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        復(fù)變函數(shù)中定積分的計算

        2014-12-19 06:22:26王華閣
        河南科技 2014年18期
        關(guān)鍵詞:柯西解析定理

        王華閣

        (新鄉(xiāng)醫(yī)學(xué)院 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453003)

        在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教材中,在復(fù)變函數(shù)這部分內(nèi)容中,定積分的計算方法多種多樣,我們可以針對具體的定積分題型,選擇合適的積分方法。 在這里,我們針對每種積分類型的特點,通過相應(yīng)的例題,給出具體的解法。

        1 參數(shù)方程法

        對于積分曲線C 為不封閉曲線的定積分,可以考慮參數(shù)方程法進行計算。 用參數(shù)方程法計算定積分可以根據(jù)不同情況由兩種方法進行計算。

        1.1 通過化為兩個二元實變函數(shù)的積分進行計算

        由z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),可得

        解:設(shè)f(z)=z2=(x2-y2)+2ixy,u=x2-y2,v=2xy。

        設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為

        1.2 化為參變量的定積分進行計算

        對于例1,我們可以化為參變量的定積分,按照這種方法進行計算。

        解:設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為

        從而,

        2 根據(jù)柯西定理及推論進行計算

        2.1 定理1(柯西定理)

        設(shè)C 是一條簡單正向閉曲線,f(z)在以C 為邊界的有界閉區(qū)域D 上解析,則

        2.2 定理2(柯西定理推論)

        設(shè)D 為由外線路C0和內(nèi)線路C0,C1,C2,…,Cn圍成的多連通 區(qū) 域,f(z)在D 內(nèi)及邊界曲線C0,C1,C2,…,Cn上解析,則這里C 為多連通區(qū)域D 的所有正向邊界,方向為C0取逆時針方向,ck(k=1,2,L,n)取順時針方向。

        例3:C 為矩形區(qū)域0≤x≤3,0≤y≤2 的正向邊界, 證明:

        證明:在矩形區(qū)域里做正向圓周R:z-(2+i)=reiθ(θ:2π→0),則在圖中的復(fù)連通區(qū)域內(nèi)解析,從而根據(jù)柯西定理的推論有:

        3 根據(jù)柯西積分公式進行計算

        定理3:設(shè)f(z)在簡單正向閉曲線C 及所圍區(qū)域D 內(nèi)處解析,z0為D 內(nèi)任一點,則我們把這個公式稱為柯西積分公式。

        定理3 說明f(z0)可由函數(shù)在C 上的積分來確定,但實際上,我們通常把這個公式進行變形,可以用這個公式來計算積分

        用柯西積分公式進行計算時, 先對曲線C 的解析性做判斷,然后按照下列步驟進行:首先注意C 應(yīng)該為正向閉曲線,若f(z)在C 所圍的區(qū)域里解析,則根據(jù)柯西定理,若f(z)在C 所圍的區(qū)域里不解析,再分以下兩種情況:

        (1)當(dāng)f(z)有一個不解析點z0時,考慮能否把f(z)化成,其中g(shù)(z)在C 內(nèi)解析,則由柯西積分公式可得,

        (2)當(dāng)f(z)有n 個不解析點時,做以不解析點為圓心的正向圓周C1,…,Cn,半徑足夠小,則由柯西定理的推論,

        解:當(dāng)C 為|z-2|=1 時,

        4 利用高階導(dǎo)數(shù)公式進行計算

        定理4:設(shè)f(z)在簡單正向閉曲線C 及其所圍區(qū)域D 內(nèi)處解析,z0為D 內(nèi)任一點, 則0,1,2…)

        解:因為cosπz 在復(fù)平面上處處解析,所以由定理4,

        5 利用留數(shù)定理進行計算

        定理5(留數(shù)定理):設(shè)D 是復(fù)平面上的一個有界閉區(qū)域,若f(z)在D 內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,…,zn外處處解析,且它在D的邊界C 上也解析,則

        利用留數(shù)定理計算定積分的步驟:

        (1)找出C 所圍區(qū)域內(nèi)f(z)的所有孤立奇點,設(shè)為z1,z2,…,zn。

        (2)對每個孤立奇點zi,分別求Res(f,zi)。

        (3)利用留數(shù)定理求定積分:

        [1]蘇變萍,陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:高等教育出版社,2010.

        [2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,1988.

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