李輝

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇南京 210046)

將數(shù)學(xué)建模的思想融入到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的幾個(gè)典型案例

李輝

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇南京 210046)

在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣將數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)系起來(lái),培養(yǎng)財(cái)經(jīng)類(lèi)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是每一位從事經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)的教師都應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題。本文我們介紹了將數(shù)學(xué)建模的思想融入到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)典型案例,通過(guò)這些案例教學(xué)可以將數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái),讓數(shù)學(xué)變得既生動(dòng)又符合實(shí)際,取得了很好的教學(xué)效果。

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模 典型案例 教學(xué)理念

隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系越來(lái)越密切，數(shù)學(xué)語(yǔ)言已成為表達(dá)經(jīng)濟(jì)學(xué)思想的標(biāo)準(zhǔn)的分析工具，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)模型本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)模型，同時(shí)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的某些問(wèn)題也是數(shù)學(xué)的新的生長(zhǎng)點(diǎn)?；诖藥缀跛械呢?cái)經(jīng)類(lèi)高校都將數(shù)學(xué)列為重要的基礎(chǔ)課進(jìn)行開(kāi)設(shè)，這門(mén)課程稱(chēng)作為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，如果要給經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)下個(gè)定義的話，可以這樣來(lái)描述：“經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，即在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用的數(shù)學(xué)，它是經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)相互交叉的新的跨學(xué)科領(lǐng)域?！痹谪?cái)經(jīng)類(lèi)高校怎樣將經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，是每位從事經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)的教師都應(yīng)該思考的問(wèn)題。根據(jù)我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)多年的教學(xué)實(shí)踐和探索，我們?cè)诮虒W(xué)中始貫穿這樣的教學(xué)思想來(lái)講授經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程，即從經(jīng)濟(jì)問(wèn)題入手，講清楚經(jīng)濟(jì)問(wèn)題與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，通過(guò)數(shù)學(xué)建模將經(jīng)濟(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再用數(shù)學(xué)方法加以解決，讓數(shù)學(xué)揭開(kāi)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的奧秘?？磥?lái)將經(jīng)濟(jì)問(wèn)題與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)建模。下面我們介紹將數(shù)學(xué)建模的思想融入到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)典型案例。

1 案例一:降價(jià)能增收嗎

在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，商品價(jià)格大戰(zhàn)隨處可見(jiàn)。例如，手機(jī)價(jià)格大戰(zhàn)，電視價(jià)格大戰(zhàn)，空調(diào)價(jià)格大戰(zhàn)，……。那么，降價(jià)能增收嗎？下面通過(guò)數(shù)學(xué)建模及微積分的方法來(lái)揭開(kāi)其中的神秘面紗。假設(shè)商品的需求量Q只與商品的價(jià)格p有關(guān)，即需求量Q是商品的價(jià)格p的函數(shù)Q=f(p)。設(shè)價(jià)格p的改變量為△p，價(jià)格改變的百分比為△p/p，需求量Q的改變量為△Q，需求量改變的百分比為△Q/Q?，F(xiàn)在我們要問(wèn)：當(dāng)價(jià)格改變1%時(shí)，需求量改變百分之多少？我們可以用量(△Q/Q)/(△p/p)來(lái)描述。

設(shè)收益為R，則R=pQ，于是

我們得到收益與價(jià)格之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上面的討論，我們通過(guò)數(shù)學(xué)建模及微分學(xué)的知識(shí)完全解讀上面提出的問(wèn)題。

2 案例二:怎樣度量收入分配的不平等程度

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，許多國(guó)有企業(yè)都進(jìn)行了股份制改造，一大批股份制企業(yè)的老總都成了名副其實(shí)的富翁。但我們也應(yīng)該看到，近年來(lái)，我國(guó)的貧富差距確有不斷擴(kuò)大的趨勢(shì)，如何反映這種貧富差距的狀況呢？下面通過(guò)數(shù)學(xué)建模和積分學(xué)的知識(shí)來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題(如圖1)。

在上載的時(shí)候，視頻資料的音頻質(zhì)量要求是以監(jiān)聽(tīng)聲音為主，輔以上載模塊提供的軟件示波器，以UV表進(jìn)行監(jiān)控。特別需要注意：(1)資料內(nèi)容出現(xiàn)差錯(cuò)，或者應(yīng)該是整體但內(nèi)容有缺失不完整；(2)技術(shù)人員通過(guò)主觀判斷圖像或聲音質(zhì)量較差的；(3)出現(xiàn)夾幀或彩條、黑場(chǎng)、靜止等不規(guī)范畫(huà)面，持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，超過(guò)5 s的；(4)出現(xiàn)滾動(dòng)、跳閃、波紋或花屏、雜波大、馬賽克嚴(yán)重等特別明顯信號(hào)的；(5)音量大小不均或者偏大偏小，失真不清晰，有雜音噪聲干擾，明顯中斷等。在資料上載過(guò)程中，針對(duì)出現(xiàn)的質(zhì)量問(wèn)題要及時(shí)反饋給相關(guān)人員進(jìn)行補(bǔ)救；如無(wú)法處理的，要注意看是否有必要上載該素材，或者在上載的資料中進(jìn)行說(shuō)明。

橫軸OH表示人口(按收入由低到高分組)的累計(jì)百分比，縱軸OM表示收入的累計(jì)百分比。當(dāng)收入完全平等時(shí)，人口累計(jì)百分比等于收入累計(jì)百分比，用直線OL表示，當(dāng)收入完全不平等時(shí)，用折線OHL表示。實(shí)際上，一般國(guó)家的收入分配，既不會(huì)是完全平等，也不會(huì)是完全不平等，而是在兩者之間，即曲線ODL。很顯然，曲線ODL與直線OL的偏離程度的大小，決定了該國(guó)國(guó)民收入分配不平等的程度。以橫軸OH為x軸，縱軸OM為y軸，y=f(x)表示曲線ODL，則不平等面積：

不平等面積A所占最大不平等面積(A+B)的比例

表示一個(gè)國(guó)家國(guó)民收入在國(guó)民之間分配的不平等程度，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱(chēng)為基尼系數(shù)，記作G。

通過(guò)上面的分析，我們可以看到用定積分模型就可以度量一個(gè)國(guó)家國(guó)民收入分配的不平等程度，這是多么有意義的一件事情啊！

3 案例三:在產(chǎn)業(yè)集群中模塊化程度越高價(jià)值就越大嗎

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，模塊化對(duì)于當(dāng)今世界范圍內(nèi)的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和升級(jí)起著至關(guān)重要的推動(dòng)作用，當(dāng)今的產(chǎn)業(yè)已經(jīng)進(jìn)入到模塊化設(shè)計(jì)、生產(chǎn)、消費(fèi)的大發(fā)展時(shí)期。模塊化的概念最早由哈佛商學(xué)院的兩位院長(zhǎng)CarlissY.Baldwin和KimB.Clark于1997年在《哈佛商業(yè)評(píng)論》的文章中提出，兩位作者在該論文中指出，模塊化現(xiàn)象在幾個(gè)產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域里從生產(chǎn)過(guò)程擴(kuò)展到了設(shè)計(jì)過(guò)程，并且敏銳地指出了模塊化對(duì)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整所具有的革命性意義。模塊是指半自律性的子系統(tǒng)，通過(guò)和其他同樣的子系統(tǒng)按照一定的規(guī)則相互聯(lián)系而構(gòu)成的更加復(fù)雜的系統(tǒng)或過(guò)程。根據(jù)這個(gè)概念，將一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)或過(guò)程按照一定的聯(lián)系規(guī)則分解為可進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計(jì)的子系統(tǒng)的行為，我們稱(chēng)之為模塊化分解。按照某種聯(lián)系規(guī)則將可進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計(jì)的子系統(tǒng)統(tǒng)一起來(lái)，構(gòu)成更加復(fù)雜的系統(tǒng)或過(guò)程的行為，我們稱(chēng)之為模塊化

圖1

在產(chǎn)業(yè)集群中模塊化程度越高價(jià)值就越大嗎？下面我們用數(shù)學(xué)建模和概率論的知識(shí)來(lái)解答該問(wèn)題。為了定量討論模塊化的價(jià)值，我們先作幾個(gè)假設(shè)：

(1)假設(shè)整體系統(tǒng)是由n個(gè)有價(jià)值的模塊組成的，這n個(gè)模塊的價(jià)值相加就是整體系統(tǒng)的價(jià)值。

(2)設(shè)整體系統(tǒng)含有N個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，第j個(gè)模塊所含有的設(shè)計(jì)參數(shù)為

(3)隨著技術(shù)進(jìn)步，模塊化成本不斷降低。相對(duì)于模塊化創(chuàng)造的價(jià)值而言，模塊化成本可以忽略。設(shè)整體系統(tǒng)的價(jià)值為X，它是一個(gè)隨機(jī)變量，它是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素(設(shè)計(jì)指標(biāo))的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)別因素在總的影響中所起的作用都是微小的，根據(jù)概率論中的中心極限定理，我們認(rèn)為X服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，即

假設(shè)第j個(gè)模塊設(shè)計(jì)結(jié)果的價(jià)值為Xj，它也是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)Xj服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，即相互獨(dú)立，于是模塊化后整個(gè)系統(tǒng)的價(jià)值為：

其中S0為整個(gè)系統(tǒng)模塊化前所具有的價(jià)值，稱(chēng)為基準(zhǔn)價(jià)值；

則Zj服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即

這樣(1)式就變?yōu)椋?/p>

于是得到下面的結(jié)論：

在上面模型的假設(shè)下，具有N個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的整體系統(tǒng)被分成n個(gè)分別具有設(shè)計(jì)參數(shù)的的模塊，模塊化所帶來(lái)的價(jià)值為：

因?yàn)?/p>

所以

由(8)式知：

由此可得到關(guān)于模塊化價(jià)值的下面的結(jié)論：

4 結(jié)語(yǔ)

采用模塊化比不采用模塊化將獲得更大的價(jià)值。且隨著技術(shù)進(jìn)步帶來(lái)分工的進(jìn)一步深化，模塊化程度越高(模塊數(shù)越多)，價(jià)值也越大。以上是我們將數(shù)學(xué)建模的思想融入到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)典型案例，通過(guò)這些案例教學(xué)，可以將數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，讓數(shù)學(xué)變得既生動(dòng)又貼近實(shí)際，也提高了財(cái)經(jīng)類(lèi)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。今后我們會(huì)將這種教學(xué)理念始終貫穿在整個(gè)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐中，并在教學(xué)實(shí)踐中不斷完善，為財(cái)經(jīng)類(lèi)院校培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的有用人才。

[1]張從軍,王育全,李輝,劉玉華.微積分(第二版)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2009.

[2]黎詣遠(yuǎn).經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3]錢(qián)書(shū)法,李輝.企業(yè)共生模式演進(jìn)及其原因分析[J].經(jīng)濟(jì)管理,2006,398(14):47-53.

[4]Baldwin,Carliss Y．a(chǎn)nd Kim B．Clark.Managing in an Age of Modularity[J].Harvard Business Review,1997,75(5):84～93.

[5]史樹(shù)中.諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)與數(shù)學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.

南京財(cái)經(jīng)大學(xué)教改項(xiàng)目(JGZ1304)。集成。模塊化結(jié)構(gòu)主要由三個(gè)部分構(gòu)成。(1)“設(shè)計(jì)規(guī)則”。設(shè)計(jì)規(guī)則由在行業(yè)內(nèi)具有核心競(jìng)爭(zhēng)力，有品牌產(chǎn)品且占主導(dǎo)地位的企業(yè)來(lái)制定；(2)“模塊”。按設(shè)計(jì)規(guī)則將整個(gè)系統(tǒng)分解成若干個(gè)子系統(tǒng)，稱(chēng)其為模塊，每個(gè)模塊必須遵守設(shè)計(jì)規(guī)則，但其具體操作可以獨(dú)立進(jìn)行；(3)“系統(tǒng)集成與檢驗(yàn)?zāi)K”。對(duì)模塊進(jìn)行檢驗(yàn)，選擇符合規(guī)則的模塊并組裝成系統(tǒng)，并使各模塊間在整個(gè)系統(tǒng)中達(dá)到和諧。