雷莉霞，張躍進(jìn)，黃德昌

（華東交通大學(xué) 信息工程學(xué)院，江西 南昌330013）

0 引 言

基于壓縮感知理論采樣可以突破采樣定理，使系統(tǒng)以遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣率的采樣頻率進(jìn)行采樣。壓縮感知理論是通過(guò)特定的測(cè)量矩陣，將高維信號(hào)投影到低維空間進(jìn)行采樣，直接獲取壓縮后的信息，然后利用非線性的重構(gòu)算法及信號(hào)稀疏的先驗(yàn)條件，從采樣不足的信號(hào)中重構(gòu)出原始信號(hào)［1］。壓縮感知的研究包括理論和應(yīng)用兩方面，壓縮感知理論包括信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量矩陣的構(gòu)造和重構(gòu)算法，壓縮感知的理論研究主要基于這3方面。壓縮感知基于信號(hào)的稀疏性或可壓縮性，也就是說(shuō)信號(hào)的稀疏性越高，越有利于進(jìn)行壓縮感知。因此，人們研究提高信號(hào)稀疏性的稀疏變換方法，其中包括離散小波變換、離散傅里葉變換、離散余弦變換以及Courlet變換等。壓縮感知的測(cè)量矩陣是實(shí)現(xiàn)壓縮的關(guān)鍵，人們通過(guò)構(gòu)造高性能的測(cè)量矩陣來(lái)減小采樣率，通過(guò)近幾年的研究，提出了多種測(cè)量矩陣，包括隨機(jī)測(cè)量矩陣和確定性測(cè)量矩陣［2］。

壓縮感知的重構(gòu)算法是從采樣信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)的關(guān)鍵，研究高效的信號(hào)重構(gòu)算法是近年來(lái)壓縮感知理論研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。目前，重構(gòu)算法包括凸優(yōu)化系列算法和匹配追蹤系列算法［1］。由于壓縮感知理論的優(yōu)異特性，該理論在多個(gè)領(lǐng)域得到了應(yīng)用，如在圖像處理、醫(yī)學(xué)圖像和遙感成像等領(lǐng)域都不斷有新的成果出現(xiàn)［3］。而2008年美國(guó)RICE 大學(xué)研制出的單像素相機(jī)，它通過(guò)一個(gè)數(shù)字微鏡陣列對(duì)二維圖像信號(hào)進(jìn)行降維，利用透鏡聚焦至一個(gè)光敏二極管進(jìn)行采樣，成功地恢復(fù)出了原始圖像信號(hào)。這一成果為研制一種新的圖像采樣系統(tǒng)提供了可能性［4］。壓縮感知基于信號(hào)的稀疏性或可壓縮性，能夠以低于奈奎斯特采樣率的頻率進(jìn)行采樣，從而直接獲得壓縮后的采樣信號(hào)。醫(yī)學(xué)圖像具有高分辨率和需長(zhǎng)期保存的特點(diǎn)，有必要對(duì)其進(jìn)行壓縮，因此本文將壓縮感知理論運(yùn)用于醫(yī)學(xué)圖像的壓縮，并用Matlab編程實(shí)現(xiàn)，根據(jù)現(xiàn)有的方法加以改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了壓縮感知在醫(yī)學(xué)圖像壓縮方面的高性能應(yīng)用。

1 信號(hào)的重構(gòu)原理

信號(hào)的重構(gòu)就是根據(jù)信號(hào)具有稀疏性的先驗(yàn)條件和已知的測(cè)量矩陣，利用非線性的重構(gòu)算法，從采樣不足的M維信號(hào)中恢復(fù)出原始的N 為信號(hào)的過(guò)程。信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量取決于重構(gòu)算法的性能。不同的重構(gòu)算法，在重構(gòu)時(shí)間和重構(gòu)質(zhì)量上都會(huì)有較大的差距。當(dāng)采用的其它步驟都相同時(shí)，例如采用相同的稀疏變換算法和測(cè)量矩陣，運(yùn)用高性能的重構(gòu)算法，可以減少測(cè)量數(shù)量、縮短重構(gòu)時(shí)間并且提高信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量。因此，壓縮感知效果高低的關(guān)鍵之一就是選擇合適的重構(gòu)算法［5］。

信號(hào)的重構(gòu)在本質(zhì)上是向量的最小l0范數(shù)問(wèn)題。所謂l0范數(shù)問(wèn)題，就是計(jì)算出原始信號(hào)中哪些采樣點(diǎn)的采樣值不為零，并且計(jì)算出這些采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的具體采樣值。而求解向量的最小l0范數(shù)，可以使求解出的向量的稀疏性最大。基于向量的最小l0范數(shù)問(wèn)題的信號(hào)重構(gòu)過(guò)程可以表示如下

向量的最小l0范數(shù)問(wèn)題是一個(gè)NP－h(huán)ard為題。對(duì)于稀疏度為K、長(zhǎng)度為N 的信號(hào)，由于只有M （M＜N）個(gè)采樣值，如同從M 個(gè)方程中求解N 個(gè)未知數(shù)，我們必須窮舉出CkN種可能，并加以比較。對(duì)于絕大多數(shù)信號(hào)，這種方法都是無(wú)法直接求解的。但是，對(duì)于向量最小l0范數(shù)問(wèn)題，可以利用貪婪思想，進(jìn)行近似求解。與之相對(duì)應(yīng)的算法，稱為匹配追蹤系列算法。匹配追蹤系列算法包括原始的匹配追蹤算法，常用的正交匹配追蹤算法以及經(jīng)過(guò)改進(jìn)的正則正交匹配追蹤算法、分階段正交匹配追蹤算法和帶回溯的壓縮采樣匹配追蹤算法等［6］。

理論證明，在壓縮感知理論中，向量的最小l0范數(shù)問(wèn)題與向量的最小l1范數(shù)問(wèn)題是等價(jià)的。因此，可以將式（1）中的最小l0范數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小l1范數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下［7］

向量的最小l1范數(shù)問(wèn)題是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，可以利用線性規(guī)劃直接求解，相應(yīng)的算法稱為基追蹤算法?；粉櫵惴ㄐ枰臏y(cè)量數(shù)量較少，但是算法復(fù)雜度較高，因此很難在大規(guī)模問(wèn)題上應(yīng)用。另外，求解式 （2）還可以運(yùn)用梯度投影算法等算法。

如果考慮一定的重構(gòu)精度ε，式 （2）可以轉(zhuǎn)化如下

對(duì)于該問(wèn)題，可以使用二階圓錐規(guī)劃進(jìn)行求解。此外，針對(duì)二維圖像，還可以使用最小全變分法進(jìn)行信號(hào)的重構(gòu)。不過(guò)該算法運(yùn)算速度較慢，在實(shí)際中很難應(yīng)用信號(hào)的重構(gòu)是壓縮感知中最重要的一個(gè)步驟。信號(hào)的重構(gòu)類似于壓縮中的解壓縮過(guò)程，它從經(jīng)過(guò)壓縮的采樣信號(hào)中，恢復(fù)出原始信號(hào)。但是，不同的是，在傳統(tǒng)壓縮中，解壓縮過(guò)程就是壓縮過(guò)程的逆過(guò)程；而在壓縮感知理論中，解壓縮過(guò)程需要特殊的重構(gòu)算法。重構(gòu)算法都是非線性的算法，其性能的好壞直接影響重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量的高低。常用重構(gòu)算法包括基于向量最小l1范數(shù)的基追蹤算法以及基于向量最小l0范數(shù)的匹配追蹤系列算法。其中，雖然匹配追蹤系列算法與基追蹤算法相比重構(gòu)精度較差，但其算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，所以在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。

2 雙閾值分塊正交匹配追蹤算法

信號(hào)的重構(gòu)是壓縮感知中最重要的一個(gè)步驟。信號(hào)的重構(gòu)類似于壓縮中的解壓縮過(guò)程，從經(jīng)過(guò)壓縮的采樣信號(hào)中，恢復(fù)出原始信號(hào)。但是不同的是，在傳統(tǒng)壓縮中，解壓縮過(guò)程就是壓縮過(guò)程的逆過(guò)程；而在壓縮感知理論中，解壓縮過(guò)程需要特殊的重構(gòu)算法。重構(gòu)算法都是非線性的算法，其性能的好壞直接影響重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量的高低。常用重構(gòu)算法包括基于向量最小l1范數(shù)的基追蹤算法以及基于向量最小l0范數(shù)的匹配追蹤系列算法［8］。

匹配追蹤算法是一種貪婪算法，也是匹配追蹤系列算法中最原始、最基本的一個(gè)。它通過(guò)用信號(hào)殘差與測(cè)量矩陣的每一列做內(nèi)積運(yùn)算，計(jì)算出與信號(hào)殘差最相關(guān)的一列作為重構(gòu)原子，并將信號(hào)殘差與該列內(nèi)積的結(jié)果作為重構(gòu)信號(hào)的系數(shù)。然后用信號(hào)殘差減去重構(gòu)信號(hào)，作為下一步尋找重構(gòu)原子的新的殘差。如此重復(fù)這些步驟，直至迭代N （原始信號(hào)長(zhǎng)度）次，就能重構(gòu)出原始信號(hào)［9］。

正交匹配追蹤算法是匹配追蹤系列算法中最常用的一個(gè)，它很好的克服了匹配追蹤算法中信號(hào)殘差與所選重構(gòu)原子不正交的問(wèn)題，因此在重構(gòu)效果重構(gòu)時(shí)間上都要優(yōu)于匹配追蹤算法［10］。正交匹配追蹤算法在重構(gòu)原子選擇策略上與匹配追蹤算法相同，也是通過(guò)計(jì)算信號(hào)殘差與矩陣每一列的內(nèi)積值，找出內(nèi)積值最大的一列作為重構(gòu)原子。但是在信號(hào)重構(gòu)上，與匹配追蹤算法不同。正交匹配追蹤算法是利用重構(gòu)原子進(jìn)行最小二乘法來(lái)擬合信號(hào)殘差，從而克服了信號(hào)殘差與所選重構(gòu)原子不正交的問(wèn)題。因此，對(duì)于長(zhǎng)度為N、稀疏度為K 的信號(hào)，只需要K 次迭代就能夠很好的重構(gòu)出原始信號(hào)。

正交匹配追蹤算法是一種貪婪算法。它需要計(jì)算信號(hào)殘差與測(cè)量矩陣每一列的內(nèi)積值，因此，算法時(shí)間隨信號(hào)長(zhǎng)度的增加會(huì)顯著增加。理論證明，正交匹配追蹤算法的算法時(shí)間與信號(hào)長(zhǎng)度呈指數(shù)增長(zhǎng)關(guān)系［11］。所以，正交匹配追蹤算法在長(zhǎng)信號(hào)以及大幅度二維圖像信號(hào)的應(yīng)用上有一定限制［12］。

為了將正交匹配追蹤算法應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像的壓縮感知，采用了分塊的思想。同時(shí)，為了增加算法最終的效果，又加入了采樣閾值，并設(shè)計(jì)了一種確定采樣閾值的方法。另外，為了降低重構(gòu)效果對(duì)采樣閾值的依賴性，引入了判斷閾值，提出了雙閾值分塊正交匹配追蹤算法。最終，成功實(shí)現(xiàn)了基于壓縮感知的醫(yī)學(xué)圖像壓縮。為了提高壓縮感知應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像壓縮的性能，提出了基于壓縮感知的雙閾值分塊正交匹配追蹤算法。其重構(gòu)策略基于正交匹配追蹤算法，并采用了分塊的思想。

首先，該算法根據(jù)分塊大小的選擇，其性能會(huì)有很大的不同。當(dāng)子圖像塊比較小時(shí)，信號(hào)長(zhǎng)度較小，所以算法速度會(huì)有明顯提升。但是，由于分塊過(guò)多，切斷了塊與塊之間的聯(lián)系，所以從視覺(jué)效果上，重構(gòu)圖像會(huì)有很強(qiáng)的如同馬賽克般分塊的感覺(jué)，那么在重構(gòu)圖像的峰值信噪比也就很低。當(dāng)子圖像塊比較大時(shí)，雖然圖像的重構(gòu)質(zhì)量會(huì)明顯提升，但是重構(gòu)速度上會(huì)急劇下降。因此，基于具體仿真實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)綜合考慮，本方法最終確定的分塊大小為16×16，此時(shí)圖像重構(gòu)質(zhì)量較高，重構(gòu)速度也較快。

所以，最終算法結(jié)構(gòu)表示如下：

初始值設(shè)定：設(shè)定采樣閾值Τα和判斷閾值Τβ，遞增的采樣率集合Γ ＝ ｛γ1，γ2，…，γMAX｝，與采樣率相對(duì)應(yīng)的不同大小的測(cè)量矩陣；

（1）輸入圖像，分塊處理并將每一塊二維信號(hào)轉(zhuǎn)換為一維信號(hào)X，統(tǒng)計(jì)信號(hào)總數(shù)為iMAX，設(shè)i＝1；

（2）對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換，得到頻域信號(hào)S，并進(jìn)行采樣閾值Τα的判斷；

（3）計(jì)算信息比α，并根據(jù)α選擇合適的采樣率γ；

（4）根據(jù)采樣率γ選擇測(cè)量矩陣，進(jìn)行壓縮采樣，得到采樣信號(hào)Y；

（5）利用正交匹配追蹤算法進(jìn)行重構(gòu)，得到待定重構(gòu)信號(hào)XW；

（6）計(jì)算XW的峰值信噪比PSNR，進(jìn)行判斷閾值Τβ的判斷。如果PSNR＜Τβ，且γ＜γMAX，則將采樣率γ 提高一個(gè)等級(jí)，返回步驟4，重新進(jìn)行采樣和重構(gòu)；否則，最終重構(gòu)信號(hào)X＝XW，i＝i＋1；

（7）進(jìn)行判斷，如果i＞iMAX，則將所有重構(gòu)信號(hào)依照原規(guī)則轉(zhuǎn)換回二維信號(hào)，并輸出重構(gòu)圖像；否則，返回步驟 （2），對(duì)下一個(gè)信號(hào)進(jìn)行處理。

另外，對(duì)于雙閾值的對(duì)圖像重構(gòu)影響，也就是采樣閾值和判斷閾值的影響。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

實(shí)驗(yàn)處理的圖像為分辨率為512×512的心臟CT 圖像，分塊大小為16×16，即有32×32個(gè)子圖像塊。將每一塊子圖像塊的信息重新排列成長(zhǎng)度為256的一維信號(hào)，稀疏變換算法采用離散傅里葉變換，測(cè)量矩陣選擇已經(jīng)測(cè)試過(guò)的性能較好的結(jié)構(gòu)化隨機(jī)矩陣。

對(duì)于采樣率γ 的選擇，上文已經(jīng)提到信息比α越大，信號(hào)信息量越多，所以采樣率的設(shè)置應(yīng)與信息比α成正比關(guān)系。因此，實(shí)驗(yàn)中如下設(shè)置不同子圖像塊的采樣率

首先，進(jìn)行采樣閾值實(shí)驗(yàn)。分別設(shè)置采樣閾值Τα為35、50、75、100和150，進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 不同閾值重構(gòu)圖像PSNR 及平均采樣率

從表1可以看出，當(dāng)重構(gòu)圖像的PSNR 為42.5dB時(shí)，平均采樣率為0.369，而在沒(méi)有采樣閾值的表1中，當(dāng)重構(gòu)圖像的PSNR 與之基本相同為42.1dB時(shí)，采樣率為0.75。這說(shuō)明加入采樣閾值后，大大降低了采樣率，也就提高了圖像的壓縮比。另外，表1 中當(dāng)平均采樣率為0.244 時(shí)，重構(gòu)圖像的PSNR 為34.5dB，而在采用原有結(jié)構(gòu)化隨機(jī)矩陣，當(dāng)采樣率為0.25時(shí)，重構(gòu)圖像的PSNR 僅為28.9dB。這也很好地說(shuō)明了加入采樣閾值后算法效率的提升。

由表1還可以看出，隨著采樣閾值的提高，重構(gòu)圖像的PSNR 減小。這是由于隨著采樣閾值的增加，有更多的系數(shù)被視為零，也就有更多的信息被忽略，這也導(dǎo)致了圖像重構(gòu)質(zhì)量對(duì)采樣閾值的依賴關(guān)系。圖1給出采樣閾值分別為35和150情況下的重構(gòu)圖像。直觀來(lái)看，采樣閾值為150的圖像在視覺(jué)效果上明顯劣于采樣閾值為35 的圖像，尤其是在個(gè)別子圖像塊上，此情況尤為明顯。

圖1 采樣閾值在35和150的重構(gòu)圖像

為了說(shuō)明重構(gòu)圖像PSNR 與采樣閾值的依賴關(guān)系，本文又選擇了更多的采樣閾值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到二者的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 PSNR 與采樣閾值關(guān)系曲線

對(duì)多幅其它CT 圖像進(jìn)行同樣的實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果與上述結(jié)果類似。如上文所述，采樣閾值的選擇不宜過(guò)小，雖然這樣會(huì)提高峰值信噪比，但是視覺(jué)效果并不會(huì)明顯提高，反而降低了壓縮效率；同時(shí)，如果采樣閾值過(guò)大，會(huì)大大降低圖像的重構(gòu)效果，所以為了同時(shí)獲得高的重構(gòu)效果和壓縮效率，其關(guān)鍵在于采樣閾值的選擇。但是采樣閾值的選擇很大程度上依賴人的經(jīng)驗(yàn)，而且在重構(gòu)出圖像之前，人們無(wú)從得知其PSNR，也就無(wú)從得知重構(gòu)效果是否滿足要求。因此，為了降低重構(gòu)效果的不確定性以及對(duì)采樣閾值選擇的依賴性，本文又加入了判斷閾值。

驗(yàn)證判斷閾值實(shí)驗(yàn)依然使用上一實(shí)驗(yàn)所用圖像，判斷閾值分別選擇30 和35，其它參數(shù)相同，所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 判斷閾值重構(gòu)圖像PSNR 及平均采樣率

再次做出重構(gòu)圖像PSNR 與采樣閾值的關(guān)系圖，如圖3所示。從圖中可以看出隨著采樣閾值的增加，重構(gòu)圖像趨向某一穩(wěn)定值，而不是一直減小，即去除了重構(gòu)效果對(duì)采樣閾值的唯一依賴。人們可以通過(guò)設(shè)定適當(dāng)?shù)牟蓸娱撝担⒃O(shè)置判斷閾值來(lái)預(yù)知和保證重構(gòu)效果，從而達(dá)到我們的要求。

圖3 判斷閾值與采樣閾值PSNR

目前的壓縮感知方法對(duì)大幅度二維圖像的處理能力較弱，因此必須進(jìn)行分塊處理。這就導(dǎo)致了重構(gòu)圖像的分塊效應(yīng)比較明顯，而且個(gè)別子圖像塊的重構(gòu)效果尚待提高。所以，研究出能夠處理長(zhǎng)信號(hào)的重構(gòu)算法可有效地解決這一問(wèn)題。另外，更好的系數(shù)表示方法和測(cè)量矩陣，能夠增加信號(hào)的稀疏度、減少測(cè)量數(shù)量，也有助于提高壓縮感知的效率。

4 結(jié)束語(yǔ)

從以上的結(jié)果和分析可以看出，壓縮感知理論在醫(yī)學(xué)圖像壓縮方面得到了較好的應(yīng)用，并且還有很大的發(fā)展空間。本文提出的雙閾值分塊正交匹配追蹤算法具有較好的性能，并且性能穩(wěn)定。其能夠降低人為選擇對(duì)重構(gòu)效果的影響，從而使此方法在不了解圖像理論以及壓縮感知理論的人群中也可以得到應(yīng)用，因此具有一定的應(yīng)用前景。外，對(duì)于壓縮采樣后的信號(hào)，依然有進(jìn)行編碼壓縮的空間，本文并未對(duì)此進(jìn)行研究，希望在這些方面，能夠有更多的研究人員對(duì)此進(jìn)行研究。

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