吳吟吟

（無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，江蘇 無錫214121）

0 引言

微分中值定理在內(nèi)容上通常包括Rolle 中值定理、Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理, 后兩個(gè)定理都是通過構(gòu)造輔助函數(shù), 再借助Rolle 中值定理來證明的. 微分中值定理在分析學(xué)中極為重要, 一方面,它揭示了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系, 奠定了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)；另一方面, 它可以用來證明眾多如下命題的成立：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù),（a，b）內(nèi)可導(dǎo), 則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使某個(gè)含有f（ξ）、f′（ξ）、f″（ξ）的等式成立. 在應(yīng)用微分中值定理的過程中, 大量使用輔助函數(shù)法, 其構(gòu)造技巧既是重點(diǎn), 又是難點(diǎn). 本文擬通過對(duì)Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理證明中輔助函數(shù)做法的分析, 提煉出可以普遍使用的一般方法.

為了討論方便, 先將三個(gè)中值定理敘述如下：

Rolle 中值定理 設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列三個(gè)條件：

（i）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(ii)開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（iii）f(a)=f(b), 則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得f′（ξ）=0.

Lagrange 中值定理 設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列條件：

（i）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得：

Cauchy 中值定理 設(shè)函數(shù)f（x）,g（x）滿足下列條件：

（i）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且g（b）-g（a）≠0, 和f′2（x）+g′2（x）≠0，?x∈（a，b）, 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得：

音樂劇中角色的臺(tái)詞、歌詞是交代劇情最直接的方式。生活中的語言是自己說的話，舞臺(tái)上的語言是角色說的話。生活中的語言具有隨意性，舞臺(tái)上的語言具有約束性。生活中是自然形態(tài)的語言，舞臺(tái)上是藝術(shù)加工的語言。

1 原函數(shù)法

將Lagrange 中值定理中所證結(jié)論（1）中ξ 換成x, 成為：

為了借助Rolle 中值定理, 需構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)F（x）, 使其導(dǎo)數(shù)為上述等式中不為零的一端. 為此, 可用積分的方法, 對(duì)上式兩邊積分可得：

由于F′（x）=0?F′（x）=C, 故移項(xiàng)使等式一端為C, 則：

容易驗(yàn)證F（x）在[a，b]上滿足Rolle 中值定理的條件, 因此它可以作為證明Lagrange 中值定理所作的輔助函數(shù).

這種方法是通過不定積分反求出原函數(shù), 故可以稱為原函數(shù)法,適用于采用Rolle 中值定理證明結(jié)論為某一函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題. 其步驟可以總結(jié)為：

（1）將所證結(jié)論中的ξ 換成x；

（2）通過恒等變形將結(jié)論轉(zhuǎn)換為易積分的形式并兩邊積分；

（3）移項(xiàng), 使等式一邊為積分常數(shù)C, 則另一邊即為所作的輔助函數(shù).

例1 設(shè)函數(shù)f（x）在[1,2]上連續(xù), 在(1,2)內(nèi)可導(dǎo), 且f（x）≠0, 又f（1）=f（2）=0. 證明：存在ξ∈（1，2）, 使得

分析 將所證結(jié)論中的ξ 換成x, 再兩邊積分可得f（x）=Ce3x.

整理后得到e-3xf（x）=C, 于是可以構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=e-3xf（x）, 滿足Rolle 中值定理, 由F′（ξ）=e-3xf′（x）-3e-3xf（x）可得結(jié)論成立.

2 待定系數(shù)法

從λ 的定義可得F（a）=F（b）. 在[a,b]上對(duì)F 用Rolle 中值定理, 知道有ξ∈（a，b）滿足F′（ξ）=0, 這就是

這種方法將所證結(jié)論中的唯一微分中值換成確定常數(shù)λ, 故可以稱為待定系數(shù)法. 其步驟可以總結(jié)如下：

（1）將所證結(jié)論中的唯一微分中值, 用常數(shù)λ 表示.

（2）代入所證結(jié)論, 移項(xiàng)(積分)得輔助函數(shù)（有時(shí)需將代表區(qū)間端點(diǎn)的常數(shù)替換為x）.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）在[a,b]上二階可導(dǎo),f（a）=f（b）. 證明：對(duì)每個(gè)x∈（a，b）, 存在ξ∈（a，b）, 使得：

由條件f（a）=f（b）=0 得到F（a）=F（b）=0, 由λ 的定義還可以得到F（x）=0. 在區(qū)間[a,x]和[x,b]上分別對(duì)F 用Rolle 中值定理得到ξ1∈（a，x）,ξ2∈（x，b）,使F′（ξ1）=F′（ξ2）=0. 再在[ξ1，ξ2]上對(duì)F′用Rolle 中值定理可得結(jié)論成立.

例4 設(shè)f（x）在(0,1)內(nèi)有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 0＜a＜b＜1. 證明：存在ξ∈（a，b）, 使：

分析 在結(jié)論（4）中求出f″′（ξ）, 令其為λ, 即：

于是只要證明存在ξ∈（a，b）, 使得f″′（ξ）=λ.

為了構(gòu)造輔助函數(shù), 我們可將f″′（ξ）=λ 代入(4)式, 并令b=x, 移項(xiàng)便可構(gòu)造出輔助函數(shù)：

則F（a）=0, 由λ 的定義還可以得到F（b）=0. 在區(qū)間[a, b]上對(duì)F用Rolle 中值定理得到η∈（a，b）, 使f′（η）=0.

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)) [M].北京:高等教育出版社，1991.

［2］朱崇軍.微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J].高等函授學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，2，22（1）:18-20.

［3］謝惠民，惲自求，易法槐，錢定邊.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].北京：高等教育出版社，2004.