余 敏，方棋洪，劉又文

(1.中南林業(yè)科技大學土木工程與力學學院，湖南長沙410004;2.湖南大學機械與運載工程學院，湖南長沙410082)

位錯和位錯偶極子都是晶體材料中常見的微觀線缺陷，它與裂紋、孔洞、剛性線以及夾雜等缺陷的干涉作用，對于研究材料的強韌化機理和破壞效應是非常重要的.橢圓夾雜由于其形狀的靈活性，一直是固體力學和材料科學中研究的經(jīng)典問題.E.Smith［1-2］研究了無窮遠縱向剪切下螺型位錯和剛性橢圓夾雜的干涉效應，給出了位錯位于x軸上的干涉應力場;Fang Q.H.等［3］研究了壓電螺型位錯和橢圓夾雜的電彈干涉效應，分析了壓電常數(shù)對位錯力的影響.劉又文等［4-5］討論了橢圓夾雜內(nèi)鈍裂紋附近的螺型位錯的發(fā)射條件和屏蔽效應.Yu Min等［6-8］研究了縱向剪切下壓電螺型位錯與含共焦橢圓孔橢圓夾雜的干涉效應，分析了位錯、夾雜及鈍裂紋等對位錯力、廣義應力強度因子、能量釋放率和廣義應變能密度的影響規(guī)律.Jiang Chunzhi等［9-10］研究了壓電/壓電磁材料中螺型位錯與含共焦剛性核橢圓夾雜的干涉效應，分析了螺位錯的位置以及材料常數(shù)對位錯力和廣義應力強度因子的影響規(guī)律.

含共焦橢圓鈍裂紋/孔的彈性橢圓夾雜是一個典型的缺陷模型，容易求得解析解，從而了解復合材料增強相內(nèi)部缺陷演變及其與位錯的干涉規(guī)律.為此，本研究將復變函數(shù)的分區(qū)全純理論、柯西型積分、應力函數(shù)奇性主部分析方法與Riemann邊值問題相結合，研究基體中的螺型位錯偶極子與含鈍裂紋的橢圓夾雜的干涉問題.

1 問題描述與解答

1.1 基本公式和問題描述

在縱向剪切和螺型位錯偶極子作用下，只有z方向的位移分量w，剪應力表示為 τxz，τyz，沿任意曲線AB的面力主矢大小為F，用復變量z=x+iy的解析函數(shù)f(z)表示如下:

圖1為物理平面模型.圖1中，在無窮遠處受反平面均布力載荷的無限大彈性平面，含長、短軸分別為a和b的橢圓柱形夾雜，夾雜內(nèi)部含1個共焦橢圓鈍裂紋，其長、短軸分別為a1，b1.夾雜外部存在1個螺位錯偶極子，其中心位于基體中的z0點，包含了2 個分別位于z1=z0-deiφ和z2=z0+deiφ點的螺型位錯，且b1=bz，b2=-bz.偶極子偶臂長為 2d，傾角為φ(偶極子臂與x正半軸的夾角).設夾雜和基體所占的區(qū)域分別為s+和s-，其剪切模量分別為μ1和μ2，下標1和2分別表示區(qū)域s+和s-，上標“+”和“-”分別表示從區(qū)域s+和s-趨向界面時函數(shù)所取的邊界值.假設基體和夾雜交界面上應力和位移保持連續(xù)，且橢圓孔上下表面的表面力為0.

圖1 物理平面模型

1.2 一般處理

采用如下保角映射函數(shù):

圖2為保角映射平面模型.圖2中，將z平面上s-映射到ζ平面(|ζ|＞1)，沿橢圓兩焦點連線剪開，共焦鈍裂紋映射到圓|ζ|≤r/R內(nèi)部，而彈性橢圓環(huán)夾雜區(qū)域s+映射到ζ平面r/R≤|ζ|≤1圓環(huán)內(nèi)部.

圖2 保角映射平面模型

方程組(1)變換至ζ平面為

沿界面兩種材料所受面力主矢與反平面位移的連續(xù)條件可分別表示為

可化為多連通域的Riemann邊值問題，根據(jù)Schwartz對稱原理，通過邊界|ζ|=1在ζ平面上定義函數(shù)

將式(3)和(5)代入式(4)，在邊界|t|=1可得

1.3 問題解答

基體中的復勢函數(shù)f2(z)可表示為

式中f20(ζ)全純.在夾雜內(nèi)沒有奇點，f1(z)全純，變換至ζ平面后，不計剛體位移，f1(ζ)在圓環(huán)內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)，即

式中ak，bk為待定復常數(shù).將式(9)，(10)帶入式(5)，得

式中f20*(ζ)在s+內(nèi)全純.將式(9)-(12)，帶入邊界條件式(6)，(7)，并利用柯西積分可得

將(13)-(16)聯(lián)立求解，并根據(jù)泰勒和洛朗展開，得到如下公式:

考慮橢圓孔應力邊界條件T1(t)=0，即

將式(10)代入，分析系數(shù)可得

將以上結果代入式(20)中，得

由以上4個式子和式(9)，(10)和(14)得解析函數(shù):

將式(23)，(24)代入式(3)，可得到基體和夾雜區(qū)域中的應力場.如基體中的應力場為

2 封閉形式解答

2.1 應力強度因子

根據(jù)文獻［11］定義，得到裂紋尖端應力強度因子為

2.2 位錯像力和像力矩

根據(jù) Juang R.R.等［12］的研究，作用在位錯偶極子中心的像力分量Fx和Fy以及像力偶矩T由下式給出:

由 Peach-Koehler公式，當k=1，2 時，F(xiàn)xk和Fyk的計算公式如下所示:

3 數(shù)值計算與討論

定義相對剪切模量u= μ1/μ2，設bz=1.0 ×10-9，c=0.5 × 10-5，d=0.45 × 10-5，z0=6.75 ×10-5，Γ=0.對于位錯偶極子中心位于x軸上的典型情況，由式(27)-(29)，分析位錯偶極子傾角、橢圓夾雜和橢圓鈍裂紋尺寸以及材料常數(shù)對于位錯像力、像力矩和應力強度因子的影響.

圖3 取不同s值，k0隨φ的變化(s1=0.1，u=3)

圖4 取不同s1值，k0隨 φ 的變化(s=0.6，u=3)

像力偶矩和x方向像力分別量綱歸一為當夾雜和鈍裂紋大小確定，取不同u值時，F(xiàn)0隨φ的變化如圖5所示.由圖5可知，當φ∈(0，π/2)時，位錯力隨φ的增加而減小;當φ∈(π/2，π)時，位錯力隨φ的增加而增大.且隨著相對剪切模量的增大，位錯力減小.

圖5 取不同u值，F(xiàn)0隨φ的變化(R=2，r=1.33)

圖6為夾雜和鈍裂紋大小確定，取不同u值時量綱一的量像力偶矩隨φ的變化曲線.當φ∈(0，π/2)時，隨φ的增大，T0先增大，在φ≈π/10時，達到最大值，然后減小，當φ→π/2時，T0趨向于0.當φ∈(π/2，π)時，有相似的變化規(guī)律.并且隨著相對剪切模量的增大，像力偶矩的絕對值減小.

圖6 取不同u值，T0隨φ的變化(R=2，r=1.33)

4 結論

1)本研究利用彈性力學的復式解法，將分區(qū)全純理論、柯西型積分、應力函數(shù)奇性主部分析方法與Riemann邊值問題相結合，對基體中的螺位錯偶極子與一含共焦鈍裂紋的橢圓夾雜的干涉問題進行了研究.結果表明:其他條件確定時，存在著傾角φ(偶極子臂與x正半軸的夾角)的2個極值，分別對應著螺位錯偶極子對夾雜內(nèi)裂紋最強的反屏蔽和屏蔽效應;還存在著2個臨界值，改變位錯偶極子對裂紋的屏蔽或反屏蔽效應;φ值一定時，反屏蔽和屏蔽效應均隨夾雜的增大和鈍裂紋曲率的增大而增強.

2)位錯力隨φ的變化而作周期變化，隨著相對剪切模量的增大而減小.其他條件確定時，隨著相對剪切模量的增大，像力偶矩的絕對值減小;隨φ的增大，像力偶矩先增大，然后減小;φ存在一個臨界值，使像力偶矩取最大值;φ=π/2時，像力偶矩等于0.

References)

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