I.Iervolino M.Giorgio B.Polidoro

引言

地震危險性概率分析（PSHA，如McGuire，2004）是評估特定區(qū)域地震危險性的綜合過程。地震危險性概率分析，在傳統(tǒng)模式中一般只涉及主震的發(fā)生。這些顯著震級的事件是在時空上集中的事件序列內(nèi)鑒別。

另一方面，地震序列中的余震可看作是由主震觸發(fā)的。每個序列的特征被認為只依賴于觸發(fā)事件的震級和位置，是有條件地與過去的歷史無關(guān)（隨機意義上）。在這些前提下，Yeo和Cornell（2009）發(fā)展了余震地震危險性概率分析（APSHA）來表示類似于主震的余震危險性。事實上，余震地震危險性概率分析結(jié)果是用地震動強度測度（IM）閾值的超越概率表示。這對于主震后的應(yīng)急期是很有用的，見 Yeo和Cornell（2005）的討論。

地震叢集的發(fā)生被概率性地描述為與計算主震事件采用的相同隨機過程可能會引起爭議。本文中假定每個叢集的發(fā)生時間與觸發(fā)地震的發(fā)生時間一致。事實上，從Toro與Silva（2001）和Boyd（2012）的研究開始，將地震危險性概率分析擴展到主震發(fā)生概率與序列期間至少超越一次地震動強度測度閾值的概率相乘看來都是可能的。這意味著只保留地震叢集中導致超越的事件而過濾掉其他事件。

從工程的觀點，計算在地震序列發(fā)生期間涉及到超越地震動強度水平的地震事件（例如對結(jié)構(gòu)關(guān)鍵的）發(fā)生率，實際上意味著也考慮余震引起結(jié)構(gòu)破壞而主震沒有引起結(jié)構(gòu)破壞的概率。這就導致出了基于序列的地震危險性概率分析（SPSHA）方法，對基于性能的抗震設(shè)計是適合的。它允許確定設(shè)計強度的超越概率以考慮余震的潛在威脅（Iervolin，Giorgio and Polidoro，2013）。對于當前抗震規(guī)范的每次普通實踐，忽略了對結(jié)構(gòu)的累積損傷，而它可能對短期風險管理有意義；這一研究方向的某些結(jié)果參見Yeo與Cornell（2005）及Iervolino，Giorgio和Chioccarelli（2013）。

在下面的研究中，從對上述研究的直覺開始，導出基于序列的地震危險性概率分析的解析表達式，在地震危險性整體中包含了余震，而這在Toro與Silva（2001）和Boyd（2012）的研究中未包括。該方法基于的假設(shè)是，主震的發(fā)生由均勻泊松過程（HPP）調(diào)節(jié)，而余震的發(fā)生由有條件的非均勻泊松過程（NHPP）調(diào)節(jié)。假定屬于一個給定序列的余震的發(fā)生率，其震級的范圍和它們的空間叢集僅依賴于觸發(fā)主震的震級和位置。在本文中，前震因為數(shù)量非常有限而予以忽略（Yeo and Cornell，2009）。

如下所述，余震的模型基于的是修訂的大森定律（Utsu，1961）；因此，本研究可以視為是模擬主要余震。事實上，其他模型如傳染型余震序列（ETAS；如，Ogata，1988）實際上能夠模擬地震叢集，其中每個事件都能夠產(chǎn)生它自己的序列。

這項研究不直接涉及有關(guān)地震去叢集的問題，而只依據(jù)主震最后的發(fā)生率和作為建議模型輸入數(shù)據(jù)的修訂大森定律的參數(shù)。另一方面，應(yīng)該想到的是主震和余震獲得的結(jié)果都與模型有關(guān)。這是因為，給定的原始地震目錄中，叢集是在傳統(tǒng)的規(guī)則基礎(chǔ)上進行的，這是通過采用描述地震發(fā)生的模型來定義的。

本文的結(jié)構(gòu)為首先對地震危險性概率分析和余震地震危險性概率分析方法的原理進行簡要回顧。然后，解析性地討論二者的結(jié)合，用一個地震危險性積分形式說明整個地震序列的影響。應(yīng)用實例中考慮了一般的震源，使用基于序列的地震危險性概率分析方法對不同強度測度水平的年超越率進行計算，并對忽略了余震影響的傳統(tǒng)地震危險性分析的相對差異的顯著性進行評估。

1 主震、余震和地震動強度

本節(jié)簡要地回顧用于評估主震和條件余震危險性、均以地震動強度閾值超越率表達的隨機處理和解析公式。

1.1 主震危險性概率分析

地震危險性概率分析通常采用均勻伯松過程概率性地模擬在震源區(qū)產(chǎn)生的地震數(shù)量。均勻伯松過程是一個獨立且穩(wěn)定的增量（即，無記憶）過程，完全由一個參數(shù)即發(fā)生率νE描述。根據(jù)均勻伯松過程，發(fā)生在所關(guān)注時間間隔（t，t＋ΔT）的事件數(shù)NE與過去的歷史地震無關(guān)，并具有泊松概率質(zhì)量函數(shù)如式（1）：

對均勻伯松過程也自然得出，主震的到達間隔時間分布是指數(shù)分布，其中兩者間平均到達時間為發(fā)生率的倒數(shù)。

在地震危險性概率分析中，對所關(guān)注區(qū)域，強度測度閾值的超越數(shù)im也由均勻伯松過程概率性地給出（Cornell，1968）。im的超越率λim，E由νE通過方程（2）得到，其中項地震動預測方程（GMPE）提供，表示對于一個給定震級為ME＝x和震中距范圍RE＝y(tǒng)的地震強度閾值被超越的概率：

項fME，RE是主震震級和距離隨機變量（RV）的聯(lián)合概率密度函數(shù)（PDF）。在單個震源情況下，如果這兩個隨機變量可被認為是隨機獨立的，fME通常由古登堡—里克特（GR）關(guān)系式（Gutenberg and Richter，1944）給出，而fRE是基于震源—場地幾何組構(gòu)獲得。積分限是由古登堡—里克特關(guān)系式約束的震級和確定可能RE值域的距離（Reiter，1990）。

1.2 余震地震危險性概率分析

余震地震危險性概率分析也由所關(guān)注區(qū)域超越地震動強度測度閾值的事件發(fā)生率來表示。與地震危險性概率分析的主要不同是該發(fā)生率是隨時間變化的。自觸發(fā)主震發(fā)生以來，每單位時間預期的事件數(shù)隨時間的流逝而減少。這種意義上，描述余震發(fā)生的過程對于主震的發(fā)生和特征而言是必要條件。

用于構(gòu)建余震地震危險性概率分析的非均勻伯松過程基于的假設(shè)是余震的日發(fā)生率νA｜mE（t）可以用方程（3）來表示，其中t為觸發(fā)主震發(fā)生后消逝的時間，這里采用的時間軸為主震發(fā)生時t＝0。這個模型同樣假設(shè)余震的震級在有意義的最小震級mmin與觸發(fā)主震的震級之間。對于所考慮的地震序列，系數(shù)a和b來自適合的古登堡—里克特關(guān)系式，而參數(shù)c和p由修訂的大森定律（Utsu，1961）給出。最后，給定觸發(fā)主震的強度，序列中余震的強度都被假設(shè)為隨機獨立的隨機變量：

由式（3）可得，在時間間隔（t，t＋ΔTA）內(nèi)余震的預期數(shù)量由方程（4）給出：

與地震危險性概率分析類似，余震地震危險性概率分析也通過事件的發(fā)生率與關(guān)注區(qū)域強度測度超越閾值的概率（時間的不變量）相乘來過濾地震過程的強度，減少事件的發(fā)生率。這使非均勻伯松過程的發(fā)生率λim，A｜mE（t）如方程（5），其中fMA，RA是一般余震震級和震源—場地距離的聯(lián)合概率密度函數(shù)：

在上一節(jié)對fME，RE的考慮也同樣適用于fMA，RA。余震的位置、震源距及其限定值｛rA，min，rA，max｝將在后面討論。實際上，雖然在式（5）中的符號與Yeo和Cornell（2009）研究中的一致，但強度測度的超越率也依賴于主震的位置。

2 主震和余震隨機過程的聯(lián)合

在本節(jié)中，考慮主震和余震影響的地震危險性概率分析均用公式表示。序列的發(fā)生被描述成一個均勻伯松過程，而在一序列內(nèi)，余震的發(fā)生被描述成非均勻伯松過程，其發(fā)生率函數(shù)對于觸發(fā)事件的震級是必要條件。其目標還是評估地震動強度測度的年超越率（λim）。這里，這個考慮地震事件發(fā)生的發(fā)生率被定義為在序列內(nèi)至少一次強度測度閾值的超越數(shù)，如式（6）：

式中強度測度是這個叢集內(nèi)所有事件中地震動強度的最大值，IME是主震的強度測度，而IM∪A為余震中的最大強度。實際上，如果出現(xiàn)至少一次一個余震引起的強度高于這個場地的閾值，IM∪A就超過閾值。

根據(jù)余震地震危險性概率分析，余震序列的特征完全依賴于主震的特征。事件的數(shù)量、震級和位置是序列觸發(fā)地震的大小和位置的函數(shù)。因此，對于主震的震級和位置的條件，定義為強度測度閾值的兩個事件沒有被超越：（1）在主震和（2）在任何余震中均是隨機獨立的，見方程（7）。（注意，它是由地震危險性概率分析和余震地震危險性概率分析模型得出的，與Boyd，2012的研究一致）

余震序列期間未超越閾值的概率已經(jīng)公式化了，考慮了這種序列是由事件的隨機數(shù)NA組成的情況。根據(jù)非均勻伯松過程假設(shè)，這種隨機變量符合泊松分布，如式（1），還有式（4）給出的平均數(shù)。因此，將全概率理論應(yīng)用于方程（7）中的項，方程（8）給出結(jié)果：

式中在i＝0時，P ［IMUA≤im｜x，y，i］＝1。νA｜x實際上反映的是該發(fā)生率依賴于主震震級，而ΔTA是余震序列的持續(xù)時間（該參數(shù)設(shè)定值會影響基于序列的地震危險性概率分析結(jié)果，因為ΔTA越大，NA的隨機變量平均數(shù)越大，所以，強度測度超越率也越大）。每次余震地震危險性概率分析所有余震都相等（Yeo and Cornell，2009），是一般余震強度閾值的非超越概率，與其可能震級和位置相關(guān)，還是主震給定的震級和位置。

給定余震的震級和位置，強度測度閾值的非超越概率有條件地與主震無關(guān)。然后，根據(jù)全概率理論，對方程（8）中P ［IMA≤項重列公式，如方程（9）結(jié)果：

式中P ［IMA≤im｜w，z］項是已知震級和位置的一般余震的im非超越概率，而fMA，RA｜ME，RE是余震震級和震中距的聯(lián)合概率密度函數(shù)，與主震的特征相關(guān)。這個概率密度函數(shù)對觸發(fā)主震（下同）的震級和位置考慮了余震震級和余震孕震區(qū)的大?。恢玫南嚓P(guān)性。積分限分別對主震和余震在式（2）和式（5）中給出。

更簡潔的地震危險性積分表達式如式（10）給出：

實際上，式（10）是使用式（11）等式得到的。

要注意的是，方程（10）的結(jié)果也能直接得到，在式（5）中通過發(fā)生率的非均勻伯松過程計算零級余震在（0，ΔTA）區(qū)間導致超越的概率。然而，給出公式的來源可以更深入了解在地震危險性積分中余震過程假設(shè)的含義。

用公式表示出單個震源情況下地震叢集的地震危險性積分后，就可能值得簡要討論對關(guān)注區(qū)地震危險性有貢獻的多個震源（相互獨立）的一般情況。在任一主震發(fā)生通過均勻伯松過程來模擬的情況下，對于所有震源，從式（9）得出的結(jié)果值只需求和。如果主震的發(fā)生在概率上用其他過程描述，例如更新過程，那么這個超越率值可能不是非時變的（討論見Polidoro et al，2013）。這種情況下，如果修訂的大森定律仍然適用于余震，那么就能夠?qū)懗鲱愃票狙芯恐械卣饏布某礁怕史匠?，然而得出的公式肯定不同?/p>

推薦的這一方法也可以擴展應(yīng)用到其他情況，在考慮地震叢集中任何地震產(chǎn)生其自己序列的可能性時用其他模型，如傳染型余震序列模型（Ogata，1988），替代修訂的大森定律來描述地震序列。這些模型會引起余震發(fā)生率的改變，而且可能影響主震的發(fā)生率。

3 應(yīng)用實例

作為一個基于序列的地震危險性概率分析應(yīng)用實例，計算了一般震源區(qū)中間的地震危險性，該區(qū)域大小是30×100km2（圖1）。

3.1 主震和條件余震序列的特征

圖1 主震震源、主震震中周圍一般余震的網(wǎng)格及所關(guān)注場地

圖2 （a）主震震級分布。（b）余震震源區(qū)面積與主震震級的關(guān)系

主震震中假定為在如圖1所示的地震震源區(qū)均勻分布。為計算目的將圖1劃分成5×5km2的網(wǎng)格。主震發(fā)生率任意設(shè)為νE＝0.054個事件／年。主震的震級分布也任意設(shè)定為在4.3～5.8級區(qū)間范圍的指數(shù)形式，如圖2a。古登堡—里克特關(guān)系式的b值主震為1.056。在應(yīng)用中，震級和震源距視為獨立的隨機變量。

假定每個主震都有由震中周圍區(qū)域約束的余震。用平方千米表示的余震孕震區(qū)尺度SA通過式（12）由主震震級給出（Utsu，1970），如圖2b。

在這個區(qū)域，任意指定一個方形區(qū)，劃分成121個節(jié)點，震中均勻分布（見圖1）。實際上，對地震危險性分析建議的方法可以處理任何形狀的余震區(qū)（常用的如橢圓形）。另外，代表這個區(qū)域每個網(wǎng)格單元概率的任意函數(shù)都可以視為一個余震的位置（例如，概率密度函數(shù)有從主震的位置起的鐘形徑向衰減，如見Zhuang et al，2002）。然而，這個問題沒有顯著影響我們研究的結(jié)論，因此為簡單起見考慮了在方形區(qū)的均勻分布。

在修訂的大森定律和古登堡—里克特關(guān)系式中余震使用的參數(shù)，即式（3）中的參數(shù)，取自Lolli和Gasperini（2003）：a＝－1.66，b＝0.96，c＝0.03（天），p＝0.93，Mmin＝4.2。這些參數(shù)應(yīng)用于意大利一般的余震序列；例如，Yeo和Cornell（2009）用另一組參數(shù)表示等價的加利福尼亞模型。

為了估算P ［IME≤im｜m，r］和P［IMA≤im｜m，r］項，使用了Ambraseys等（1996）的地震動預測方程；因此，要考慮的震級標度是該地震動預測方程的標度。Ambraseys等（1996）使用的是Rjb距離度量，指到震源地表投影的距離（Joyner and Boore，1981）。另一方面，由于圖1中的點被看作主震的震中，由Gruppo di Lavoro（2004）給出的式（13）用于得到需要在地震動預測方程中插入的從震中距R轉(zhuǎn)換的Rjb（km）值，其在前面地震危險性積分中用RE或RA表示。

3.2 案例和結(jié)果

給定為應(yīng)用所做的工作假設(shè)，基于序列的地震危險性概率分析根據(jù)式（10）進行計算。首先的實踐執(zhí)行中，強度測度視為地面基巖的地震動峰值加速度（PGA）。而且，按Yeo和Cornell（2009），余震序列的持續(xù)時間（ΔTA）任意視為等同于從主震發(fā)生后的90天（Yeo，私人通訊，2013）。

圖3a按照不同的地震動峰值加速度閾值的年超越率，比較了基于序列的地震危險性概率分析的結(jié)果和使用式（2）由地震危險性概率分析得到的只考慮主震的結(jié)果。當然，圖3b中也用發(fā)生率顯示了基于序列的地震危險性概率分析和地震危險性概率分析的相對差異。盡管危險性曲線很接近，但可觀察到發(fā)生率高達30%的差異。

因為5%阻尼偽譜加速度SA（T）是一般地震工程意義的強度測度，基于序列的地震危險性概率分析也依靠這個強度測度計算，其T（結(jié)構(gòu)周期）在0～2s范圍變化。這種進一步分析的結(jié)果用均勻危險性譜（UHS）表示，即，頻譜縱軸在給定時間框架內(nèi)都有相同的超越概率，或等效的相同重現(xiàn)周期（如Reiter，1990）。在圖4a，將表示普通結(jié)構(gòu)典型生命安全相關(guān)設(shè)計重現(xiàn)周期475年的均勻危險性譜與其地震危險性概率分析的相應(yīng)參數(shù)作對比。圖4b顯示分別采用基于序列的地震危險性概率分析和地震危險性概率分析計算的頻譜的相對差異。注意，在此情況中，比較依據(jù)的是給定重現(xiàn)周期的強度測度（而不是前例中的發(fā)生率），發(fā)現(xiàn)有高達10%的變化。

這些結(jié)果，根據(jù)發(fā)生率和加速度的變化，與Boyd（2012）得到的結(jié)果相差不大，盡管在兩個研究和應(yīng)用實例中存在差異（Boyd，私人通訊，2013）。

4 結(jié)論

圖3 （a）應(yīng)用實例中用地震動峰值加速度（PGA）表示的地震危險性概率分析（PSHA）和基于序列的地震危險性概率分析（SPSHA）的結(jié)果。（b）應(yīng)用實例中用地震動峰值加速度（PGA）表示的地震危險性概率分析與基于序列的地震危險性概率分析的差異

圖4 （a）用475年均勻危險性譜表示的地震危險性概率分析（PSHA）和基于序列的地震危險性概率分析（SPSHA）應(yīng)用實例結(jié)果，即5%阻尼偽譜加速度與震蕩周期的關(guān)系，其中所有坐標都有相同的10%的50年超越概率。（b）應(yīng)用實例用475年均勻危險性譜表示的地震危險性概率分析和基于序列的地震危險性概率分析的差異

這篇短文的研究目的在于幫助在地震危險性分析中用地震動強度測度的超越率表示，將大森型余震也納入主震事件來考慮。重點是對危險性積分在概率上一致形式化，著眼于在地震序列期間至少一次超越強度閾值的事件。

由于地震叢集中的任何地震都可超越所關(guān)注結(jié)構(gòu)的臨界強度，在超越率的估算中直接擴展包含余震潛在威脅的地震危險性對于基于性能的設(shè)計可能有用。

對主震—余震地震序列的地震危險性概率分析基于的是主震發(fā)生的均勻伯松過程假設(shè)和余震發(fā)生的條件非均勻伯松過程。后者依賴于通過修訂的大森定律得出的主震特征和主震特征與余震震源區(qū)之間的半經(jīng)驗關(guān)系。

用解析公式進行基于序列的地震危險性概率分析考慮的是，在給定觸發(fā)主震震級和位置的情況下，余震的影響（即地震動強度）有條件地與這個叢集之外發(fā)生的任何事情無關(guān)。

應(yīng)用實例指的是主震的一般震源區(qū)和一般余震序列。對基于序列的地震危險性概率分析結(jié)果與經(jīng)典的地震危險性概率分析結(jié)果進行了比較，二者用的是給定強度測度閾值的發(fā)生率和給定重現(xiàn)周期的強度測度。結(jié)果至少對設(shè)置的案例顯示，對應(yīng)475年重現(xiàn)周期的地震動峰值加速度發(fā)生率有高達約30%的變化，偽譜加速度值有高達約10%的變化。

相信導出的公式會對地震工程有意義，特別是對長期基于性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計和評估。

數(shù)據(jù)與來源

本研究使用的所有數(shù)據(jù)均來自參考文獻中列出的公開出版資料。Toro和Silva（2001）的報告來自 http：／／www.riskeng.com／downloads／scen－ceus－rept（最后訪問時間2013年7月）。Gruppo di Lavoro（2004）的報告來自 http：／／zonesismiche.mi.ingv.it／documenti／rapporto－conclusivo.pdf（意大利文，最后訪問時間2013年7月）。