王玉紅

摘 要 函數(shù)的極值是微分學(xué)中一個(gè)重要的組成部分，在一元函數(shù)極值的有關(guān)理論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討多元函數(shù)的極值問(wèn)題，并通過(guò)典型例題闡明函數(shù)極值的計(jì)算方法及其在實(shí)踐中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 一元函數(shù) 多元函數(shù) 極值 極值應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O172 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The Extreme Value and the Application for Functions

WANG Yuhong

（Inner Mongolia Vocational College of Chemical Engineering， Hohhot， Inner Mongolia 010070）

Abstract The extreme value of functions is one of the most important parts in differential calculus. In this paper， based on the correlative theory of the extreme value for functions of single variable， the extreme value for functions of several variables is further investigated. At the same time， by the typical examples， the numerical method and the applications of the extreme are studied.

Key words functions of single variable; functions of several variables; extreme value; extreme value applications

0 引言

函數(shù)的極值是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)理論的一個(gè)重要的組成部分，它在數(shù)學(xué)教學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)等方面，常常會(huì)遇到這樣一類的問(wèn)題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，本文介紹了一元函數(shù)、多元函數(shù)的極大值和極小值問(wèn)題，通過(guò)典型例題闡明函數(shù)極大值和極小值的求法及其在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用。

1 一元函數(shù)的極值

定義①：設(shè)函數(shù)（）在區(qū)間（）內(nèi)有定義，（），若在的某去心鄰域內(nèi)有：（）≤（）（或（）≥（）），則稱（）是函數(shù)（）的一個(gè)極大值（或極小值），稱為（）的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）。 極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。一元函數(shù)極值的求法比較簡(jiǎn)單，如：

例1 求函數(shù)（） = 的極值。

解：函數(shù)（） = 的定義域?yàn)椋ǎ?），

（） = 1 = 1，令（） = 0，得駐點(diǎn) = 1（，+），而當(dāng) = 0時(shí)，（）不存在，故 = 0是函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)，且 = 0（，+）

經(jīng)過(guò)討論，（）在（，0）∪（1，+）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減。所以，所求函數(shù)的極大值為（0）= 0，極小值為（1）= 。

2 多元函數(shù)的極值

定義②：設(shè)二元函數(shù) = ?（）在點(diǎn)（）的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)任何一個(gè)異于（）的點(diǎn)（）都有： （）≤ （）（或 （）≥ （）），則稱二元函數(shù) = ?（）在點(diǎn)（）處有極大值（或極小值）。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

（1）無(wú)條件極值：二元函數(shù)在自變量?jī)H受定義域限制下，求解極值的方法為：

首先，通過(guò)解方程得到駐點(diǎn);其次，對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)求出它們的二階偏導(dǎo)數(shù)： = （）， = （）， = （）;最后，依據(jù)當(dāng)>0，>0時(shí)，函數(shù)在此點(diǎn)取極小值;當(dāng)>0，<0時(shí)，函數(shù)在此點(diǎn)取極大值;當(dāng)<0時(shí)，函數(shù)在此點(diǎn)沒(méi)有極值;當(dāng) = 0時(shí)，不能確定，需進(jìn)一步判斷。

例2 求函數(shù) （） = ?+ 的極值。

解：（）= ?，（）= ，

則解方程組，得駐點(diǎn)（0，0）、（1，1），所以在這兩點(diǎn)處可能有極值點(diǎn)，進(jìn)一步計(jì)算可得（） = 6，（） = ，（） = ，在駐點(diǎn)（0，0）處， = 0， = ， = 0，則 = ?= <0，因此在點(diǎn)（0，0）處沒(méi)有極值。

在駐點(diǎn)（1，1）處， = 6， = ， = 6，則 = ?= 27>0，因此在點(diǎn)（1，1）處取得極小值 （1，1） = 。

（2）條件極值：對(duì)于二元函數(shù) = ?（）在約束條件下的條件極值：

方法一：若在條件 （）= 0下求函數(shù) = ?（）的極值，且 （）= 0確定了顯函數(shù) = （）或 = （），則可用消元法轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值問(wèn)題來(lái)解決，此法很簡(jiǎn)單。

方法二（拉格朗日乘數(shù)法）：若在條件 （）= 0下求函數(shù) = ?（）的極值，且函數(shù) = ?（）在區(qū)域上存在一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且 （） = 0確定了隱函數(shù)，此時(shí)可以用拉格朗日乘數(shù)法，首先，求出拉格朗日函數(shù)（）在區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn)。然后利用二階全微分方法對(duì)每個(gè)駐點(diǎn)進(jìn)行判斷，我們主要會(huì)這一方法。

例3 求二元函數(shù) （）= ?+ 在條件 + ?= 2下的極值。

解：作拉格朗日函數(shù)： （）= ?+ ?+ （ + ? 2），

求得 （）關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，

= ?+ ?= 0， = ?+ ?= 0，在條件 + ?= 2下解得：

= 1， ?= 1， = 1，于是，點(diǎn)（1，1）可能是極值點(diǎn)，而

（） = （ + ） + （ + ），

（） = ?+

故，（1，1） = 2（ + ）>0，所以在點(diǎn)（1，1）取得極小值，極小值為（1，1）= 2。

推廣到個(gè)變?cè)暮瘮?shù) （，，…，），設(shè)其具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且這些變?cè)g還滿足至多個(gè)聯(lián)系方程（，，…，）= 0（ = 1，2，…，），這里（ = 1，2，…，）具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且它們關(guān)于某個(gè)變?cè)膩喛杀炔坏仁降扔诹?，?duì)此用同樣的方法來(lái)討論函數(shù) （，，…，）在限制條件 = 0下的極值問(wèn)題。

例4 求三元函數(shù)（） = 在限制條件 + ?+ ?= 1及 + ?+ ?= 0下的極值。

解：作拉格朗日函數(shù)

= ?+ （ + ?+ ） + （ + ?+ ）

求關(guān)于、、的偏導(dǎo)數(shù)并令為零，在限制條件 + ?+ ?= 1及 + ?+ ?= 0下，

解得： = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?= ; = ， ?= ， ?=

而由限制條件所確定的點(diǎn)集： ={（）∣ + ?+ ?= 1， ?+ ?+ ?= 0}是一個(gè)有界閉集，所以此函數(shù)在這個(gè)有界閉集上定有最大值和最小值，經(jīng)求值比較得最大值即為極大值，最小值即為極小值。

3 函數(shù)極值的應(yīng)用

例5 設(shè)總成本函數(shù)和總收益函數(shù)分別為（） = ?+ 33 + 10，（） = 18，求利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn)。

解：由于（）= ?+ 33，（） = 18

當(dāng)（）= （）且（）> （）時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，有 + 33 = 18，解得： = 1， = 5，

所以，僅當(dāng) = ?= 5時(shí)，有（）> （），因此，利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量為， = 5。

由收益函數(shù)可得價(jià)格函數(shù)： = （） = ?= 18，利潤(rùn)最大時(shí)的價(jià)格： = 18，利潤(rùn)函數(shù)為： = （） = （）（） = ?+ ，最大利潤(rùn)為： = 15。

注釋

① 鄒豪思，馮尚.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)，第1版）[M].內(nèi)蒙古大學(xué)出版社，2006.

② 陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽(yáng)光中.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)，第2版）[M].北京：高等教育出版社，2000.