張德亮，楊國利，郭 嘉，牟永強

(71496 部隊，山東 煙臺265800)

目前大量新式武器不斷投入使用，使部隊對油料的需求日益增長，對油料供給的方式、方法提出了更高的要求。對油料消耗進行合理準確地預測，直接影響著油料保障能力的提升，是油料精確保障、優(yōu)化調(diào)度的基礎［1］。油料消耗需求預測，是通過對各部隊歷史油料消耗統(tǒng)計的歸納分析，推算其在下一時間節(jié)點前所需的油料品種、數(shù)量的決策活動。科學預測部隊油料消耗量對用油單位編報申請計劃、油料管理部門分配油料指標，以及上級調(diào)撥決策人員制定訂購、調(diào)撥計劃都具有重要的輔助決策作用［2］。

油料消耗的歷史統(tǒng)計，可以看作油料消耗量的時間序列;對油料消耗歷史數(shù)據(jù)的分析處理，也就是對油料消耗量的時間序列的分析處理。油料消耗量隨時間的變化是無規(guī)則的，顯然油料消耗量的時間序列是典型的非線性時間序列。在非線性時間序列預測方面，大量非線性預測模型被相繼提出，如神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型［3］、馬爾科夫預測模型與支持向量預測模型［4］，但它們都存在一定的局限性，不能全面地反映出油料消耗的規(guī)律特點。

小波分析具有時頻局域性、小波系數(shù)稀疏性和不同尺度自相似性的特點，為非線性時間序列預測提供了一種新的工具。在此基礎上，通過小波多尺度分解將非線性時間序列分解到不同頻率通道上。由于低頻趨勢序列具有較好的平穩(wěn)性，高頻細節(jié)序列具有明顯的波動特征，所以對分解出的低頻小波系數(shù)采用指數(shù)平滑法進行預測，而對分解出的高頻小波系數(shù)采用馬爾科夫預測模型進行預測，最后將低頻和高頻的預測結(jié)果進行小波重構(gòu)得到原始時間序列的預測值。

1 模型的原理與構(gòu)建

1.1 時間序列的小波分解

根據(jù)Mallat 提出的小波多尺度分析原理，任何函數(shù)f(x)∈L2(R)都可以分解為分辨率為2-N的f(x)的低頻部分(近似部分)和分辨率為2-j(1≤j≤N)下f(x)的高頻部分(細節(jié)部分)。對于任意函數(shù)f(x)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為

式中:φ(t)為Haar 小波函數(shù);a為伸縮因子;b為平移因子。

具體分解過程采用的是Mallat 算法［5］。Mallat算法可以看作通過高頻和低頻2 個濾波器來進行頻帶劃分，即

式中:H為低通濾波器系數(shù);G為高通濾波器系數(shù)。

分解出的各部分可由Mallat 重構(gòu)算法進行如下重構(gòu):

對油料消耗量的時間序列進行小波分析，首先要進行小波分解，小波分解的基本函數(shù)選Haar函數(shù)。小波分解的層數(shù)與其平穩(wěn)性和預測誤差的關系:分解的層數(shù)越多，各層的平穩(wěn)性就越好，更利于擬合;分解的層數(shù)越多，整體的預測誤差越大，預測精度下降。在選擇小波分解的分解層數(shù)時，要根據(jù)小波分解的具體情況，確定合適的分解層數(shù)，保證整體的預測誤差最小。

1.2 運用指數(shù)平滑法對小波分解的低頻部分進行預測

指數(shù)平滑就是通過某種平均方式，消除歷史統(tǒng)計序列中的隨機波動，找出其主要發(fā)展趨勢［6］。指數(shù)平滑法最適用于簡單的時間分析和中、短期預測，實際上是一種以時間定權(quán)的加權(quán)平均，越近的數(shù)據(jù)加權(quán)系數(shù)越大，越遠的數(shù)據(jù)加權(quán)系數(shù)越小。指數(shù)平滑法是一個迭代過程，進行計算時須首先確定初始值。初始值選取不當造成的誤差，經(jīng)過幾次平滑之后將很小。為使模型迅速地調(diào)整到當前水平，最簡單的方法是取前幾個數(shù)的平均值作為初始值，一般取前3 ～5 個數(shù)的算術(shù)平均值。運用指數(shù)平滑法對小波分解的低頻部分進行預測時，要觀察低頻部分的趨勢變化，選擇合適的指數(shù)平滑預測模型進行預測。如果低頻系數(shù)序列在一個水平附近上下波動，采用一次指數(shù)平滑模型進行預測;如果低頻系數(shù)序列存在線性趨勢時，則采用二次指數(shù)平滑模型進行預測。對于時間序列x1，x2，…，xt，其一次指數(shù)平滑公式為

加權(quán)系數(shù)α 的取值體現(xiàn)了新觀察值與原平滑值之間的比例關系:α 越大，xt在式中的比例越大，當α=1 時，平滑值等于當前觀察值;α 越小的比重就越大，當α =0 時，則本期平滑值等于上期的平滑值。α 的大小控制了時間序列在預測中的有效數(shù)據(jù)的個數(shù)，α 越大有效數(shù)據(jù)個數(shù)越少，α越小有效數(shù)據(jù)個數(shù)越多。本文取α=0.3。

二次指數(shù)平滑的公式為

當時間序列從某時期開始具有線性趨勢時，用線性趨勢模型預測:

式中:T為模型時期為當前時期T時的指數(shù)平滑值。

1.3 運用馬爾科夫模型對小波分解的高頻部分

進行預測

(1)馬爾科夫狀態(tài)區(qū)間的劃分。采用馬爾科夫預測模型，必須先將要預測的數(shù)據(jù)區(qū)間劃分成有限個明確的狀態(tài)。由于油料消耗量的狀態(tài)往往不是明確的子集合，而是一種模糊狀態(tài)，可采用模糊聚類理論構(gòu)建模糊子集來表示油料消耗量的分級狀態(tài)。設通過模糊聚類法將油料消耗量劃分為m個狀態(tài)(s1，s2，…，sm)。

(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的確定。馬爾科夫預測中，用狀態(tài)相互轉(zhuǎn)移的頻率來描述轉(zhuǎn)移概率。可近似估計概率公式為

式中:pij為由t時期的狀態(tài)si轉(zhuǎn)移到t+1 時期的狀態(tài)sj的概率;aij為由t時期的狀態(tài)si轉(zhuǎn)移到t+1時期的狀態(tài)sj的次數(shù)。

(3)確定狀態(tài)區(qū)間。通過預測的初始狀態(tài)以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率確定狀態(tài)區(qū)間，相應的預測值取該狀態(tài)區(qū)間的中間值。

1.4 時間序列的小波重構(gòu)

將指數(shù)平滑法預測得到的低頻小波系數(shù)與馬爾科夫模型預測得到的高頻小波系數(shù)進行小波重構(gòu)，從而得到時間序列的預測值。

2 實例分析

從油料信息管理系統(tǒng)中選取并整理得到某部隊2001—2010 年的油料消耗量(見表1)［7］，利用小波分析的方法預測該油庫2010 年的油料消耗量，與2010 年的實際油料消耗量進行比對，檢驗其正確性，并對該油庫2011 年的油料消耗量進行預測分析。

表1 某部隊2001—2010 年油料消耗用量 t

2.1 時間序列的小波分解

采用Mallat 算法，選取Haar 小波函數(shù)對2001—2009年的油料消耗量這一時間序列進行一維離散小波分解，得到相應油料消耗量序列的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)(見表2)。

表2 油料消耗量序列的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)

實際油料消耗量時間序列及油料消耗量序列低頻系數(shù)和高頻系數(shù)變化趨勢如圖1—3 所示。

圖1 實際油料消耗量時間序列

圖2 油料消耗量序列低頻系數(shù)

2.2 對低頻部分進行指數(shù)平滑預測

從圖2 可以看出，油料消耗量序列存在線性趨勢，因此需采用二次指數(shù)平滑模型對其進行預測。將已知數(shù)據(jù)分成2 部分，用第1 部分估計初始值，用第2 部分進行平滑，求各平滑參數(shù)。第1 部分取1—4 周期低頻系數(shù)數(shù)據(jù);第2 部分取5—9 周期低頻系數(shù)數(shù)據(jù)。

圖3 油料消耗量序列高頻系數(shù)

2.2.1 初始值的確定

首先用最小二乘法對第1 部分數(shù)據(jù)進行擬合，估計出a0和b0的值;再根據(jù)a0和b0的關系式計算初始值。

設t=0 時，此時

根據(jù)第1 部分數(shù)據(jù)對a0和b0進行最小二乘擬合，經(jīng)過Matlab 計算可得a0= 18. 204 5，b0=0.159 1。因此

2.2.2 指數(shù)平滑預測

表3 指數(shù)平滑預測計算結(jié)果

2.3 對高頻部分進行馬爾科夫模型建模

將得到的高頻系數(shù)序列用模糊聚類的方法進行狀態(tài)劃分(見表4)。

表4 狀態(tài)劃分

狀態(tài)轉(zhuǎn)移 情 況 為:s2→s1→s2→s2→s3→s2→s2→s2→s3。高頻系數(shù)序列預測的初始狀態(tài)為s2，經(jīng)計算預測值為-0.025。

2.4 時間序列的小波重構(gòu)

對油料消耗的低頻系數(shù)序列和高頻系數(shù)序列進行預測，并根據(jù)預測的時間序列低頻系數(shù)部分和高頻系數(shù)部分進行小波重構(gòu)，得到預測時間序列，即預測的油料消耗量(見表5)。

表5 小波重構(gòu)預測數(shù)據(jù)

從表5 可以看出，根據(jù)某部隊2001—2009 年的油料消耗量對其2010 年的油料消耗量進行預測，所得結(jié)果為13.639 1 t，與實際消耗量13.45 t相比較為符合。

2.5 預測檢驗

假如已知某部隊2001—2009 年的油料消耗量信息不完整，僅有其中5 a 的油料消耗量數(shù)據(jù)，以此預測該部隊2010 年的油料消耗量。

(1)進行時間序列的小波分解，分解后得到油料消耗量序列的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)。

(2)對低頻部分進行指數(shù)平滑預測，對高頻部分進行馬爾科夫預測，預測得到油料消耗的低頻系數(shù)序列和高頻系數(shù)序列。

(3)由低頻系數(shù)和高頻系數(shù)重構(gòu)得到時間序列。

以上預測計算結(jié)果見表6。

表6 5 a 數(shù)據(jù)小波分解預測結(jié)果

從表6 看出，根據(jù)該部隊2001—2009 年間5 a的油料消耗用量對2010 年的油料消耗量進行預測，所得結(jié)果為13.709 7 t，與信息完整狀態(tài)下預測的結(jié)果13.639 1 t 相比，信息完整狀態(tài)下預測的結(jié)果與實際情況更為相符。

2.6 預測分析

根據(jù)某部隊2001—2010 年的油料消耗量，對該部隊2011 年的油料消耗量進行預測分析。經(jīng)過時間序列的小波分解，得到油料消耗量的低頻系數(shù)序列和高頻系數(shù)序列。分別對低頻部分進行指數(shù)平滑預測，預測得到新的油料消耗的低頻系數(shù)序列;對高頻部分進行馬爾科夫預測，預測得到新的油料消耗的高頻系數(shù)序列;再將新得到的低頻系數(shù)序列和高頻系數(shù)序列重構(gòu)即可得到預測結(jié)果。經(jīng)計算，該部隊2011 年的油料消耗量為

13.810 4 t。

3 結(jié) 語

本文采用小波分析的方法，將油料消耗量的時間序列分解為低頻趨勢序列和高頻細節(jié)序列2部分，對分解出的低頻小波系數(shù)采用指數(shù)平滑法進行預測，對分解出的高頻小波系數(shù)采用馬爾科夫預測模型進行預測，最后將低頻和高頻的預測結(jié)果進行小波重構(gòu)得到原始時間序列的預測值。這種小波分析的方法在提高預測的精度的同時使預測結(jié)果更具有規(guī)律性，對部隊油料保障具有重要的參考意義。

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