劉祝華，袁 文

（江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院，江西 南昌330022）

0 引 言

近年來(lái)，圖像加密技術(shù)越來(lái)越重要，學(xué)者設(shè)計(jì)出了眾多圖像加密算法［1］，而混沌系統(tǒng)由于其對(duì)初始條件和參數(shù)的敏感性及類噪聲特性，被廣泛應(yīng)用到數(shù)字圖像加密算法設(shè)計(jì)中［2］?；诘途S混沌的圖像加密算法具有混沌序列計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算機(jī)的有限精度會(huì)使混沌序列出現(xiàn)短周期的問(wèn)題，且密鑰空間較小，導(dǎo)致算法的安全性不高［3－6］。與低維混沌相比，高維混沌具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為和更好的隨機(jī)性，因此，許多研究者提出了各種基于超混沌的圖像加密算法［7，8］，但高維混沌系統(tǒng)計(jì)算的復(fù)雜性卻限制了其在實(shí)時(shí)環(huán)境下的應(yīng)用。采用多個(gè)低維混沌相復(fù)合構(gòu)建加密算法，可以避免高維混沌計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題，同時(shí)又可以解決低維混沌動(dòng)力學(xué)特性簡(jiǎn)單和密鑰空間小的問(wèn)題［9］，因此，越來(lái)越受到研究者的關(guān)注［10－14］。

郭曉叢等［10］提出了一種基于多混沌映射的圖像加密算法，采用3個(gè)低維混沌映射生成3個(gè)與圖像大小相等的混沌序列，視作空間中某點(diǎn)的坐標(biāo)，再按空間直角坐標(biāo)系中2點(diǎn)的距離公式，求解與圖像對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)坐標(biāo)值的距離，并作為加密因子。該算法生成加密因子的思路比較新穎，且采用多混沌映射，密鑰空間大，但也存在安全隱患。本文分析了該算法存在的缺陷，并在安全性上給出了改進(jìn)措施，提出了一種自適應(yīng)多混沌分塊圖像加密算法。理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)算法安全性高，且加密速度快。

1 原算法分析

1.1 原算法設(shè)計(jì)思路概述

對(duì)于M×N 的圖像I，由二維Logistic映射生成2個(gè)長(zhǎng)度為M×N 的混沌序列，并取小數(shù)點(diǎn)后13至15位，對(duì)256取模，得序列X1、Y1，由X1、Y1異或得序列L1。以相同的方法，由Hénon 映射生成序列L2，由Ikeda 映射生成序列L3。

把L1、L2和L3視作空間上點(diǎn)P 的坐標(biāo)，則P 點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x，y，z），其中x ∈L1，y ∈L2，z∈L3。把圖像I看成同一平面內(nèi)的M×N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（i，j，0），其中i∈［1，M］，j∈［1，N］。由空間中兩點(diǎn)距離平方公式生成加密因子

式中：mod為取模運(yùn)算。

原圖像I向左循環(huán)移動(dòng)一列，向上循環(huán)移動(dòng)一行得Icr，并和加密因子異或得到密文圖像Bi，j＝Icri，j⊕Ri，j。

1.2 原算法設(shè)計(jì)缺陷

首先，對(duì)于大小為M×N 的圖像I，每個(gè)像素點(diǎn)的坐標(biāo)值（i，j）是固定的。因此，加密因子Ri，j只與混沌映射的參數(shù)及初始值有關(guān)，因此，對(duì)于同樣大小的圖像，當(dāng)混沌映射的參數(shù)及初始值相同時(shí)，生成的加密因子是完全相同的，這使得算法極容易被選擇明文攻擊［5－6］。其次，加密因子直接與圖像明文異或，不存在擴(kuò)散過(guò)程，明文敏感性極差，極易受到差分攻擊。

1.3 原算法破譯

使用選擇明文攻擊對(duì)原算法進(jìn)行破譯。所謂選擇明文攻擊是指攻擊者有機(jī)會(huì)使用到加密系統(tǒng)，因此可選擇一些明文，并產(chǎn)生相應(yīng)的密文，通過(guò)分析明、密文對(duì)破譯算法。為了破譯原算法，選擇與待破譯密文大小M×N 相等的3個(gè)特殊明文矩陣A1、A2及A3。其中，A1為全0矩陣，A2、A3形式如下

由 （2）式可知，A2每一行的元素是相等的，而A3每一列的元素是相等的。使用文獻(xiàn) ［10］算法對(duì)矩陣Al，l∈［1，3］加密，得到密文矩陣

由于A1為全0矩陣，因此也為全0矩陣，根據(jù)式（3）不難破譯得到加密因子Ri，j＝B1，i，j。A2經(jīng)列循環(huán)移動(dòng)會(huì)保持不變，因此，Acr2與只經(jīng)過(guò)行循環(huán)移動(dòng)的結(jié)果是相同的，根據(jù)式 （3），

選擇3個(gè)特殊明文矩陣

使用文獻(xiàn) ［10］算法，獲得對(duì)應(yīng)的密文矩陣為

由上述分析可知，加密因子R＝B1，而

可見(jiàn)，文獻(xiàn) ［10］算法安全性很低。

2 改進(jìn)的加密算法

針對(duì)文獻(xiàn) ［10］算法存在的缺陷，提出如下改進(jìn)措施：首先，改進(jìn)加密因子的生成方法，使圖像中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與圖像明、密文相關(guān)聯(lián)，使生成的加密因子會(huì)因圖像的不同而不同；其次，改進(jìn)加密公式，除異或運(yùn)算外引入算術(shù)運(yùn)算，且使密文與明文、加密因子及相鄰密文相關(guān)；最后，使用明、密文對(duì)混沌映射的參數(shù)及初始值進(jìn)行擾動(dòng)，使算法做到 “一圖一密”。

2.1 替代與擴(kuò)散

對(duì)于上半部分圖像序列IUi，按式 （4）對(duì)每個(gè)像素進(jìn)行替代與擴(kuò)散

在生成加密因子RUi時(shí)，使用tent映射

為提高算法安全性，在生成XUi、YUi和ZUi時(shí)，使用擾動(dòng)因子t0、t1，按式 （9）、式 （10）和式 （11）分別對(duì)tent映射、kent映射和cubic映射的參數(shù)及初始值進(jìn)行擾動(dòng)

其中，k1至k7為算法密鑰，擾動(dòng)因子t0由下半部分圖像序列的代入，t1由代入。

2.2 加密步驟

加密密鑰為k0至k8。其中，k0為各混沌映射迭代首部分舍去個(gè)數(shù)，k1至k7為各混沌映射的參數(shù)和初始值，k8為加密輪次，加密步驟如下：

步驟1 輸入大小為M×N 的圖像I，M 為偶數(shù) （若不滿足，可對(duì)最后一行復(fù)制延拓）；

步驟2 使用密鑰k0、k1至k7，按2.1節(jié)方法對(duì)圖像進(jìn)行替代與擴(kuò)散；

步驟3 判斷是否達(dá)到k8次的加密次數(shù)，若達(dá)到，則加密結(jié)束，否則將加密結(jié)果作為輸入圖像轉(zhuǎn)至步驟2。

解密是加密的逆過(guò)程。密文圖像分為上、下子塊并轉(zhuǎn)換成密文序列，按

實(shí)現(xiàn)每個(gè)密文像素的反擴(kuò)散與反替代。其中，Ci為密文序列，Di為解密后的序列。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中使用1024×1024 的256 色Lena 圖，在Matlab7.6環(huán)境下仿真測(cè)試，密鑰k0＝100，k1＝0.992，k2＝0.002，k3＝0.422，k4＝0.012，k5＝3.554，k6＝2.564，k7＝0.011，k8＝2，與文獻(xiàn) ［10］和文獻(xiàn) ［14］算法進(jìn)行了比較。其中，文獻(xiàn) ［14］使用三維類仿射對(duì)圖像的像素位置及像素值進(jìn)行置亂，并按擴(kuò)散、替代、再擴(kuò)散的方式對(duì)圖像加密，每個(gè)像素替代時(shí)都要進(jìn)行多混沌映射耦合方式的選擇。

3.1 抗統(tǒng)計(jì)攻擊性能分析

使用改進(jìn)算法對(duì)Lena圖進(jìn)行2輪加密，效果如圖1所示，密文圖像與原始明文圖像的視覺(jué)效果完全不同。

圖1 Lena圖加密效果

圖2給出了原始圖像和密文圖像的直方圖。由圖2可知，原Lena圖的像素值分布非常不均勻，但加密后密文圖像的像素值呈平坦且均勻的分布，說(shuō)明密文像素取各種可能值的概率趨于相等。也可用信息熵來(lái)度量圖像中灰度值的分布情況［14］，對(duì)于256級(jí)的灰度圖，信息熵最大值為8。原Lena圖像信息熵為7.219391，以上述初始密鑰為起始值，按0.000001步長(zhǎng)，連續(xù)微調(diào)密鑰k4及k7100次，加密后密文圖像信息熵如圖3 所示，均大于7.99980，而計(jì)算信息熵均值為7.999843，非常接近最大值8，調(diào)整其他密鑰可得到類似的結(jié)果。以同樣的方法，計(jì)算文獻(xiàn) ［10］密文 圖像信息熵均值為7.989682，而文獻(xiàn) ［14］ 為7.992915，均小于本文改進(jìn)算法。從直方圖及信息熵分析可知，本文改進(jìn)算法的密文圖像灰度分布十分均勻，能有效抵御統(tǒng)計(jì)攻擊。

圖2 Lena圖加密前后直方圖

圖3 Lena圖加密后信息熵

3.2 相關(guān)性分析

按文獻(xiàn) ［14］方法計(jì)算圖像中水平、垂直及對(duì)角相鄰像素的相關(guān)系數(shù)rxy，若rxy越接近于1，則相鄰像素相關(guān)性越高，越接近于0，則相關(guān)性越低。

圖4 相鄰像素相關(guān)性

原Lena圖像水平相鄰像素相關(guān)系數(shù)為0.990671，垂直為0.995407，對(duì)角為0.985479。在初始密鑰基礎(chǔ)上，按0.000001步長(zhǎng)，連續(xù)微調(diào)k1和k3100次，得到密文圖像相鄰像素相關(guān)性如圖4所示，密文圖像3個(gè)方向的相關(guān)系數(shù)最大值均不超過(guò)0.0030，而最小達(dá)到3.663405×10－8，微調(diào)其他密鑰可得到類似結(jié)果。以同樣的方法，對(duì)文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn) ［14］算法的密鑰進(jìn)行微調(diào)，并計(jì)算本文改進(jìn)算法、文獻(xiàn) ［10］算法和文獻(xiàn) ［14］算法密文圖像3 個(gè)方向相關(guān)系數(shù)的均值如表1所示。從表1可知，本文算法密文圖像3個(gè)方向相關(guān)系數(shù)的均值都為最小，且非常接近于0，表明本文算法在兩輪加密的基礎(chǔ)上，雖然沒(méi)有使用置亂操作，也能很好地破壞相鄰像素的相關(guān)性，使密文有很好的隨機(jī)性分布。

表1 相鄰像素相關(guān)系數(shù)均值

3.3 差分性能分析

好的加密算法應(yīng)該對(duì)明文變化非常敏感，而且這種敏感性越強(qiáng)，抗差分攻擊的能力就越強(qiáng)。像素變化率NPCR和像素平均強(qiáng)度變化率UACI是衡量這種敏感性的2個(gè)重要指標(biāo)，其定義可參見(jiàn)文獻(xiàn) ［5］。

隨機(jī)選取原Lena圖某一像素，共計(jì)100次，使其像素值加1，計(jì)算出NPCR和UACI如圖5所示，可以看出NPCR均大于0.99595，而UACI均大于0.3340，即明文1個(gè)像素的微小變化會(huì)導(dǎo)致密文99.595%以上像素的變化，而變化的強(qiáng)度在33.40%以上，這表明算法的明文敏感性很強(qiáng)，有很好的抗差分攻擊能力。為便于比較，計(jì)算NPCR均值為0.996102，UACI均值為0.334588。以同樣的方法求得文獻(xiàn)［14］算 法NPCR均值為0.990203，UACI均值為0.331201，均小于本文改進(jìn)算法。而文獻(xiàn) ［10］算法由于不存在擴(kuò)散過(guò)程，因此，明文1個(gè)像素的變化只會(huì)導(dǎo)致密文1個(gè)像素的變化，NPCR和UACI均趨于0，無(wú)法抵御差分攻擊。

圖5 差分性能分析

3.4 密鑰空間分析

本文改進(jìn)算法使用3個(gè)混沌映射，共有k1至k77個(gè)密鑰，若每個(gè)密鑰使用16位十進(jìn)制實(shí)數(shù)表示 （包括1位整數(shù)和15位小數(shù)），則密鑰空間為1016×7＝10112，若考慮混沌映射迭代舍去數(shù)k0取3位十進(jìn)制整數(shù)，加密輪次k8取1位十進(jìn)制數(shù)，則密鑰空間可達(dá)10116?？梢?jiàn)，本文改進(jìn)算法具有巨大的密鑰空間，能很好地抵御窮舉攻擊。

3.5 密鑰敏感性分析

一個(gè)好的加密算法應(yīng)該對(duì)密鑰的變化非常敏感。2 個(gè)具有微小差異的加密密鑰，應(yīng)該產(chǎn)生完全不同的密文圖像；同樣，2個(gè)具有微小差異的解密密鑰，對(duì)同一密文的解密結(jié)果也應(yīng)該完全不同。

圖6 Lena圖解密密鑰敏感性測(cè)試

解密實(shí)驗(yàn)時(shí)，分別對(duì)密鑰k2、k5、k6進(jìn)行微調(diào) （加上10－15），解密結(jié)果如圖6所示，可見(jiàn)微小的密鑰變化都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解密結(jié)果。表2列出了微調(diào)k2、k5、k6后解密結(jié)果之間的NPCR與UACI，結(jié)果表明錯(cuò)誤的解密結(jié)果之間也完全不同，算法具有很強(qiáng)的解密密鑰敏感性，微調(diào)其他密鑰可得到類似結(jié)果。

加密實(shí)驗(yàn)時(shí)，分別微調(diào)密鑰k3、k7（加上10－15）。表3列出了初始密鑰密文、微調(diào)k3及微調(diào)k7后密文之間的NPCR與UACI，結(jié)果表明加密密鑰的微小變化會(huì)使密文圖像截然不同，算法對(duì)加密密鑰同樣非常敏感，其他密鑰的微小變化也可得到類似結(jié)果。

表2 解密密鑰敏感性

表3 加密密鑰敏感性

3.6 執(zhí)行效率

實(shí)驗(yàn)用PC機(jī)硬件配置為Intel酷睿i5 雙核2.4 GHz處理器，4 G 內(nèi)存，750 G 硬盤(pán)，軟件運(yùn)行環(huán)境為windows 7，Matlab7.6。利用本文改進(jìn)算法對(duì)一幅256×256的8位灰度圖像進(jìn)行一輪像素替代與擴(kuò)散，平均加密時(shí)間約為0.021s。文獻(xiàn) ［14］算法在相同實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，對(duì)同一圖像進(jìn)行一輪加密，平均時(shí)間約為0.149s，遠(yuǎn)高于本文算法。主要原因是文獻(xiàn) ［14］在像素替代與擴(kuò)散之前，使用了三維類仿射變換對(duì)圖像像素位置和像素值進(jìn)行置亂，增加了加密時(shí)間，同時(shí)像素替代與擴(kuò)散是分開(kāi)的，并按擴(kuò)散、替代、再擴(kuò)散的順序進(jìn)行，而且每個(gè)像素的替代都要進(jìn)行混沌耦合方式的選擇，增加了算法的復(fù)雜度和執(zhí)行時(shí)間。

4 結(jié)束語(yǔ)

文獻(xiàn) ［10］算法存在設(shè)計(jì)上的缺陷，容易受到選擇明文攻擊及差分攻擊。因此，提出了改進(jìn)措施，對(duì)圖像進(jìn)行分塊加密，使用對(duì)方塊信息擾動(dòng)多個(gè)混沌映射，并結(jié)合對(duì)方塊信息生成加密因子，使用加密因子和相鄰密文對(duì)明文進(jìn)行替代與擴(kuò)散。分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)算法很好地克服了原算法的設(shè)計(jì)缺陷，具有更高的安全性，且執(zhí)行效率高。下一步將結(jié)合并行加密模型，研究在兼顧安全性的情況下如何進(jìn)一步提高算法的執(zhí)行效率。

［1］ZHANG Xiaoqiang，WANG Mengmeng，ZHU Guiliang.Research on the new development of image encryption algorithms［J］.Computer Engineering ＆ Science，2012，34 （5）：1－6（in Chinese）.［張曉強(qiáng)，王蒙蒙，朱貴良.圖像加密算法研究新進(jìn)展 ［J］.計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2012，34 （5）：1－6.］

［2］ZHANG Yunpeng，ZUO Fei，ZHAI Zhengjun.Survey on image encryption based on chaos ［J］.Computer Engineering and Design，2011，32 （2）：463－466 （in Chinese）.［張?jiān)迄i，左飛，翟正軍.基于混沌的數(shù)字圖像加密綜述 ［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2011，32 （2）：463－466.］

［3］Ruouma R，Belghith S.Cryptanalysis of a new image encryption algorithm based on hyper－chaos ［J］.Physics Letters A，2008，372 （38）：5973－5978.

［4］ZHAO Liang，LIAO Xiaofeng，XIANG Tao，et al.Security and efficiency improvement for image encryption algorithm based on high－dimension chaotic system ［J］.Journal of Computer Applications，2009，29 （7）：1775－1778（in Chinese）.［趙亮，廖曉峰，向濤，等.對(duì)高維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法安全性和效率的改進(jìn) ［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2009，29 （7）：1775－1778.］

［5］WANG Jing，JIANG Guoping.Cryptanalysis of a hyper－chaotic image encryption algorithm and its improved version ［J］.Acta Phys Sin，2011，60 （6）：1－11 （in Chinese）.［王靜，蔣國(guó)平.一種超混沌圖像加密算法的安全性分析及其改進(jìn) ［J］.物理學(xué)報(bào)，2011，60 （6）：1－11.］

［6］ZHU Congxu，SUN Kehui.Cryptanalysis and improvement of a class of hyperchaos based image encryption algorithms ［J］.Acta Phys Sin，2012，61 （12）：1－12 （in Chinese）.［朱從旭，孫克輝.對(duì)一類超混沌圖像加密算法的密碼分析與改進(jìn) ［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61 （12）：1－12.］

［7］TANG Song，XU Guilan，LI Qingdu.New image group encryption algorithm based on high dimensional hyperchaos system and matrix tensor product［J］.Journal of Computer Applications，2012，32 （8）：2262－2264 （in Chinese）. ［唐宋，徐桂蘭，李清都.基于高維超混沌系統(tǒng)和矩陣張量積的圖像分組加密新算法 ［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2012，32 （8）：2262－2264.］

［8］PENG Jun，JIN Shangzhu，LIAO Xiaofeng.A novel digital image encryption algorithm based on hyperchaos by controlling lorenz system ［C］／／Proc of the Fifth International Conference on Natural Computation，2009：395－399.

［9］LI Xiaobo，ZHOU Quan.Remote sensing image encryption algorithm based on composite chaos ［J］.Computer Engineering and Design，2012，33 （11）：4086－4090 （in Chinese）.［李曉博，周詮.基于復(fù)合混沌的遙感影像加密算法 ［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2012，33 （11）：4086－4090.］

［10］GUO Xiaocong，XIANG Fei，LIU Wei.An image encryption algorithm based on multiple chaotic mapping ［J］.Computer Engineering，2012，38 （20）：93－96 （in Chinese）.［郭曉叢，向菲，劉偉.一種基于多混沌映射的圖像加密算法 ［J］.計(jì)算機(jī)工程，2012，38 （20）：93－96.］

［11］DUAN Xuefeng，GUAN Jian，DING Yong，et al.Color digital image scrambling algorithm based on multi－group chaotic sequences ［J］.Computer Engineering，2012，38 （9）：114－116 （in Chinese）.［段雪峰，關(guān)健，丁勇，等.基于多組混沌序列的彩色數(shù)字圖像置亂算法 ［J］.計(jì)算機(jī)工程，2012，38 （9）：114－116.］

［12］Benjeddou A，Taha AK，F(xiàn)ournier－Prunaret D，et al.A fast color image encryption scheme based on multidimensional chaotic maps［C］／／Proc of Global Information Infrastructure Symposium，2009：1－4.

［13］CHU Ying，WANG Xiaoman，LIU Peng，et al.Research on compound chaos image encryption method with time－varying［J］.Journal of Jilin University （Information Science Edition），2012，30 （3）：291－296 （in Chinese）. ［褚影，王小曼，劉鵬，等.基于時(shí)鐘變換的復(fù)合混沌圖像加密研究 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào) （信息科學(xué)版），2012，30 （3）：291－296.］

［14］WEN Changci，WANG Qin，HUANG Fumin，et al.Selfadaptive encryption algorithm for image based on affine and composed chaos［J］.Journal on Communications，2012，33（11）：119－127 （in Chinese）.［文昌辭，王沁，黃付敏，等.基于仿射和復(fù)合混沌的圖像自適應(yīng)加密算法 ［J］.通信學(xué)報(bào)，2012，33 （11）：119－127.］