李蘭瑛

數(shù)學基本活動經(jīng)驗是小學生在參與數(shù)學基本活動時，經(jīng)歷探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等過程，獲得的由數(shù)學知識、技能、智慧、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機組合性經(jīng)驗。其核心是關于如何思考的經(jīng)驗，其最終的目的在于幫助學生建立自己的數(shù)學現(xiàn)實和數(shù)學學習的直覺，學會運用數(shù)學的思維方式進行思考。

數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累，大致需要經(jīng)過“經(jīng)歷、內(nèi)化、概括、遷移”的過程。無論是生活中的經(jīng)歷還是學習活動中的經(jīng)歷，對于學生數(shù)學基本經(jīng)驗的積累都是有價值的。但僅僅經(jīng)歷是不夠的，還需要學生在活動中充分地思考，將活動所得不斷內(nèi)化和概括，最終遷移到其他活動和學習中去。

現(xiàn)結(jié)合課堂教學的實踐案例談談如何在問題解決過程中幫助學生積累數(shù)學思考的經(jīng)驗。

【教學背景】

《比賽場次》是北師大版第六冊第76頁的學習內(nèi)容，屬于“綜合與實踐”領域的知識。學生在三年級上學期已經(jīng)學會了用連線、列表的方法解決生活中有關搭配和推理的問題，本節(jié)課在此基礎上進一步學習用連線、列表、圖解等策略解決比賽場次中的組合問題。

為了更好地了解學生的學習需求，筆者對全班47名學生進行了前測分析，結(jié)果如下：

1.你喜歡足球比賽嗎？

全班47人中只有8人表示喜歡足球比賽。看來，由于場地限制、危險性大或者年齡等原因，三年級的學生對足球比賽的興趣實在不強。

2.2件上衣和3條褲子要配成一套衣服有多少種不同的搭配方法？

這道題與生活實際非常貼近，并且在第五冊《搭配中的學問》一課學習過，全班47人無一人出錯，其中有34人選取了連線的方法來解決這個問題，可見連線法對學生來說是非常具體、直觀且容易理解的。另外13人選擇了用乘法算式來計算結(jié)果，這種方法也是教師在講課過程中總結(jié)之后細致講解過的，說明這些學生記住了教師講解的方法，也說明他們的抽象能力比較強。

3.用1、4、7三張數(shù)字卡片可以組成幾個不同的兩位數(shù)？

全班47人有40人可以做到有序地思考，表示為14、17、41、47、71、74的多達35人，他們思維的有序性體現(xiàn)在從數(shù)位的順序上來思考；表示為14、41、47、74、17、71的有5人，他們思維的有序性體現(xiàn)在從數(shù)的組成上入手，總的來說，學生具備有序思考的能力。

根據(jù)前測結(jié)果分析，筆者對教材進行了改編，創(chuàng)設了“請學生為果汁廠調(diào)配果汁”的情境，讓學生從他們比較熟悉的生活經(jīng)驗入手，經(jīng)歷問題解決的全過程，培養(yǎng)他們問題解決的能力。

【案例分析】

一、暴露——原有經(jīng)驗（獨立思考）

呈現(xiàn)問題：幫助果汁廠老板研制新產(chǎn)品，做一次新產(chǎn)品研究員。

從芒果、藍莓、蜜桃、蘋果這四種水果中，任意挑選兩種調(diào)配成果汁，可以調(diào)配出幾種不同口味的果汁？活動要求：（1）獨立思考，自己嘗試解決調(diào)配果汁的問題。（2）在紙上寫一寫、畫一畫，也可以用即時貼在紙上貼一貼。（3）看誰的方法既簡單又清楚，讓人一眼就能看明白。

樣本1：

這位學生的方法很顯然是單純生活經(jīng)驗的呈現(xiàn)，他很清楚地理解了需要解決的問題，但過程稍顯復雜，耗時較長。沒有考慮到重復的問題，所以這樣研究出的結(jié)果是錯誤的。

樣本2：

這種方法雖然也是單純生活經(jīng)驗的呈現(xiàn)，但這位學生的表述方式已經(jīng)非常簡練了，不過單從表述上來看，似乎看不出他的思考過程，因此，筆者對他進行了進一步的訪談：

師：能說說你是怎么想的嗎？

生：我先拼挨著的兩個，再拼兩頭的和中間的，最后拼隔著一個的。

相對來說，這位學生的思維也有一定的順序性。但就這個問題而言，水果的種類比較少，這樣思考沒問題，學生自己也承認，如果拓展到更多的種類，再用這種方法就會混亂了。會思考更會反思，這是最難能可貴的，思維過程也能積淀出一種經(jīng)驗，這種經(jīng)驗就屬于思考的經(jīng)驗。一個數(shù)學活動經(jīng)驗相對豐富并且善于反思的學生，他的數(shù)學直覺必然會隨著經(jīng)驗的積累而增強。

樣本3：

在獨立研究階段，這兩種方法是最多見的，很顯然，它們都是單純生活經(jīng)驗的呈現(xiàn)，但這兩位學生的思考已經(jīng)很有順序了，只是稍顯復雜，耗時較長。

樣本4：

這位學生想到了利用教師提供的即時貼，在四種顏色的即時貼上分別寫上了四種水果名，思維也很有順序，但并沒有把即時貼的優(yōu)勢發(fā)揮到極致，其實即時貼的顏色已經(jīng)完全可以代表不同種類的水果了，可這位學生還是在即時貼上分別寫上了水果的名字。

樣本5：

在被問及為什么會想到這種方法時，這位學生說：“其實之前我們學習過數(shù)線段的問題，這道題也是要把每兩個點都連線，和數(shù)線段有些相似，我就用這種方法試了試，結(jié)果是正確的?！?/p>

積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗要關注過程的教學，“經(jīng)歷過程”不僅要讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生和呈現(xiàn)的過程，更要讓學生經(jīng)歷探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等，從而積累觀察、操作、猜想、歸納、推廣等思考的經(jīng)驗。

從學生獨立研究這一問題的過程可以看出，大多數(shù)學生的方法來源于他們的生活經(jīng)驗，就像身邊有許多水果，真的需要學生把兩種水果搭配在一起一樣，所以學生才會畫出個瓶子，里面裝著水果，好像他真的在調(diào)配果汁。盡管類似于這樣的感知明顯帶有個體認識的成分，并且還存在原始、膚淺、片面、模糊的特征，但這類直接經(jīng)驗的獲得，是構建個人理解不可或缺的重要素材。

生活經(jīng)驗固然重要，但更重要的是要善于積累、提煉，把生活經(jīng)驗提升為數(shù)學經(jīng)驗。因此，在這一過程中，有些學生進行了有序思考，這是很值得稱贊的，而連線方法的出現(xiàn)更是令人驚喜。從獲得的經(jīng)驗的類型來看，連線方法中獲得的經(jīng)驗相對于前面幾種更側(cè)重于策略和方法，也更為理性。從這一點上可以看出，思考經(jīng)驗的獲取是派生出思維模式和思維方法的重要渠道，對學生開展創(chuàng)新性活動具有十分重要的奠基作用。

二、碰撞——生成經(jīng)驗（合作探究）

獨立學習后，教師不加以干預，而是安排學生進行同伴交流。學生首先表現(xiàn)出喜歡這種同伴間的互相學習，此時的學習氛圍是輕松的、主動的，而且學生間的互助學習效果很明顯。

小組合作中，學生再次經(jīng)歷了記錄方法逐步抽象的過程，就這樣，在大家的思考、操作中，有順序地、全面地思考問題的意識正慢慢滲透進每個學生的思維中。同時，他們也感悟到了符號化思想的簡潔性，從而獲得了一些初步的數(shù)學實踐活動經(jīng)驗。

獨立研究之后，教師展示了學生不同的方法，但并未作出任何評價。學生可以借鑒他人的方法，兩人一組再次思考這個問題。在交流和討論的過程中，學生不斷優(yōu)化自己的方法，取長補短，使自己再次呈現(xiàn)的方法更加簡練和清楚了。在這一過程中，引發(fā)學生再一次反思已有的知識和經(jīng)驗，同時進行經(jīng)驗的遷移，促進策略的生成。這使原有知識、經(jīng)驗水平不同的學生都得到了啟示，實現(xiàn)了適合學生自己的經(jīng)驗積累和認知發(fā)展。

三、點撥——提升經(jīng)驗（教師引導）

這一環(huán)節(jié)，教師請學生講解自己的方法并加以引導，同時，介紹兩種新的方法——表格法和另一種連線法。

教師適當引導：“同學們的連線法真不錯，如果改變水果的擺放位置，還可以用連線的方法來解決嗎？”此時，在黑板上把四種水果擺放成正方形的樣子，讓學生想一想是否可以用連線的方法來解決。學生試著連一連，發(fā)現(xiàn)是沒問題的，之后還總結(jié)：“這種連線法只要在每兩種水果之間都連了線，就一定是不重不漏的，至于有幾種不同的口味，數(shù)一數(shù)連了幾條線就可以了?！?/p>

接下來，教師故作神秘地說：“我在另一個班講這道題的時候，他們還研究出了一種和你們都不一樣的方法，想不想看看？”好奇心使然，學生一定很想看看，其實，教師只是想把一種新方法介紹給大家。出示一個未完成的表格：

引導學生：（1）理解對勾的意思。（2）試著把表格填完。（3）如果全打?qū)?，就會有重復。?）糾正錯誤。（5）完善正確的結(jié)果。（6）找到填寫表格的方法。

教材呈現(xiàn)的這兩種方法，學生在獨立研究和小組合作研究中都沒有出現(xiàn)，此時就需要教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的職責，讓學生在繼續(xù)研究新方法的過程中獲得更加廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。由此可見，數(shù)學活動經(jīng)驗是在數(shù)學學習過程中逐步積累的，需要在“做”和“思考”的過程中積淀。

華東師范大學孔企平教授曾經(jīng)說過：“問題解決的實質(zhì)是學習者面對新的情境所進行的數(shù)學思維，通過解決一系列非常規(guī)的問題，使學生的數(shù)學思考能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能。”本節(jié)課的教學，注重學生對“調(diào)配果汁”這一問題的研究過程，使學生經(jīng)歷了獨立學習（充分暴露原有經(jīng)驗）—小組合作學習（碰撞生成經(jīng)驗）—教師引領學習（完善提升經(jīng)驗）這樣的學習路徑，學生在一次又一次的操作活動中獲得了思考的經(jīng)驗，也積淀了豐富的活動經(jīng)驗。另外，從本節(jié)課的探索過程可以看出，問題解決的過程需要實踐，需要學生親身經(jīng)歷。通過數(shù)學活動，可以讓學生“經(jīng)歷”知識的形成過程，建構數(shù)學模型，獲取對數(shù)學本質(zhì)的思考經(jīng)驗。

注：本文系北京市中小學名師發(fā)展工程成果

（作者單位：北京市海淀區(qū)中關村第二小學）

二、碰撞——生成經(jīng)驗（合作探究）

獨立學習后，教師不加以干預，而是安排學生進行同伴交流。學生首先表現(xiàn)出喜歡這種同伴間的互相學習，此時的學習氛圍是輕松的、主動的，而且學生間的互助學習效果很明顯。

小組合作中，學生再次經(jīng)歷了記錄方法逐步抽象的過程，就這樣，在大家的思考、操作中，有順序地、全面地思考問題的意識正慢慢滲透進每個學生的思維中。同時，他們也感悟到了符號化思想的簡潔性，從而獲得了一些初步的數(shù)學實踐活動經(jīng)驗。

獨立研究之后，教師展示了學生不同的方法，但并未作出任何評價。學生可以借鑒他人的方法，兩人一組再次思考這個問題。在交流和討論的過程中，學生不斷優(yōu)化自己的方法，取長補短，使自己再次呈現(xiàn)的方法更加簡練和清楚了。在這一過程中，引發(fā)學生再一次反思已有的知識和經(jīng)驗，同時進行經(jīng)驗的遷移，促進策略的生成。這使原有知識、經(jīng)驗水平不同的學生都得到了啟示，實現(xiàn)了適合學生自己的經(jīng)驗積累和認知發(fā)展。

三、點撥——提升經(jīng)驗（教師引導）

這一環(huán)節(jié)，教師請學生講解自己的方法并加以引導，同時，介紹兩種新的方法——表格法和另一種連線法。

教師適當引導：“同學們的連線法真不錯，如果改變水果的擺放位置，還可以用連線的方法來解決嗎？”此時，在黑板上把四種水果擺放成正方形的樣子，讓學生想一想是否可以用連線的方法來解決。學生試著連一連，發(fā)現(xiàn)是沒問題的，之后還總結(jié)：“這種連線法只要在每兩種水果之間都連了線，就一定是不重不漏的，至于有幾種不同的口味，數(shù)一數(shù)連了幾條線就可以了。”

接下來，教師故作神秘地說：“我在另一個班講這道題的時候，他們還研究出了一種和你們都不一樣的方法，想不想看看？”好奇心使然，學生一定很想看看，其實，教師只是想把一種新方法介紹給大家。出示一個未完成的表格：

引導學生：（1）理解對勾的意思。（2）試著把表格填完。（3）如果全打?qū)?，就會有重復。?）糾正錯誤。（5）完善正確的結(jié)果。（6）找到填寫表格的方法。

教材呈現(xiàn)的這兩種方法，學生在獨立研究和小組合作研究中都沒有出現(xiàn)，此時就需要教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的職責，讓學生在繼續(xù)研究新方法的過程中獲得更加廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。由此可見，數(shù)學活動經(jīng)驗是在數(shù)學學習過程中逐步積累的，需要在“做”和“思考”的過程中積淀。

華東師范大學孔企平教授曾經(jīng)說過：“問題解決的實質(zhì)是學習者面對新的情境所進行的數(shù)學思維，通過解決一系列非常規(guī)的問題，使學生的數(shù)學思考能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能?！北竟?jié)課的教學，注重學生對“調(diào)配果汁”這一問題的研究過程，使學生經(jīng)歷了獨立學習（充分暴露原有經(jīng)驗）—小組合作學習（碰撞生成經(jīng)驗）—教師引領學習（完善提升經(jīng)驗）這樣的學習路徑，學生在一次又一次的操作活動中獲得了思考的經(jīng)驗，也積淀了豐富的活動經(jīng)驗。另外，從本節(jié)課的探索過程可以看出，問題解決的過程需要實踐，需要學生親身經(jīng)歷。通過數(shù)學活動，可以讓學生“經(jīng)歷”知識的形成過程，建構數(shù)學模型，獲取對數(shù)學本質(zhì)的思考經(jīng)驗。

注：本文系北京市中小學名師發(fā)展工程成果

（作者單位：北京市海淀區(qū)中關村第二小學）

二、碰撞——生成經(jīng)驗（合作探究）

獨立學習后，教師不加以干預，而是安排學生進行同伴交流。學生首先表現(xiàn)出喜歡這種同伴間的互相學習，此時的學習氛圍是輕松的、主動的，而且學生間的互助學習效果很明顯。

小組合作中，學生再次經(jīng)歷了記錄方法逐步抽象的過程，就這樣，在大家的思考、操作中，有順序地、全面地思考問題的意識正慢慢滲透進每個學生的思維中。同時，他們也感悟到了符號化思想的簡潔性，從而獲得了一些初步的數(shù)學實踐活動經(jīng)驗。

獨立研究之后，教師展示了學生不同的方法，但并未作出任何評價。學生可以借鑒他人的方法，兩人一組再次思考這個問題。在交流和討論的過程中，學生不斷優(yōu)化自己的方法，取長補短，使自己再次呈現(xiàn)的方法更加簡練和清楚了。在這一過程中，引發(fā)學生再一次反思已有的知識和經(jīng)驗，同時進行經(jīng)驗的遷移，促進策略的生成。這使原有知識、經(jīng)驗水平不同的學生都得到了啟示，實現(xiàn)了適合學生自己的經(jīng)驗積累和認知發(fā)展。

三、點撥——提升經(jīng)驗（教師引導）

這一環(huán)節(jié)，教師請學生講解自己的方法并加以引導，同時，介紹兩種新的方法——表格法和另一種連線法。

教師適當引導：“同學們的連線法真不錯，如果改變水果的擺放位置，還可以用連線的方法來解決嗎？”此時，在黑板上把四種水果擺放成正方形的樣子，讓學生想一想是否可以用連線的方法來解決。學生試著連一連，發(fā)現(xiàn)是沒問題的，之后還總結(jié)：“這種連線法只要在每兩種水果之間都連了線，就一定是不重不漏的，至于有幾種不同的口味，數(shù)一數(shù)連了幾條線就可以了。”

接下來，教師故作神秘地說：“我在另一個班講這道題的時候，他們還研究出了一種和你們都不一樣的方法，想不想看看？”好奇心使然，學生一定很想看看，其實，教師只是想把一種新方法介紹給大家。出示一個未完成的表格：

引導學生：（1）理解對勾的意思。（2）試著把表格填完。（3）如果全打?qū)?，就會有重復。?）糾正錯誤。（5）完善正確的結(jié)果。（6）找到填寫表格的方法。

教材呈現(xiàn)的這兩種方法，學生在獨立研究和小組合作研究中都沒有出現(xiàn)，此時就需要教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的職責，讓學生在繼續(xù)研究新方法的過程中獲得更加廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。由此可見，數(shù)學活動經(jīng)驗是在數(shù)學學習過程中逐步積累的，需要在“做”和“思考”的過程中積淀。

華東師范大學孔企平教授曾經(jīng)說過：“問題解決的實質(zhì)是學習者面對新的情境所進行的數(shù)學思維，通過解決一系列非常規(guī)的問題，使學生的數(shù)學思考能力得到增強，而不僅僅是獲得新的技能?！北竟?jié)課的教學，注重學生對“調(diào)配果汁”這一問題的研究過程，使學生經(jīng)歷了獨立學習（充分暴露原有經(jīng)驗）—小組合作學習（碰撞生成經(jīng)驗）—教師引領學習（完善提升經(jīng)驗）這樣的學習路徑，學生在一次又一次的操作活動中獲得了思考的經(jīng)驗，也積淀了豐富的活動經(jīng)驗。另外，從本節(jié)課的探索過程可以看出，問題解決的過程需要實踐，需要學生親身經(jīng)歷。通過數(shù)學活動，可以讓學生“經(jīng)歷”知識的形成過程，建構數(shù)學模型，獲取對數(shù)學本質(zhì)的思考經(jīng)驗。

注：本文系北京市中小學名師發(fā)展工程成果

（作者單位：北京市海淀區(qū)中關村第二小學）