，設(shè)其原點(diǎn)在地面坐標(biāo)系內(nèi)的位移為Ra，第i個(gè)剛體在a坐標(biāo)系內(nèi)的位移為ri，在地面坐標(biāo)系的位移為Ri，則Ri=Ra+ri。通過(guò)兩種不同的形式表示出多剛體無(wú)人機(jī)的總動(dòng)量:

式中，mT為剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量;Va為多剛體系在a參考系內(nèi)的速度;Labi為第i個(gè)剛體參考系bi到參考系a的轉(zhuǎn)換矩陣。設(shè)這一系列剛體的質(zhì)心在a參考系內(nèi)的位移為ξa，d/d t表示在慣性系內(nèi)求導(dǎo)，可得:

則對(duì)式(1)、式(2)求導(dǎo)可得:

如果將參考系a的原點(diǎn)始終取在剛體系的質(zhì)心處，即ξa=0，這樣a參考系下的多剛體運(yùn)動(dòng)速度和動(dòng)量可以簡(jiǎn)化為:

把參考系a的原點(diǎn)取在無(wú)人機(jī)質(zhì)心處，則a參考系為所要用到的平均軸坐標(biāo)系m。由式(4)、式(5)得到平均軸坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)力學(xué)方程為:

平均軸坐標(biāo)系內(nèi)配平狀態(tài)的小擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

以上兩式為平均軸坐標(biāo)系下的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。同理可得轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式:

式中，Hm=Icgωm表示在平均軸坐標(biāo)系下的剛體的角動(dòng)量;表示多剛體系對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.2 結(jié)構(gòu)變形模態(tài)的計(jì)算

采用局部坐標(biāo)系來(lái)描述無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)變形，即使在線性化后，得到描述變形運(yùn)動(dòng)的階數(shù)還是很高，也難以分析。在本文中，需要通過(guò)模態(tài)的概念對(duì)結(jié)構(gòu)變形進(jìn)行描述，因此需要計(jì)算無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)模態(tài)，得到無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)模態(tài)特征值和特征向量。首先將無(wú)人機(jī)的動(dòng)能與勢(shì)能描述為:

式中，Δγ，Δκ［5］分別為 Hodges梁假設(shè)中定義的線應(yīng)變和角應(yīng)變，可以用線位移Δu、角位移Δχ描述;μ為翼段的質(zhì)量;E為單位矩陣;ξ為翼段質(zhì)心在局部坐標(biāo)系下的位置向量;R，T分別為翼段的剪切剛度和扭轉(zhuǎn)剛度;S為0矩陣;I為翼截面相對(duì)翼段剛心的慣量矩陣。

根據(jù)Hodges梁的建模思想，在局部坐標(biāo)系內(nèi)將無(wú)人機(jī)的虛位移表示成q=［Δu，Δχ］T，通過(guò)式(12)和式(13)建立不考慮外激勵(lì)和阻尼力的保守系統(tǒng)的拉格朗日方程:

由式(14)可以得到結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程:

式中，Mm，Ms分別為無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。通過(guò)求解該方程得到結(jié)構(gòu)特征值與特征向量，這樣就在配平狀態(tài)下得到了無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)模態(tài)的特征值和模態(tài)矩陣［6］。

1.3 坐標(biāo)體系轉(zhuǎn)換

首先給出無(wú)人機(jī)在局部坐標(biāo)系內(nèi)的位移擾動(dòng)量Δse=［Δu1，Δχ1，…，Δun，Δχn］T，其與無(wú)人機(jī)各階結(jié)構(gòu)模態(tài)的模態(tài)坐標(biāo)Δsh的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:

式中，μ1由系統(tǒng)非零根對(duì)應(yīng)的特征向量得到。由式(9)和式(11)，可以將局部坐標(biāo)系內(nèi)的位移擾動(dòng)量轉(zhuǎn)換到平均軸坐標(biāo)系內(nèi)描述無(wú)人機(jī)與結(jié)構(gòu)模態(tài)解耦的剛體自由度運(yùn)動(dòng):

式中，μ2由平均軸轉(zhuǎn)換矩陣Lmbi得到。由式(16)和式(17)，可以將無(wú)人機(jī)局部坐標(biāo)系內(nèi)的狀態(tài)量轉(zhuǎn)換為無(wú)人機(jī)平均軸坐標(biāo)系與模態(tài)坐標(biāo)系下的狀態(tài)量:

式中，轉(zhuǎn)換矩陣 μs由 μ1，μ2得到，這樣物理概念更明確，且減小了各狀態(tài)量之間的耦合;Δη為彈性無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo);Δsh為從低頻到高頻排列的模態(tài)坐標(biāo)。以上得到了位移向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，同理將無(wú)人機(jī)局部坐標(biāo)系的速度轉(zhuǎn)化到整體坐標(biāo)系下:

2 縱向動(dòng)力學(xué)特性分析

給定高空太陽(yáng)能彈性無(wú)人機(jī)的布局、結(jié)構(gòu)以及氣動(dòng)參數(shù)，經(jīng)過(guò)配平計(jì)算，選取一階結(jié)構(gòu)模態(tài)，得出狀態(tài)矩陣Alon，通過(guò)求解狀態(tài)矩陣的特征根來(lái)分析彈性無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性。選取不同的狀態(tài)點(diǎn)，對(duì)彈性無(wú)人機(jī)與剛性無(wú)人機(jī)進(jìn)行對(duì)比，并對(duì)彈性飛機(jī)的飛行品質(zhì)進(jìn)行研究。選取的狀態(tài)點(diǎn)為:FC1～FC5是無(wú)人機(jī)載重量一定(96 kg)，飛行高度分別為5 km，10 km，15 km，20 km，25 km 的狀態(tài)點(diǎn);FC6 ～FC10是無(wú)人機(jī)飛行高度一定(20 km)，載重量分別為 0 kg，50 kg，100 kg，150 kg，200 kg 的狀態(tài)點(diǎn)。

2.1 彈性無(wú)人機(jī)與剛性無(wú)人機(jī)的對(duì)比

首先將彈性無(wú)人機(jī)的狀態(tài)方程與剛性無(wú)人機(jī)的六自由度方程進(jìn)行比較，計(jì)算它們各自在20 km高度，載荷由0～200 kg特征根的分布情況。圖1為剛性、彈性無(wú)人機(jī)長(zhǎng)周期特征根分布比較。

圖1 長(zhǎng)周期特征根分布比較Fig.1 Root locus of phugoid mode

由圖1可以看出，隨著載荷的增加，剛性無(wú)人機(jī)的長(zhǎng)周期特征根變化很小，而彈性無(wú)人機(jī)的特征根變化很大，這說(shuō)明彈性無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)變形對(duì)無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性有很大程度的影響。

2.2 彈性無(wú)人機(jī)飛行品質(zhì)研究

2.2.1 長(zhǎng)周期模態(tài)

按GJB185-86中飛機(jī)縱向長(zhǎng)周期速度振蕩應(yīng)滿足的要求，分析彈性無(wú)人機(jī)的飛行品質(zhì)。因?yàn)橐陨蠘?biāo)準(zhǔn)是針對(duì)飛機(jī)制定的，飛機(jī)在遇到長(zhǎng)周期發(fā)散模態(tài)時(shí)駕駛員易于控制，但是這種情況無(wú)人機(jī)卻難于控制，所以飛行品質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)高于飛機(jī)，暫且把標(biāo)準(zhǔn)2定為長(zhǎng)周期穩(wěn)定的最低標(biāo)準(zhǔn)［7］。圖2為FC1～FC5長(zhǎng)周期特征根分布情況。

圖2 長(zhǎng)周期特征根分布情況Fig.2 Root locus of phugoid mode

由圖2可以看出，無(wú)人機(jī)的長(zhǎng)周期阻尼比隨著飛行高度的升高，由負(fù)變正，由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定;無(wú)人機(jī)在5 km，10 km，15 km的高度阻尼比為負(fù);在20 km(FC4)高度的長(zhǎng)周期飛行品質(zhì)達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)2;在25 km(FC5)高度的長(zhǎng)周期飛行品質(zhì)接近標(biāo)準(zhǔn)1。因?yàn)樵诘涂障鄬?duì)高空模態(tài)頻率較高，與結(jié)構(gòu)頻率更接近，所以與結(jié)構(gòu)模態(tài)的耦合會(huì)比在高空更大，所以低空的飛行品質(zhì)要比高空的差。

由圖1還可以看出，在FC6～FC10，無(wú)人機(jī)的長(zhǎng)周期阻尼比在20 km的高度隨著載重量的增加，由正變負(fù)，由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。FC6長(zhǎng)周期飛行品質(zhì)要求達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)1，F(xiàn)C7和 FC8達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)2，F(xiàn)C9和FC10長(zhǎng)周期不穩(wěn)定。這說(shuō)明隨著載重的增加，無(wú)人機(jī)的變形加劇，長(zhǎng)周期模態(tài)與結(jié)構(gòu)模態(tài)的耦合作用加大，在無(wú)人機(jī)長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)中不僅存在動(dòng)能與重力勢(shì)能的轉(zhuǎn)換［8］，同時(shí)還包括了動(dòng)能與彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換，結(jié)果導(dǎo)致了長(zhǎng)周期模態(tài)穩(wěn)定性的降低。

2.2.2 短周期模態(tài)

圖3為FC1～FC10短周期特征根的分布情況。

圖3 FC1～FC10短周期特征根分布情況Fig.3 Root locus of short period mode for FC1 ～ FC10

同樣采用GJB185-86中規(guī)定飛機(jī)短周期阻尼比ξp應(yīng)滿足的要求進(jìn)行分析，所有狀態(tài)均滿足標(biāo)準(zhǔn)1。在FC1～FC5，隨著高度的增加短周期阻尼比不斷降低，這是因?yàn)殡S著高度的升高，俯仰阻尼隨空氣密度的減小而減小，飛行品質(zhì)逐漸變差。FC6～FC10載重量的變大使短周期阻尼比逐漸變大，飛行品質(zhì)逐漸變好，這是由于載重量的變大、載重的集中，使得機(jī)翼的上彎加劇，所以無(wú)人機(jī)的俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加，短周期運(yùn)動(dòng)的阻尼比也增大。如果掛載的弦向位置發(fā)生改變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化更大，阻尼比會(huì)更大。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文得到了平均軸坐標(biāo)系描述無(wú)人機(jī)整體運(yùn)動(dòng)、模態(tài)坐標(biāo)系描述結(jié)構(gòu)變形運(yùn)動(dòng)的無(wú)人機(jī)狀態(tài)方程，整體坐標(biāo)系下的狀態(tài)方程便于進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性研究。通過(guò)對(duì)狀態(tài)矩陣的模態(tài)分析，研究了彈性無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)彈性無(wú)人機(jī)在長(zhǎng)周期模態(tài)，因?yàn)閯?dòng)能與彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，使長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)特性惡化;短周期運(yùn)動(dòng)則由于彈性變形，機(jī)翼上彎從而增加了彈性無(wú)人機(jī)的俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，短周期運(yùn)動(dòng)阻尼比也隨之增加，改善了彈性無(wú)人機(jī)的短周期運(yùn)動(dòng)特性。

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