崔東文

(云南省文山州水務(wù)局，云南文山 663000)

城市需水預(yù)測是城市供水總體規(guī)劃和工程規(guī)劃的基礎(chǔ)。城市需水預(yù)測的方法眾多，如定額法、時間序列法、彈性系數(shù)預(yù)測法、回歸分析法以及灰色預(yù)測法等，這些方法廣泛應(yīng)用于城水需水預(yù)測中，但均存在預(yù)測精度不高等問題［1］。為提高需水預(yù)測的精度，混沌理論、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論、系統(tǒng)動力學(xué)方法等一些非傳統(tǒng)需水預(yù)測理論及方法被引入到需水預(yù)測中，并在提高需水預(yù)測精度上取得了較好 的 效 果［2-6］。 人 工 神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) (artifical neural network，ANN)具有較強的非線性映射能力以及魯棒性、容錯性、自適應(yīng)性、自組織性、自學(xué)習(xí)性等特性，適宜解決高維、非線性系統(tǒng)問題，是智能算法中運用最為廣泛的算法之一。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(backpropagation neural network)是ANN中常用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，廣泛運用于需水預(yù)測。然而，將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于需水預(yù)測存在兩個方面的不足:①輸入向量(影響因子)間可能存在著高度相關(guān)性，易產(chǎn)生共線性問題從而影響模型的預(yù)測精度和泛化能力;②BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在學(xué)習(xí)收斂速度慢、易陷入局部極值以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難以確定等缺點，極大地制約了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在需水預(yù)測中的精度和泛化能力。近年來，隨著對混沌理論及其應(yīng)用技術(shù)研究的不斷深入，基于混沌時間序列建模和預(yù)測已成為混沌信息處理研究領(lǐng)域中的熱點，并成功應(yīng)用于城市需水預(yù)測中［7］，其相空間重構(gòu)是影響需水預(yù)測成敗的關(guān)鍵，而延遲時間τ和嵌入維數(shù)m的選取對相空間重構(gòu)具有十分重要的意義。關(guān)于延遲時間τ與嵌入維數(shù)m的選取，目前主要有兩種觀點:一種觀點認(rèn)為兩者互不相關(guān)，即τ和m的選取是獨立進行的，如求延遲時間的自相關(guān)函數(shù)法［8］、互信息法［9］，求嵌入維數(shù)的 G-P 算法［10］、假最近鄰法［11］等;另一種觀點認(rèn)為兩者是相關(guān)的，即τ和m的選取是互相依賴的，如嵌入窗法［12］、C-C 方法［13］等，可同時計算出延遲時間和時間窗口。然而，在實際應(yīng)用中對于同一時間序列，上述各種方法的確定結(jié)果往往不盡相同，這對延遲時間τ和嵌入維數(shù)m的選取帶來困難。遺傳算法(genetic algorithm，GA)具有很強的宏觀搜索能力和良好的全局優(yōu)化性能，將GA與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，利用GA訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，有效克服了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入局部極值等缺點。

針對上述問題及原因，本文基于相空間重構(gòu)原理，利用試湊的方法確定需水預(yù)測時間序列中的延遲時間τ和嵌入維數(shù)m，將一維需水時間序列拓展為多維，以解決多變量需水預(yù)測模型中變量之間普遍存在的多重共線性問題;對于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固有缺陷，采用GA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，以克服BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入局部極值等缺點，提出基于相空間重構(gòu)原理的GA-BP需水預(yù)測模型，以上海市需水預(yù)測為例進行實例分析，研究提高需水預(yù)測精度的有效方法。

1 基于相空間重構(gòu)原理的GA-BP需水預(yù)測模型

1．1 相空間重構(gòu)原理

圖1 GA-BP算法流程

相空間重構(gòu)的目的是在高維相空間中恢復(fù)混沌吸引子。由于吸引子的內(nèi)在行為具有不規(guī)則性及混沌吸引子具有復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)，一般來說，不同的混沌實測數(shù)據(jù)應(yīng)建立不同的混沌模型?；煦缒M是在相空間中進行的，其原理就是在相空間中找到一個非線性模型去逼近系統(tǒng)動態(tài)特性，實現(xiàn)一定時期內(nèi)的預(yù)測［14］。

設(shè)給定的時間序列為xt(t=1，2…，N)，將一維時間序列延拓為m維相空間時間序列:

式中:N為總相點數(shù);m為嵌入維數(shù);τ為延遲時間;M為相空間中的相點數(shù)，且 M=N－mτ。根據(jù)Takens定理，選擇合適的嵌入維數(shù)和時間延遲就可以在拓?fù)涞葍r的意義下恢復(fù)原來系統(tǒng)的動力學(xué)形態(tài)，因此存在一個光滑映射F:Rm→Rm，給出相空間軌跡的表達(dá)式為

式中:η為預(yù)測步長。

1．2 GA-BP 算法流程

GA與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)均具有極強的解決問題的能力［15-18］，二者相結(jié)合形成GA-BP算法，該算法將GA的全局尋優(yōu)能力與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)性搜索思想相結(jié)合，既克服了尋優(yōu)中的盲目性，又避免了局部收斂情況的發(fā)生，使網(wǎng)絡(luò)性能得到極大的改善［19-20］。GA-BP算法流程如圖1所示。

GA-BP算法的實現(xiàn)步驟如下:

a．初始化種群P，包括交叉規(guī)模、交叉概率Pc、突變概率Pm以及對網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值初始化，并采用實數(shù)編碼方式對初始值進行編碼，設(shè)定種群規(guī)模n。

b．計算各個體評價函數(shù)，將其排序，按下式概率值選擇網(wǎng)絡(luò)個體:

式中:pi為選擇概率;fi為個體i的適應(yīng)度值;n為染色體數(shù);Ei為誤差平方和;r為學(xué)習(xí)樣本數(shù);q為輸出節(jié)點數(shù);γi為網(wǎng)絡(luò)實際輸出;di為期望輸出。

c．以交叉概率Pc對個體Gi和Gi+1進行交叉操作，產(chǎn)生新個體G'i和G'i+1，沒有進行交叉操作的個體直接進行復(fù)制。

d．利用變異概率Pm突變產(chǎn)生Gj的新個體G'j。

e．將新個體插入到種群P中，并計算新個體的評價函數(shù)。

f．判斷計算是否結(jié)束。如果找到滿意個體，則結(jié)束;否則轉(zhuǎn)到步驟c進入下一輪運算。

g．計算結(jié)束，達(dá)到預(yù)先設(shè)定的性能指標(biāo)后，將最終種群中的最優(yōu)個體解碼，即可得到優(yōu)化后的網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值系數(shù)。

h．將優(yōu)化得到的網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值系數(shù)賦值給BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練及預(yù)測輸出。

1．3 GA-BP需水預(yù)測模型

基于相空間重構(gòu)原理，利用試湊的方法確定需水預(yù)測時間序列的延遲時間τ與嵌入維數(shù)m，構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型。在確定BP最佳網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及獲得較好預(yù)測精度的前提下，為不失一般性，在相同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、傳遞函數(shù)、訓(xùn)練函數(shù)及期望誤差等條件下，運用GA來優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，構(gòu)建GA-BP需水預(yù)測模型，具體預(yù)測步驟如下:

a．利用試湊的方法確定需水預(yù)測時間序列的延遲時間τ與嵌入維數(shù)m，確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量、輸出向量、訓(xùn)練樣本和檢驗樣本，構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型。

b．依據(jù)經(jīng)驗給定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型的期望誤差和訓(xùn)練次數(shù)，根據(jù)Kolmogorv定理得出一個初始隱含層節(jié)點數(shù)，利用逐步增長或逐步修剪法確定最終隱含層節(jié)點數(shù);然后采用調(diào)整期望誤差或訓(xùn)練次數(shù)，以及替換傳遞函數(shù)和訓(xùn)練函數(shù)等方法獲得最佳預(yù)測效果時的各相關(guān)參數(shù)。

c．在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水模型預(yù)測精度達(dá)到較理想狀態(tài)下，為不失一般性，利用GA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值，構(gòu)建GA-BP需水預(yù)測模型。

d．利用訓(xùn)練樣本對GA-BP需水預(yù)測模型進行訓(xùn)練，確定GA-BP預(yù)測模型等相關(guān)參數(shù)。

e．采用平均相對誤差和最大相對誤差兩個性能評價指標(biāo)對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型和GA-BP需水預(yù)測模型的預(yù)測效果進行評價分析。

2 實例驗證

2．1 數(shù)據(jù)來源與相空間重構(gòu)

以上海市需水預(yù)測為例，收集了上海市1980—2011年的年用水量，并以1980—2009年的數(shù)據(jù)構(gòu)建需水預(yù)測模型的輸入、輸出向量，其中以上海市1980—2004年的年用水量作為訓(xùn)練樣本，2005—2009年的年用水量作為檢驗樣本，在模型達(dá)到期望精度后用于上海市2010—2015年的需水預(yù)測。

由于用水時間序列較短，設(shè)定延遲時間τ和嵌入維數(shù)m的取值范圍為1～4，并利用試湊的方法最終確定τ=1、m=4時的模型具有較好的預(yù)測效果，模型的輸入、輸出向量見表1。

2．2 需水預(yù)測的實現(xiàn)

2．2．1 時間序列預(yù)測方法

在單變量時間序列預(yù)測中，設(shè)有時間序列{xi}，其中歷史數(shù)據(jù)為{xj，xj+1，…，xj+l}，對未來 j+l+η(η ＞0)時刻的取值進行預(yù)測，即預(yù)測xj+l+η的值。方法是求出歷史數(shù)據(jù){xj，xj+1，…，xj+l}與 xj+l+η的某種非線性函數(shù)關(guān)系:xj+l+η=F(xj，xj+1，…，xj+l)。

表1 上海市1980—2010年需水預(yù)測模型輸入、輸出向量 億m3

單變量時間序列預(yù)測常用的方法有3種:單步預(yù)測(η=1)、多步預(yù)測(η＞1)和滾動預(yù)測(進行單步預(yù)測，然后將輸出反饋給輸入端作為網(wǎng)絡(luò)輸入的一部分，預(yù)測未來某個時刻的值)。本文采用單變量滾動預(yù)測的方法對上海市2010—2015年的需水量進行預(yù)測。

2．2．2 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理

對原始數(shù)據(jù)進行歸一化處理有利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。本文采用最大最小法進行數(shù)據(jù)處理，公式如下:

2．2．3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型:采用MATLAB軟件編寫B(tài)P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法程序?qū)崿F(xiàn)需水預(yù)測，程序采取循環(huán)訓(xùn)練算法確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，最終確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型的結(jié)構(gòu)為4-3-1，隱含層和輸出層傳遞函數(shù)分別采用logsig和purelin，訓(xùn)練函數(shù)采用traingdx，學(xué)習(xí)速率為0.01，設(shè)定期望誤差為0.0001，最大訓(xùn)練輪回為10000次時網(wǎng)絡(luò)達(dá)到了較好的預(yù)測精度。

GA-BP模型:基于公平原則，在上述BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較佳結(jié)構(gòu)及相同參數(shù)條件下，運用GA來優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值。GA參數(shù)設(shè)置為:種群規(guī)模為100，進化次數(shù)為100次，交叉概率和變異概率等參數(shù)采用謝菲爾德GA工具箱的默認(rèn)值。

2．2．4 模型評價指標(biāo)

選取平均相對誤差eMRE、最大相對誤差emaxRE作為模型的評價指標(biāo)，其計算公式如下:

2．3 需水預(yù)測結(jié)果及分析

利用上述訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型、GA-BP需水預(yù)測模型對上海市2005—2009年的樣本進行檢驗，并對2010—2015年的年需水量進行預(yù)測，結(jié)果見表2和表3。

表2 上海市2005—2009年的年用水量檢驗結(jié)果及比較

表3 上海市2010—2015年的年需水量預(yù)測結(jié)果及比較

分析表2、表3可以得出:

a．基于相空間重構(gòu)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型和GA-BP需水預(yù)測模型的需水預(yù)測效果均令人滿意，GA-BP需水預(yù)測模型樣本檢驗的平均相對誤差和最大相對誤差分別為1.4344%和2.7672%，均優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測結(jié)果，表明基于相空間重構(gòu)的GA-BP需水預(yù)測模型用于需水預(yù)測具有較好的預(yù)測精度和泛化能力，是提高需水預(yù)測精度的有效途徑和方法。

b．由于本文BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練采用traingdx算法，該算法具有附加動量和自適應(yīng)調(diào)整算法的優(yōu)點，在一定程度上能有效避免收斂速度慢、陷入局部極值的缺陷。因此，基于相空間重構(gòu)原理的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型在上海市需水預(yù)測中同樣具有很好的預(yù)測精度。在相同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、傳遞函數(shù)、訓(xùn)練函數(shù)等條件下，采用GA算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值，使GA-BP模型的需水預(yù)測達(dá)到了更高的精度。

c．從表3可以看出，相同年份的GA-BP預(yù)測模型對上海市的需水預(yù)測結(jié)果要小于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型。GA-BP需水預(yù)測模型對2010—2015年的需水預(yù)測結(jié)果表明，其年需水量增幅在1.24%～0.88%之間，呈逐年下降趨勢，這與我國實行最嚴(yán)格水資源管理制度以及城市需水增長緩慢的實際基本相符，表明基于相空間重構(gòu)的GA-BP需水預(yù)測模型用于城市需水預(yù)測的精度更高、更合理。從2010—2011年需水預(yù)測結(jié)果與實際值相比來看，GA-BP需水預(yù)測模型需水量預(yù)測結(jié)果的相對誤差僅分別為0.5136%和0.0270%，均優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需水預(yù)測模型。

3 結(jié)語

針對多元變量需水預(yù)測模型中變量之間普遍存在多重共線性問題以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢、易陷入局部極值等缺點，提出了一種基于相空間重構(gòu)原理的GA-BP單因子需水預(yù)測模型，并對上海市需水預(yù)測為例進行實例驗證。結(jié)果表明，GA-BP需水預(yù)測模型克服了傳統(tǒng)多變量需水預(yù)測模型輸入變量之間產(chǎn)生的多重共線性問題以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷入局部極值等缺點，提高了需水預(yù)測的精度。GA-BP模型具有預(yù)測精度高、泛化能力強等優(yōu)點，有著良好的推廣應(yīng)用價值。按照本文提出的相空間重構(gòu)GA-BP單因子需水預(yù)測模型預(yù)測出上海市2012—2015年的年需水量分別為 31.51億 m3、31.86億m3、32.17億m3和32.45億m3。

［1］劉衛(wèi)林．幾種需水量預(yù)測模型的比較研究［J］．人民長江，2008，39(6):19-22．(LIU Weilin．Comparative research on several models for water demand forecast［J］．Yangtze River，2008，39(6):19-22．(in Chinese))

［2］王建華．城市需水量的混沌預(yù)測［J］．中國農(nóng)村水利水電，2008(8):32-34．(WANG Jianhua．Chaos-prediction in urban water consumption［J］．China Rural Water and Hydropower，2008(8):32-34．(in Chinese))

［3］蔣紹階，江崇國．灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)權(quán)組合模型預(yù)測城市需水量［J］．重慶建筑大學(xué)學(xué)報，2008，30(2):113-115．(JIANG Shaojie，JIANG Chongguo．Urban water demand forecasting by combining improved BP neural network and grey model with optimum weight［J］．Journal of Chongqing Jianzhu University，2008，30(2):113-115．(in Chinese))

［4］CUBERO R G．Neural networks for water demand time series forecasting［C］//The proceedings of international workshop on artificial neural networks(IWANN)，1991．Granada:［s．n．］，1991:453-460．

［5］張雪花，張宏偉，張寶安．SD法在城市需水量預(yù)測和水資源規(guī)劃中的應(yīng)用研究［J］．中國給水排水，2008，24(9):42-46．(ZHANG Xuehua，ZHANG Hongwei，ZHANG Baoan．Application of system dynamics approach to urban water demand forecasting and water resources planning［J］．China Water ＆ Wastewater，2008，24(9):42-46．(in Chinese))

［6］張志果，邵益生，徐宗學(xué)．基于恩格爾系數(shù)與霍夫曼系數(shù)的城市需水量預(yù)測［J］．水利學(xué)報，2011，41(11):1304-1306．(ZHANG Zhiguo，SHAO Yisheng，XU Zongxue．Prediction of urban water demand based on Engel Index and Hoffmann Coefficient［J］．Journal of Hydraulic Engineering，2011，41(11):1304-1306．(in Chinese))

［7］劉勇健，沈軍．城市需水量預(yù)測的混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［J］．水 電 能 源 科 學(xué)，2005，23(1):15-17．(LIU Yongjian，SHEN Jin．Prediction model of urban water consumption based on chaos neural network ［J］．Hydroelectric Energy，2005，23(1):15-17．(in Chinese))

［8］KANTZ H，SCHREIBER T．Nonlinear time series analysis［M］．Cambridge:Cambridge University Press，1997．

［9］FRASER A M，SWINNEY H L．Independent coordinates for strange attractors from mutual in formation［J］．Physical Review A，1986，33(2):1134-1140．

［10］GRASSBERGER P，PROCACCIA I．Measuringthe strangeness of strange attractors［J］．Physica D，1983，9:189-208．

［11］KENNEL M B，BROWN R，ABARBANEL H D I．Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction ［J］．Physical Review A， 1992， 45( 6) : 3403-3407．

［12］KUGIURMTZIS D．State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic times series-the role of the time window length［J］．Physica D，1996，95:13-28．

［13］KIM H S，EYKHOLT R，SALAS J D．Nonlinear dynamics，delay times and embedding windows［J］．Physica D，1999，127:48-60．

［14］邵東國，劉丙軍，陽書敏，等．水資源繁雜系統(tǒng)理論［M］．北京:科學(xué)出版社，2012．

［15］崔東文．基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的文山州水資源承載能力評價分析［J］．長江科學(xué)院報，2012，29(5):9-15．(CUI Dongwen．Evaluation and analysis of water resources carrying capacity in wenshan prefecture based on BP neural network［J］．Yangtze River Scientific Research Institute，2012，29(5):9-15．(in Chinese))

［16］崔東文．幾種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在湖庫富營養(yǎng)化程度評價中的應(yīng)用［J］．水資源保護，2012，28(6):12-18．(CUI Dongwen．Applications of several neural network models to eutrophication evaluation of lakes and reservoirs［J］．Water Resources Protection，2012，28(6):12-18．(in Chinese))

［17］王小川，史峰，郁磊，等．MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)30個案例分析［M］．北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2010．

［18］苑希民，李鴻雁，劉樹坤，等．神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法在水科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用［M］．北京:中國水利水電出版社，2002．

［19］翟宜峰，李鴻雁，劉寒冰，等．遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)重方法的研究［J］．吉林大學(xué)學(xué)報:工學(xué)版，2003，33(2):45-50．(ZHAI Yifeng，LI Hongyan，LIU Hanbing，et al．Method for optimizing initial weights of ANNs by GAs［J］．Journal of Jilin University of Technology:Natural Science Edition，2003，33(2):45-50．(in Chinese))

［20］汪金良，盧宏，曾青云．GA-BP算法及其在冰銅品位神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中的應(yīng)用［J］．江西有色金屬，2003，17(3):39-41．(WANG Jinliang，LU Hong，ZENG Qingyun．Application of GA-BP to the Matte Grade Model Based on Neural Network［J］．Jiangxi Nonferrous Metals，2003，17(3):39-41．(in Chinese))