石 柱，徐振邦，吳清文，陳立恒

SHI Zhu, XU Zhen-bang, WU Qing-wen, CHEN Li-heng

（中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033）

0 引言

空間高分辨率光學(xué)遙感器有重要的商業(yè)價(jià)值和軍事價(jià)值，且迅速發(fā)展[1,2]?？臻g設(shè)施的微振動(dòng)對(duì)其分辨率產(chǎn)生較大影響，對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行研究從而實(shí)現(xiàn)有效隔振有重大意義。而空間微振動(dòng)有微振幅、多自由度、隨機(jī)、寬頻的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。

Stewart平臺(tái)作為一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由上平臺(tái)、下平臺(tái)和六根伸縮桿組成，下平臺(tái)固定，通過(guò)控制六根支腿的伸縮實(shí)現(xiàn)上平臺(tái)的六自由度運(yùn)動(dòng)[3]，可以有效模擬空間微振動(dòng)。Stewart平臺(tái)上下平臺(tái)與伸縮桿關(guān)節(jié)處所用鉸鏈的特性對(duì)于整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性以及控制特性有著至關(guān)重要的影響。傳統(tǒng)剛性鉸鏈，會(huì)產(chǎn)生摩擦和間隙，而柔性鉸鏈具有無(wú)回退空程、無(wú)摩擦、高精度等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)現(xiàn)精密定位和隔振平臺(tái)也有著眾多的應(yīng)用[4]。柔性鉸鏈可分為單向、雙向和萬(wàn)向?？臻g微振動(dòng)模擬器要實(shí)現(xiàn)六自由度的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)末端的運(yùn)動(dòng)特征是構(gòu)成該機(jī)構(gòu)的所有運(yùn)動(dòng)支鏈運(yùn)動(dòng)特征的交集理論[5]，單腿必須實(shí)現(xiàn)六自由度的運(yùn)動(dòng)特征，因此選用萬(wàn)向轉(zhuǎn)動(dòng)柔性鉸鏈鏈。

萬(wàn)向柔性鉸鏈在Stewart平臺(tái)上作為隔振器和精確指向機(jī)構(gòu)的應(yīng)用，都僅考慮到鉸鏈的轉(zhuǎn)向能力（旋轉(zhuǎn)剛度），而對(duì)軸向剛度的影響忽略[6]。對(duì)于微振動(dòng)模擬器在高頻振動(dòng)時(shí)，不僅要求鉸鏈有較低的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度，能有效實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)，也必須有高的軸向剛度，提高關(guān)節(jié)耦合處剛度，增強(qiáng)系統(tǒng)基頻，使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性和控制特性。而對(duì)于萬(wàn)向鉸鏈，其軸向剛度、彎曲剛度及扭轉(zhuǎn)剛度特性變化趨勢(shì)一致（軸向剛度越大，彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度也就越大），這和鉸鏈設(shè)計(jì)要求相沖突。本文對(duì)直圓型萬(wàn)向柔性鉸鏈剛度計(jì)算進(jìn)行了深入研究，通過(guò)材料力學(xué)的公式計(jì)算分析鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)各向剛度的影響，并輔助于有限元軟件仿真進(jìn)行驗(yàn)證，綜合考慮鉸鏈軸向剛度和旋轉(zhuǎn)剛度要求，選取合理結(jié)構(gòu)參數(shù)使得鉸鏈滿足指標(biāo)要求，有較高的軸向剛度和較低的旋轉(zhuǎn)剛度，對(duì)于萬(wàn)向柔性鉸鏈的剛度設(shè)計(jì)有一定的指導(dǎo)意義。

1 設(shè)計(jì)思路與指標(biāo)

依據(jù)仿真利用模型依據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)指標(biāo)要求提出柔性鉸鏈的各向剛度要求，然后建立模型，用公式推導(dǎo)出來(lái)剛度與鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系公式，得到剛度特性與結(jié)構(gòu)參數(shù)的規(guī)律，利用有限元進(jìn)行仿真計(jì)算驗(yàn)證。根據(jù)運(yùn)動(dòng)指標(biāo)和材料強(qiáng)度參數(shù)確定柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)尺寸和剛度范圍，確定了最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)，然后檢驗(yàn)鉸鏈取此結(jié)構(gòu)是否滿足剛度指標(biāo)要求，之后對(duì)其強(qiáng)度進(jìn)行了校核，完成鉸鏈部分的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

微振動(dòng)模擬器結(jié)構(gòu)如圖1所示，下平臺(tái)固定，每個(gè)支腿都由一個(gè)音圈電機(jī)作為作動(dòng)器，支腿和上下平臺(tái)通過(guò)萬(wàn)向柔性鉸鏈連接。模擬器上平臺(tái)提供的振動(dòng)指標(biāo)要求為：六自由度、頻率30Hz～400Hz，加速度保持在2×10-3g。

圖1 微振動(dòng)模擬器結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)模擬器高頻振動(dòng)時(shí)，如果鉸鏈的軸向剛度低，使得支腿與平臺(tái)耦合處容易發(fā)生共振，影響控制精度，甚至導(dǎo)致控制失穩(wěn)。以極限高頻400Hz振動(dòng)為考慮目標(biāo)，使關(guān)節(jié)耦合處不會(huì)發(fā)生共振，根據(jù)MATLAB理論模型換算出鉸鏈的軸向剛度應(yīng)高于3.4×104N/mm。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)剛度，較高則會(huì)產(chǎn)生力的干擾，影響動(dòng)態(tài)特性和控制特性。若模型使用理想鉸鏈，在平均工況（振動(dòng)頻率200Hz，電機(jī)力30N），鉸鏈的彎曲角度和扭轉(zhuǎn)角度分別為0.83’和0.037’。要求柔性鉸鏈能達(dá)到理想鉸鏈90%的轉(zhuǎn)向能力，基于此，根據(jù)Matlab理論模型換算出鉸鏈的彎曲剛度應(yīng)低于2.45×105N·mm/rad，扭轉(zhuǎn)剛度低于4.3×104N·mm/rad。

2 柔性鉸鏈的剛度分析

直圓形萬(wàn)向柔性鉸鏈，其結(jié)構(gòu)如圖2所示，在半徑R的圓柱體的中間部分切半徑r的槽，切槽部分厚度為t，三者關(guān)系為R=2r+t。由于設(shè)計(jì)的Stewart平臺(tái)的結(jié)構(gòu)尺寸限制，h取30mm，因此考慮R和t對(duì)鉸鏈剛度的影響即可。鉸鏈選取的材料為鈹銅合金，彈性模量E=128GPa，泊松比ν=0.35，強(qiáng)度極限σS=1035Mpa，安全系數(shù)取n=2，[σ]=517.5Mpa，[τ]=362.25Mpa。

圖2 柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)圖

2.1 軸向剛度

在鉸鏈上端施加垂直載荷P，其軸向剛度為K，軸向變形為l，l1為P引起的鉸鏈未切槽部分的軸向變形，l2為P引起的切槽部分（柔性部分）的軸向變形。根據(jù)材料力學(xué)公式：

其中A表示未切槽部分橫截面積，ε表示正應(yīng)變，σ表示正應(yīng)力。

利用MATLAB編寫程序?qū)ζ溥M(jìn)行計(jì)算[7]。綜合考慮R與t的影響，分別取R=5，6，7；t=1，1.5，2，2,5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，8，10，單位為mm，作出R取不同值時(shí)，柔性鉸鏈切槽部分和未切槽部分的軸向變形隨切槽部分厚度t的變化曲線如圖3所示。

圖3 軸向變形隨切槽部分厚度t變化曲線

通過(guò)我們可以得出：

1）在h一定的情況下，柔性鉸鏈的軸向變形，幾乎不受半徑R的影響，由切槽部分的厚度t決定。

2）在t大于5mm的時(shí)候，切槽部分的軸向變形和未切槽部分幾乎無(wú)差別，而在t小于5mm的時(shí)候，切槽部分的軸向變形大于未切槽部分。

3）未切槽部分軸向變形幾乎不受t影響，而切槽部分軸向變形隨著t的變小呈指數(shù)型增長(zhǎng)。

基于上述結(jié)論，取R=5mm。將切槽部分軸向變形和未切槽部分軸向變形相加得出其軸向變形l，根據(jù)公式（1）可以得出其軸向剛度K，作出其隨切槽部分厚度t變化的曲線。為了驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性，同時(shí)通過(guò)有限元分析軟件Patran/Nastran對(duì)柔性鉸鏈進(jìn)行仿真。材料參數(shù)設(shè)置為E=128000MPa，ν=0.35，h=30mm，R=5mm，t分別1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，8，10（單位為mm），建立單元數(shù)為29820的有限元模型，在上表面施加total load 60N，對(duì)其進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。然后提取軸向變形，并計(jì)算得到其軸向剛度，將其結(jié)果與理論結(jié)果相比較，得出結(jié)果如圖4所示。

圖4 軸向剛度隨切槽厚度t變化曲線

通過(guò)仿真結(jié)果與理論計(jì)算的結(jié)果的比較，兩條曲線基本一致，可以驗(yàn)證我們對(duì)于柔性鉸鏈軸向剛度受結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的影響所作理論推導(dǎo)的正確性。分析曲線我們可以得出：軸向剛度隨著切槽厚度t的增加成近似線性提高。

2.2 彎曲剛度

假定在鉸鏈上端施加彎矩M，其彎曲剛度為Kθ，轉(zhuǎn)角為θ，C為倒數(shù)彎曲剛度（定義為M引起鉸鏈的轉(zhuǎn)角與M之比，C越大）。根據(jù)材料力學(xué)公式：

上式中J(X)為鉸鏈各部分截面慣性矩，C1為未切槽部分倒數(shù)彎曲剛度，C2為切槽（柔性）部分倒數(shù)彎曲剛度，其值越大，表示這一部分的彎曲剛度越小。利用MATLAB編寫程序?qū)ζ溥M(jìn)行計(jì)算，分別取R=5，6，7；t=1，1.5，2，2,5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，8，10（單位為mm），作出R取不同值時(shí)，柔性鉸鏈切槽部分和未切槽部分的倒數(shù)彎曲剛度隨切槽部分厚度t的變化曲線,如圖5所示。

圖5 倒數(shù)彎曲剛度隨切槽部分厚度t變化曲線

通過(guò)上圖我們可以得出：

在h一定的情況下，柔性鉸鏈的倒數(shù)彎曲剛度，幾乎不受半徑R的影響，由切槽部分的厚度t決定。

在t大于4mm的時(shí)候，切槽部分的倒數(shù)彎曲剛度和未切槽部分都非常小，也就是鉸鏈在M的作用下幾乎沒(méi)有彎曲。而在t小于5mm的時(shí)候，切槽部分的倒數(shù)彎曲剛度相對(duì)較大。

未切槽部分的倒數(shù)彎曲剛度幾乎為0，切槽部分倒數(shù)彎曲剛度隨著t的變小呈指數(shù)型增長(zhǎng)。

基于上述結(jié)論，我們?nèi)=5mm，并將切槽部分軸向變形和未切槽部分倒數(shù)彎曲剛度相加得出C，由，計(jì)算出彎曲剛度的值，作出其隨t變化曲線。并利用Patran/Nastran有限元對(duì)其進(jìn)行仿真（t=2時(shí)有限元模型如圖7所示），給柔性鉸鏈一端施加彎矩M，提取出斷面的彎曲變形，再根據(jù)公式（4）求出其彎曲剛度，將仿真值與理論值相比較，結(jié)果如圖6所示。

圖6 彎曲剛度隨切槽厚度t變化曲線

通過(guò)仿真結(jié)果與理論計(jì)算的結(jié)果的比較，可以再一次驗(yàn)證對(duì)于柔性鉸鏈彎曲剛度因結(jié)構(gòu)參數(shù)變化影響理論分析的正確性。觀察彎曲剛度隨切槽厚度t變化曲線可以得知：彎曲剛度的大小隨著t的變大而幾乎成指數(shù)型增長(zhǎng)。

2.3 扭轉(zhuǎn)剛度

當(dāng)在鉸鏈一端施加扭矩T時(shí)，鉸鏈的扭轉(zhuǎn)角為φ，根據(jù)材料力學(xué)公式：

根據(jù)剪切模量G和彈性模量E的關(guān)系：G=E/2（1+ν），聯(lián)立公式（9）和公式（6），可得e=C（1+ν），最終得出扭轉(zhuǎn)剛度與彎曲剛度的關(guān)系式：

上式中，IP為截面極慣性矩，G為剪切模量，Kφ為扭轉(zhuǎn)剛度，Kθ為彎曲剛度，ν為泊松比。由上公式我們可以看出扭轉(zhuǎn)剛度和彎曲剛度之間是一個(gè)線性關(guān)系。材料鈹銅合金ν=0.13，Kθ=Kθ/1.13。所以它隨結(jié)構(gòu)參數(shù)影響的變化趨勢(shì)與彎曲剛度一致。

同樣取R=5，計(jì)算Kφ理論值，分析其隨t變化曲線，并同時(shí)利用Patran/Nastran有限元對(duì)其進(jìn)行仿真，并且將理論結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行比較，如圖7所示。

圖7 扭轉(zhuǎn)剛度隨切槽厚度t變化曲線

理論值與仿真值的比較基本吻合，進(jìn)一步說(shuō)明理論推導(dǎo)公式結(jié)果的正確性。扭轉(zhuǎn)剛度隨切槽厚度t的變化趨勢(shì)與彎曲剛度完全一致。

在得出柔性鉸鏈的各向剛度隨切槽厚度t的變化規(guī)律之后，再結(jié)合我們對(duì)柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)要求（較高的軸向剛度和較低的彎曲剛度與扭轉(zhuǎn)剛度），可以得到下列思路：切槽部分厚度t越大，軸向剛度越大，旋轉(zhuǎn)剛度也越大，這于結(jié)構(gòu)參數(shù)的選擇是一個(gè)矛盾。因此，要在軸向剛度和旋轉(zhuǎn)剛度的設(shè)計(jì)中選取一個(gè)平衡：即選取合適的參數(shù)，使得旋轉(zhuǎn)剛度滿足要求的前提下，軸向剛度也盡量的大。

3 參數(shù)確定

在得出柔性鉸鏈的各向剛度隨切槽厚度t的變化規(guī)律之后，根據(jù)材料的許用應(yīng)力和鉸鏈的剛度指標(biāo)要求確定結(jié)構(gòu)的參數(shù)。

Stewart平臺(tái)單腿電機(jī)驅(qū)動(dòng)力最大取P=60N，單腿的最大彎曲角度和扭轉(zhuǎn)角度為θ=±1°，φ=±1°，鉸鏈材料取彈性強(qiáng)，強(qiáng)度高的鈹銅合金，E=128GPa，v=0.35，σs=1035Mpa，安全系數(shù)n取2，[σ]=517.5Mpa，[τ]=362.25Mpa。

3.1 鉸鏈的正應(yīng)力

柔性鉸鏈的正應(yīng)力由其軸向的電機(jī)驅(qū)動(dòng)力P和彎矩M產(chǎn)生?？紤]運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力指標(biāo)都取極限值的情況：P和M都取最大值，對(duì)其進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度校驗(yàn)，根據(jù)材料力學(xué)的公式：

分別將t取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的軸向剛度和彎曲剛度代入計(jì)算，由公式（4）計(jì)算出柔性鉸鏈的最大彎矩，代入公式（11），得到在運(yùn)動(dòng)指標(biāo)達(dá)到極限的時(shí)候，鉸鏈最大正應(yīng)力和切槽厚度t的變化曲線，如圖8所示。

圖8 最大正應(yīng)力隨切槽厚度變化曲線

3.2 鉸鏈的剪切應(yīng)力

鉸鏈的剪切應(yīng)力由轉(zhuǎn)矩和扭矩產(chǎn)生，在運(yùn)動(dòng)指標(biāo)取極限值的情況下，將t取不同值時(shí)，鉸鏈的彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度分代入下列公式計(jì)算，得到最大剪切應(yīng)力和切槽厚度t的變化曲線，如圖9所示。

上式中τ 1、τ 2分別為彎矩和扭矩產(chǎn)生的剪切應(yīng)力。

圖9 最大剪切應(yīng)力隨切槽厚度變化曲線

由正應(yīng)力和剪切應(yīng)力的校驗(yàn)可以得知，要滿足柔性鉸鏈的強(qiáng)度要求，切槽厚度t，只能取1mm，1.5mm，2mm，8mm，10mm。結(jié)合第二節(jié)提出的指標(biāo)：軸向剛度高于3.4×104N/mm彎曲剛度低于2.45×105N·mm/rad，扭轉(zhuǎn)剛度低于4.3×104N·mm/rad，t=2mm，為最終柔性鉸鏈參數(shù)選擇。其軸向剛度為8.50×104N/mm，彎曲剛度為3.72×104Nm/rad，扭轉(zhuǎn)剛度為2.75×104N·m/rad，均滿足指標(biāo)要求。

因此，對(duì)于柔性鉸鏈的參數(shù)最終確定：h=30mm，R=5mm，t=2mm。

4 有限元校核

建立有限元模型后，給其同時(shí)施加極限動(dòng)力指標(biāo)和運(yùn)動(dòng)指標(biāo)情況下的軸向軸向載荷PMAX，MMAX，TMAX，然后查看應(yīng)力云圖如圖10所示。可以得知，最大應(yīng)力發(fā)生在鉸鏈切槽部分，其值約為300MPa，小于材料的許用應(yīng)力，即強(qiáng)度校核滿足要求，設(shè)計(jì)合理。

圖10 強(qiáng)度校核結(jié)果

5 結(jié)論

本文基于Stewart平臺(tái)作空間微振動(dòng)模擬器的設(shè)計(jì)要求，選用萬(wàn)向柔性鉸鏈作為機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)。研究了萬(wàn)向柔性鉸鏈各向剛度特性與其結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合整個(gè)Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)、動(dòng)力學(xué)指標(biāo)和強(qiáng)度特性對(duì)柔性鉸鏈進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)，然后用有限元進(jìn)行校核，完成了用作空間微振動(dòng)模擬器的Stewart平臺(tái)的柔性鉸鏈設(shè)計(jì)，且滿足指標(biāo)要求。

萬(wàn)向柔性鉸鏈的剛度特性主要由切槽部分的厚度t決定，其軸向剛度和旋轉(zhuǎn)剛度都隨著切槽厚度t的增大而變大。對(duì)于Stewart平臺(tái)的關(guān)節(jié)處，要求鉸鏈的軸向剛度較高而旋轉(zhuǎn)剛度較低。因此對(duì)其關(guān)鍵參數(shù)t的確定，需要結(jié)合具體運(yùn)動(dòng)指標(biāo)、動(dòng)力指標(biāo)和材料強(qiáng)度特性進(jìn)行分析。一般在滿足材料強(qiáng)度特性的情況下，選取的切槽厚度t要使得旋轉(zhuǎn)剛度盡量小而軸向剛度盡量大。

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