吳吟吟
(無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,江蘇 無錫214121)
微分中值定理在內(nèi)容上通常包括Rolle 中值定理、Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理, 后兩個(gè)定理都是通過構(gòu)造輔助函數(shù), 再借助Rolle 中值定理來證明的. 微分中值定理在分析學(xué)中極為重要, 一方面,它揭示了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系, 奠定了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ);另一方面, 它可以用來證明眾多如下命題的成立:設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使某個(gè)含有f(ξ)、f′(ξ)、f″(ξ)的等式成立. 在應(yīng)用微分中值定理的過程中, 大量使用輔助函數(shù)法, 其構(gòu)造技巧既是重點(diǎn), 又是難點(diǎn). 本文擬通過對(duì)Lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理證明中輔助函數(shù)做法的分析, 提煉出可以普遍使用的一般方法.
為了討論方便, 先將三個(gè)中值定理敘述如下:
Rolle 中值定理 設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列三個(gè)條件:
(i)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(ii)開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(iii)f(a)=f(b), 則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得f′(ξ)=0.
Lagrange 中值定理 設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列條件:
(i)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得:
Cauchy 中值定理 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足下列條件:
(i)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 且g(b)-g(a)≠0, 和f′2(x)+g′2(x)≠0,?x∈(a,b), 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ, 使得:
音樂劇中角色的臺(tái)詞、歌詞是交代劇情最直接的方式。生活中的語言是自己說的話,舞臺(tái)上的語言是角色說的話。生活中的語言具有隨意性,舞臺(tái)上的語言具有約束性。生活中是自然形態(tài)的語言,舞臺(tái)上是藝術(shù)加工的語言。
將Lagrange 中值定理中所證結(jié)論(1)中ξ 換成x, 成為:
為了借助Rolle 中值定理, 需構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)F(x), 使其導(dǎo)數(shù)為上述等式中不為零的一端. 為此, 可用積分的方法, 對(duì)上式兩邊積分可得:
由于F′(x)=0?F′(x)=C, 故移項(xiàng)使等式一端為C, 則:
容易驗(yàn)證F(x)在[a,b]上滿足Rolle 中值定理的條件, 因此它可以作為證明Lagrange 中值定理所作的輔助函數(shù).
這種方法是通過不定積分反求出原函數(shù), 故可以稱為原函數(shù)法,適用于采用Rolle 中值定理證明結(jié)論為某一函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題. 其步驟可以總結(jié)為:
(1)將所證結(jié)論中的ξ 換成x;
(2)通過恒等變形將結(jié)論轉(zhuǎn)換為易積分的形式并兩邊積分;
(3)移項(xiàng), 使等式一邊為積分常數(shù)C, 則另一邊即為所作的輔助函數(shù).
例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[1,2]上連續(xù), 在(1,2)內(nèi)可導(dǎo), 且f(x)≠0, 又f(1)=f(2)=0. 證明:存在ξ∈(1,2), 使得
分析 將所證結(jié)論中的ξ 換成x, 再兩邊積分可得f(x)=Ce3x.
整理后得到e-3xf(x)=C, 于是可以構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=e-3xf(x), 滿足Rolle 中值定理, 由F′(ξ)=e-3xf′(x)-3e-3xf(x)可得結(jié)論成立.
從λ 的定義可得F(a)=F(b). 在[a,b]上對(duì)F 用Rolle 中值定理, 知道有ξ∈(a,b)滿足F′(ξ)=0, 這就是
這種方法將所證結(jié)論中的唯一微分中值換成確定常數(shù)λ, 故可以稱為待定系數(shù)法. 其步驟可以總結(jié)如下:
(1)將所證結(jié)論中的唯一微分中值, 用常數(shù)λ 表示.
(2)代入所證結(jié)論, 移項(xiàng)(積分)得輔助函數(shù)(有時(shí)需將代表區(qū)間端點(diǎn)的常數(shù)替換為x).
例3 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo),f(a)=f(b). 證明:對(duì)每個(gè)x∈(a,b), 存在ξ∈(a,b), 使得:
由條件f(a)=f(b)=0 得到F(a)=F(b)=0, 由λ 的定義還可以得到F(x)=0. 在區(qū)間[a,x]和[x,b]上分別對(duì)F 用Rolle 中值定理得到ξ1∈(a,x),ξ2∈(x,b),使F′(ξ1)=F′(ξ2)=0. 再在[ξ1,ξ2]上對(duì)F′用Rolle 中值定理可得結(jié)論成立.
例4 設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 0<a<b<1. 證明:存在ξ∈(a,b), 使:
分析 在結(jié)論(4)中求出f″′(ξ), 令其為λ, 即:
于是只要證明存在ξ∈(a,b), 使得f″′(ξ)=λ.
為了構(gòu)造輔助函數(shù), 我們可將f″′(ξ)=λ 代入(4)式, 并令b=x, 移項(xiàng)便可構(gòu)造出輔助函數(shù):
則F(a)=0, 由λ 的定義還可以得到F(b)=0. 在區(qū)間[a, b]上對(duì)F用Rolle 中值定理得到η∈(a,b), 使f′(η)=0.
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)) [M].北京:高等教育出版社,1991.
[2]朱崇軍.微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J].高等函授學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,2,22(1):18-20.
[3]謝惠民,惲自求,易法槐,錢定邊.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M].北京:高等教育出版社,2004.