陸友太，周來(lái)水，李運(yùn)平，王志國(guó)

(1.南京航空航天大學(xué)江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210016;2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所，江蘇南京210007)

三維模型的變形在幾何建模和計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)中占有重要地位，并得到了廣泛應(yīng)用.總體來(lái)說(shuō)，變形方法主要有幾何變形和基于物理的變形這兩種，其中使用比較多的是幾何變形方法.目前應(yīng)用比較廣泛的幾何變形方法是由T.W.Sederberg提出的自由變形(free-form deformation，F(xiàn)FD)方法［1］，該方法被用于幾何造型、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)等領(lǐng)域.FFD方法是一種強(qiáng)有力的造型技術(shù)，具體操作很直觀(guān)，但需要進(jìn)行嵌入坐標(biāo)換算，而且該方法不易進(jìn)行變形控制，變形難以精確地達(dá)到預(yù)期結(jié)果.骨架驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格變形方法作為一種重要的自由變形手段，最早由N.Magnenat-Thalmann等［2］提出，其主要思想是將三維網(wǎng)格的變形與人體的運(yùn)動(dòng)相類(lèi)比，將網(wǎng)格表面的點(diǎn)(皮膚)關(guān)聯(lián)到骨架結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格變形由骨架的運(yùn)動(dòng)來(lái)帶動(dòng).該方法操作簡(jiǎn)單直觀(guān)，適合運(yùn)動(dòng)變形的應(yīng)用，且一次建立的骨架模型能被反復(fù)使用，因此被廣泛應(yīng)用于人體動(dòng)畫(huà)、游戲等領(lǐng)域［3］.骨架驅(qū)動(dòng)變形技術(shù)的本質(zhì)是通過(guò)編輯幾何模型的骨架來(lái)帶動(dòng)幾何模型產(chǎn)生形變.該變形方法大致可分為3類(lèi):基于仿生學(xué)的方法、基于物理的方法和基于幾何的方法.總體而言，骨架驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格變形方法已經(jīng)取得了許多極有理論和應(yīng)用價(jià)值的成果［4-11］，各種方法都有其各自的特點(diǎn)，但尋求更為直觀(guān)、高效的骨架驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格變形方法，仍是值得研究的重要方向.

文中擬將仿射變換思想和廣義元球變形方法［12］運(yùn)用于骨架驅(qū)動(dòng)變形技術(shù)，提出一種基于骨架驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格模型變形新方法.給出帶勢(shì)函數(shù)的變形模型，通過(guò)興趣區(qū)域網(wǎng)格頂點(diǎn)與骨架模型之間的映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格模型的旋轉(zhuǎn)、平移、縮放變形.這3種變形可以各自獨(dú)立進(jìn)行，也可以相互復(fù)合以得到用戶(hù)所需要的變形效果.并且針對(duì)對(duì)平移變形中出現(xiàn)的失真問(wèn)題，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)修正方式進(jìn)行修正.

1 算法概述

首先在網(wǎng)格模型上交互選取變形區(qū)域，稱(chēng)為興趣區(qū)域，并創(chuàng)建興趣區(qū)域的骨架模型;進(jìn)而建立興趣區(qū)域的網(wǎng)格模型頂點(diǎn)與骨架自然坐標(biāo)之間的映射;然后，根據(jù)需要選擇相應(yīng)的帶勢(shì)函數(shù)的變形模型(旋轉(zhuǎn)、平移或縮放)，并給出變形目標(biāo)(旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度、平移的目標(biāo)點(diǎn)或偏移量、縮放比例等);最后根據(jù)興趣區(qū)域網(wǎng)格頂點(diǎn)與骨架的對(duì)應(yīng)關(guān)系，計(jì)算出網(wǎng)格頂點(diǎn)變形后的新位置，得到變形結(jié)果.圖1以平移變形為例顯示了本文方法的基本變形過(guò)程.

圖1 本文方法的變形過(guò)程

2 基于骨架驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格變形

2.1 選取興趣區(qū)域

文中給出了2種確定興趣區(qū)域的方法.一種方法是在網(wǎng)格上選取2個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)第1個(gè)頂點(diǎn)的鄰接頂點(diǎn)進(jìn)行廣度優(yōu)先搜索，直到遇到第2個(gè)頂點(diǎn)，則包含這些遍歷過(guò)的頂點(diǎn)的網(wǎng)格區(qū)域就是興趣區(qū)域.此外，針對(duì)比較簡(jiǎn)單的網(wǎng)格模型，文中提供了一種簡(jiǎn)單、直觀(guān)的選取方式，即允許用戶(hù)通過(guò)鼠標(biāo)直接在屏幕上畫(huà)一個(gè)矩形(或任意封閉曲線(xiàn)、多邊形均可)進(jìn)行選取，矩形框住的區(qū)域就是興趣區(qū)域.

2.2 創(chuàng)建興趣區(qū)域骨架模型

針對(duì)選定的興趣區(qū)域，文中采用S.Capell等［4］提出的光線(xiàn)求交法來(lái)獲取其對(duì)應(yīng)的骨架.通過(guò)鼠標(biāo)點(diǎn)擊屏幕處作為垂直于屏幕的光線(xiàn)的入射點(diǎn)，以光線(xiàn)與網(wǎng)格模型交點(diǎn)S1，S2所構(gòu)成線(xiàn)段的中點(diǎn)S作為骨架的關(guān)節(jié)點(diǎn)，若光線(xiàn)與網(wǎng)格模型只有一個(gè)交點(diǎn)，那么就以該點(diǎn)作為關(guān)節(jié)點(diǎn)，這樣鼠標(biāo)每點(diǎn)擊一次都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn).

根據(jù)興趣區(qū)域網(wǎng)格模型的形狀(如圖1a所示，馬的左后腿為選定的興趣區(qū)域)，先通過(guò)調(diào)整網(wǎng)格模型的姿態(tài)，使興趣區(qū)域網(wǎng)格模型的中軸方向大致與屏幕平面平行(如圖1b所示);然后根據(jù)興趣區(qū)域網(wǎng)格模型的形狀，沿其大致的中軸方向依次創(chuàng)建骨架關(guān)節(jié)點(diǎn)(如圖1b所示，自下而上依次創(chuàng)建了4個(gè)骨架關(guān)節(jié)點(diǎn))，依次連接這些關(guān)節(jié)點(diǎn)，即可獲得興趣區(qū)域網(wǎng)格模型所對(duì)應(yīng)的骨架模型.將開(kāi)始和最后產(chǎn)生的關(guān)節(jié)點(diǎn)看作骨架的兩個(gè)端點(diǎn)，各關(guān)節(jié)點(diǎn)之間的連接線(xiàn)稱(chēng)為骨架線(xiàn).圖2所示為采用光線(xiàn)求交法得到Horse的骨架模型.

圖2 光線(xiàn)求交法生成骨架模型

2.3 建立網(wǎng)格模型頂點(diǎn)與骨架的映射

興趣區(qū)域骨架模型建立后，需建立興趣區(qū)域網(wǎng)格模型頂點(diǎn)與骨架自然坐標(biāo)之間的映射，且該映射關(guān)系在變形過(guò)程中保持不變.具體計(jì)算過(guò)程如下:

1)將興趣區(qū)域的網(wǎng)格頂點(diǎn)垂直映射到骨架線(xiàn)上，如圖3所示，骨架線(xiàn)上的點(diǎn)Si即為網(wǎng)格頂點(diǎn)pi相對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn).骨架線(xiàn)兩端的兩條線(xiàn)段可以看作方向分別指向骨架端點(diǎn)的兩條射線(xiàn).映射后，沿著骨架線(xiàn)的方向分別與兩個(gè)端點(diǎn)距離最大的兩個(gè)映射點(diǎn)記作起始映射點(diǎn)和終映射點(diǎn)，沿骨架線(xiàn)計(jì)算所有映射點(diǎn)與起始映射點(diǎn)的距離.

圖3 網(wǎng)格頂點(diǎn)與骨架模型的映射

2)建立興趣區(qū)域中網(wǎng)格頂點(diǎn)所關(guān)聯(lián)的映射點(diǎn)的局部坐標(biāo)系.如圖3所示，映射點(diǎn)Si處的局部坐標(biāo)系記為(ai，bi，ci)，起始映射點(diǎn)的坐標(biāo)軸 ai為由該點(diǎn)指向下一個(gè)映射點(diǎn)的單位向量，終映射點(diǎn)的坐標(biāo)軸ai為上一個(gè)映射點(diǎn)指向該點(diǎn)的單位向量，中間映射點(diǎn)的坐標(biāo)軸ai為前一個(gè)映射點(diǎn)指向該點(diǎn)的單位向量和該點(diǎn)指向下一個(gè)映射點(diǎn)的單位向量相加并歸一化所得到的單位向量;坐標(biāo)軸bi為該點(diǎn)指向其對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)的單位向量;ci是與ai和bi垂直的單位向量.對(duì)(ai，bi，ci)進(jìn)行 Schmit正交化后形成一個(gè)右手直角坐標(biāo)系.對(duì)興趣區(qū)域上的每個(gè)網(wǎng)格頂點(diǎn)都分別用其映射點(diǎn)的局部坐標(biāo)系進(jìn)行標(biāo)示.

2.4 定義變形模型

文中將變形模型定義為帶勢(shì)函數(shù)的仿射變換，即以起始映射點(diǎn)為約束源，沿骨架線(xiàn)從起始映射點(diǎn)到終映射點(diǎn)的距離R為約束半徑，以仿射變換矩陣為變形矩陣(旋轉(zhuǎn)、平移、縮放)，然后根據(jù)骨架上各映射點(diǎn)到約束源的距離來(lái)確定各點(diǎn)處的變形權(quán)值進(jìn)行變形.

式中:r為骨架上的映射點(diǎn)與約束源ˉS沿骨架線(xiàn)的距離;R為約束的有效半徑;f(r，R)為相對(duì)于ˉS的勢(shì)函數(shù).對(duì)于任意映射點(diǎn)Si，利用式(1)均可以計(jì)算出其場(chǎng)值fi(r，R)，作為該點(diǎn)處變形的權(quán)值.

2.4.1 旋轉(zhuǎn)變形

要表示物體的旋轉(zhuǎn)，可以采用歐拉變換，但采用歐拉變換可能會(huì)帶來(lái)萬(wàn)向節(jié)死鎖的問(wèn)題，因此文中采用了四元數(shù)法.假設(shè)要讓空間點(diǎn)p=(x，y，z)T繞單位軸 u旋轉(zhuǎn) θ角度，則有單位四元數(shù) q=，旋轉(zhuǎn)矩陣為

式中:p'為p經(jīng)旋轉(zhuǎn)變形后的新頂點(diǎn);fp(r，R)為約束源ˉS在點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)Sp處的變形權(quán)值.

若要讓興趣區(qū)域的網(wǎng)格模型對(duì)任意旋轉(zhuǎn)軸做旋轉(zhuǎn)變形，文中的方法是先在終映射點(diǎn)處建立一個(gè)局部坐標(biāo)系，然后將興趣區(qū)域網(wǎng)格模型變換到該局部坐標(biāo)系中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，最后再將局部坐標(biāo)系變換回全局坐標(biāo)系，得到旋轉(zhuǎn)變形結(jié)果.

2.4.2 平移變形

假設(shè)p是興趣區(qū)域網(wǎng)格模型上的點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)為 Sp，d=(dx，dy，dz)T是變形目標(biāo) ˉS'相對(duì)于約束源ˉS的最大偏移量，fp(r，R)是約束源ˉS在點(diǎn)Sp處的變形權(quán)值.則點(diǎn)p變形后的新頂點(diǎn)p'的坐標(biāo)為

事實(shí)上，此平移變形只是相當(dāng)于對(duì)點(diǎn)Sp處的局部坐標(biāo)系進(jìn)行了平移，這就使得變形前垂直于骨架線(xiàn)的橫截面經(jīng)平移變換后不再保持垂直關(guān)系，如圖4a，4c所示，因此需要對(duì)變形結(jié)果進(jìn)行修正.文中采用旋轉(zhuǎn)修正的方法對(duì)變形結(jié)果進(jìn)行修正，具體思路如下:對(duì)應(yīng)于變形前Sp處的局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸ap，變形后S'p處相應(yīng)的坐標(biāo)軸a'p仍用2.3節(jié)中的方式進(jìn)行定義，記ap與a'p間的夾角為βp，如圖4a所示.若點(diǎn)p在局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為Pl=(xl，yl，zl)T，則在平移變形后需對(duì)其在原局部坐標(biāo)系下繞單位軸旋轉(zhuǎn) β 角度.圖 4c，4d 給p出了修正前后的變形效果對(duì)比，可以看出，經(jīng)修正后的變形更符合真實(shí)的變形效果.

圖4 平移變形修正前后的效果對(duì)比

2.4.3 縮放變形

縮放變形是比較簡(jiǎn)單的變形方式，可以在全局坐標(biāo)系下進(jìn)行，也可以先在局部坐標(biāo)系下進(jìn)行縮放變形，然后再變換回全局坐標(biāo)系.前者更適合大變形的情形，而文中則采用后面一種方式進(jìn)行縮放變形.

假設(shè)在約束源處的最大縮放比例為s=(sx，sy，sz)T，則有縮放變換矩陣為

對(duì)任意點(diǎn)p=(x，y，z)T的縮放變形公式為

式中:p'為p經(jīng)縮放變形后的新頂點(diǎn);fp(r，R)為約束源ˉS在點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)Sp處的變形權(quán)值.

若要對(duì)興趣區(qū)域的網(wǎng)格模型做縮放變形，則類(lèi)似旋轉(zhuǎn)變形先在終映射點(diǎn)處建立一個(gè)局部坐標(biāo)系，將興趣區(qū)域網(wǎng)格模型變換到該局部坐標(biāo)系中進(jìn)行縮放變換，最后再將局部坐標(biāo)系變換回全局坐標(biāo)系，得到縮放變形結(jié)果.

前面分別討論了針對(duì)旋轉(zhuǎn)、平移和縮放變形的計(jì)算.這3種變形可以各自獨(dú)立進(jìn)行，也可以相互復(fù)合以得到用戶(hù)所需要的變形效果.

3 試驗(yàn)結(jié)果

在VC++6.0開(kāi)發(fā)環(huán)境下，在CPU為Pentium Dual_Core 2.2 GHz，RAM為2 GB的PC機(jī)上實(shí)現(xiàn)了文中算法.通過(guò)交互選取興趣區(qū)域，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格模型整體和局部的變形.試驗(yàn)表明，當(dāng)模型的三角片數(shù)目在10萬(wàn)個(gè)以下時(shí)，系統(tǒng)基本上能達(dá)到實(shí)時(shí)的效果.

圖5所示是對(duì)Homer模型腿部進(jìn)行的平移變形結(jié)果，其中圖5a為初始網(wǎng)格模型，圖5b顯示了向后抬起右腿的效果，圖5c所示為邁步行走的效果.

圖5 Homer模型變形結(jié)果

圖6顯示了對(duì)兔子模型左耳的變形結(jié)果，選取兔子左耳作為興趣區(qū)域，并建立相應(yīng)骨架模型，分別進(jìn)行了平移(圖6b)和旋轉(zhuǎn)變形(圖6c，6d)，得到了左耳拉伸、彎曲和扭曲的結(jié)果，其中圖6d的旋轉(zhuǎn)軸定義為沿骨架線(xiàn)方向不斷變化的單位向量.

圖7顯示了局部縮放的變形效果，對(duì)螺絲刀的刀頭部分進(jìn)行了縮小、手柄部分進(jìn)行了放大.

圖8所示是將一個(gè)手模型的大拇指和食指進(jìn)行彎曲變形的結(jié)果，在變形操作過(guò)程中，為了使變形效果更加逼真，實(shí)際上對(duì)手指的各指節(jié)采用了不同的旋轉(zhuǎn)角度，圖8b是對(duì)初始模型做多次旋轉(zhuǎn)變形而得到的結(jié)果.

圖6 兔子模型局部變形結(jié)果

圖7 對(duì)螺絲刀模型的縮放變形結(jié)果

圖8 對(duì)手模型的變形結(jié)果

4 結(jié)論

文中提出了一種基于骨架驅(qū)動(dòng)的網(wǎng)格模型變形新方法，可方便地實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格模型的旋轉(zhuǎn)、平移、縮放變形.試驗(yàn)結(jié)果表明，利用本文方法進(jìn)行變形能夠很好地避免經(jīng)典變形方法在非變形區(qū)產(chǎn)生的扭曲現(xiàn)象，并且能夠較好地保持變形區(qū)域網(wǎng)格模型的局部特征.

在文中方法中，骨架是由各關(guān)節(jié)點(diǎn)依次用直線(xiàn)段連接產(chǎn)生的，也可以根據(jù)不同形狀的興趣區(qū)域用不同的曲線(xiàn)擬合產(chǎn)生，從而使變形結(jié)果更加精確;此外，本變形方法是以網(wǎng)格模型的骨架來(lái)帶動(dòng)網(wǎng)格模型變形，在后續(xù)的研究工作中，將嘗試把變形模型直接作用到網(wǎng)格模型上，而無(wú)需建立網(wǎng)格模型的骨架，進(jìn)一步研究網(wǎng)格模型的直接約束變形.

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