鄧冰，張翔，張銘

(1.北京應(yīng)用氣象研究所,北京100029；2.海軍海洋水文氣象中心,北京100079；3. 解放軍理工大學(xué)氣象海洋學(xué)院,江蘇南京211101)

1 引言

海洋中的內(nèi)重力慣性波是普遍存在的一種海洋內(nèi)波，其對(duì)海洋的質(zhì)量、動(dòng)量和熱量輸送起著重要的作用；該內(nèi)波也是海水運(yùn)動(dòng)的重要形態(tài)，會(huì)引起海水的內(nèi)部混合,是形成海水溫、鹽微結(jié)構(gòu)的重要原因[1]。本文對(duì)該海洋內(nèi)波的不穩(wěn)定模態(tài)進(jìn)行分析；這不僅在海洋動(dòng)力學(xué)研究中具有重要理論意義，而且對(duì)海洋資源開(kāi)發(fā)和保護(hù)以及軍事海洋保障中均有很大應(yīng)用價(jià)值。

對(duì)海洋內(nèi)重力慣性波的發(fā)生演變研究一直是物理海洋學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，然而由于海洋內(nèi)波現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)資料獲取困難以及流體動(dòng)力方程組在數(shù)學(xué)上解析求解的限制，關(guān)于海洋內(nèi)波生成機(jī)制至今尚在深入研究中。有很多因素都能激發(fā)海洋內(nèi)波，它們可來(lái)自海面、海底和海水內(nèi)部。例如海面風(fēng)應(yīng)力和海面氣壓場(chǎng)，上混合層中海水密度水平分布不均勻，潮流或海流流經(jīng)凸凹不平的海底地形，海水內(nèi)部背景流的水平切變和垂直切變等等。LUC RAINVILLE 等[2]對(duì)2000年4月中國(guó)海東部的黑潮海洋調(diào)查資料進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)在黑潮中存在較強(qiáng)的連續(xù)切變層；另外又分析了日本九州黑潮附近2002年4月的ADCP 和CTD 連續(xù)30 h 現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)資料，探測(cè)到在黑潮中心有一系列流的切變，并發(fā)現(xiàn)存在向上和向下傳播的高頻內(nèi)波，他認(rèn)為黑潮較強(qiáng)的切變是生成海洋內(nèi)重力慣性波的重要因素。此外，司宗尚，范植松等[3]指出南黃海的內(nèi)孤立波集中分布于南黃海的南部，而在其北部極少出現(xiàn)的主要原因是在南黃海的南部存在較強(qiáng)的背景斜壓環(huán)流和很強(qiáng)的背景正壓潮流，而在南黃海的北部這兩種背景流都很弱。Xu等[4-5]研究了南海的內(nèi)潮波，發(fā)現(xiàn)了以高模態(tài)為主的半日內(nèi)潮的存在，并對(duì)南海高模態(tài)主導(dǎo)的內(nèi)波做了全面深入分析。張遠(yuǎn)凌[6]利用澳大利亞西北陸架海域1992年2月至4月期間現(xiàn)場(chǎng)錨系實(shí)驗(yàn)觀測(cè)獲得的溫度及海流計(jì)資料，分析了該地區(qū)內(nèi)潮及內(nèi)孤立波的主要特征，且得到該地區(qū)的流場(chǎng)隨時(shí)間變化強(qiáng)烈，在垂直方向上具有較強(qiáng)的剪切。顯然以上司宗尚等和張遠(yuǎn)凌所研究的海洋內(nèi)波是非線性的（因其為孤立內(nèi)波形態(tài)），但其來(lái)源仍涉及到海洋線性重力慣性波的失穩(wěn)（因失穩(wěn)造成其振幅隨時(shí)間增長(zhǎng)，最終非線性效應(yīng)將起重要作用）。由此可見(jiàn)，海洋背景流的水平切變和垂直切變?cè)诤Ｑ髢?nèi)波的生成和演變中起著關(guān)鍵作用。由于海洋中隨機(jī)的無(wú)窮小擾動(dòng)無(wú)處不在，這些無(wú)窮小擾動(dòng)在海洋內(nèi)重力慣性波不穩(wěn)定的條件下，則會(huì)發(fā)展為小的線性海洋內(nèi)重力慣性波，以后其振幅繼續(xù)增大到一定階段后，就必須考慮非線性的作用，此時(shí)會(huì)演變成孤立內(nèi)波。這種由無(wú)窮小擾動(dòng)發(fā)展到線性海洋內(nèi)重力慣性波的過(guò)程，也即海洋內(nèi)重力慣性波的不穩(wěn)定，就是海洋內(nèi)波生成機(jī)制的一種，當(dāng)然這其中也包含演變。

在大氣中基本氣流（背景風(fēng)場(chǎng)）的垂直切變會(huì)造成內(nèi)重力慣性波的失穩(wěn)早已為人所熟知[7]，而海洋與大氣同屬地球流體，有相似的控制方程組（但狀態(tài)方程不同），故而海洋中的基本流（背景流）的切變應(yīng)該也會(huì)造成海洋內(nèi)部重力慣性波的失穩(wěn)現(xiàn)象，而以上有的學(xué)者也指出，在海洋有的地方背景流剪切較強(qiáng)，是生成內(nèi)波的重要因素[6]。為研究切變背景流對(duì)海洋內(nèi)波不穩(wěn)定的影響，本文提出了一個(gè)基于海洋動(dòng)力學(xué)的線性海洋內(nèi)重力慣性波失穩(wěn)的數(shù)學(xué)模型，給出了對(duì)其數(shù)值求解的方案，并用以探討沿垂直切變背景流傳播的線性海洋內(nèi)重力慣性波的不穩(wěn)定性。

2 數(shù)學(xué)模型及求解方案

2.1 數(shù)學(xué)模型

本文研究海洋內(nèi)波的控制方程采用無(wú)粘絕熱的Boussinesq 方程組,僅考慮小振幅內(nèi)波情況下，則可對(duì)其控制方程組進(jìn)行線性化處理。在文獻(xiàn)[8]中對(duì)方程的線性近似有詳細(xì)闡述。最后得到如下海洋內(nèi)波的控制方程組：

對(duì)海洋內(nèi)波，海面可取剛蓋近似，本文不考慮海底地形影響，這樣上下邊界條件可取為：

這里z=0 處為海底，z=H 處為海面，H 為海洋水深。這樣方程組（1）與邊界條件（2）則構(gòu)成一個(gè)變系數(shù)復(fù)常微分方程組的特征值問(wèn)題，在此σ 即為特征值，V,Ρ,Ψ 即為相應(yīng)于該特征值的特征函數(shù)（特征波動(dòng)）。雖地形影響是內(nèi)重力慣性波的重要生成機(jī)制之一，但不是其唯一的生成機(jī)制；如上所述，背景流的垂直切變也是其生成機(jī)制之一，特別在大洋西邊界流處，因該處流場(chǎng)垂直切變較強(qiáng)；而本文為突出后者，在此不考慮前者即地形作用。

2.2 數(shù)值求解方案

將整個(gè)水深區(qū)間[0,H]等距分為M 個(gè)子區(qū)間，即在垂直方向?qū)⑺罘譃镸 層，以便對(duì)方程組（1）離散化。垂直方向采用交錯(cuò)網(wǎng)格，將Ψ 寫在整數(shù)層網(wǎng)格點(diǎn)上，P、V 寫在半數(shù)層網(wǎng)格點(diǎn)上。此時(shí)dΨ/dz 、dV/dz 和d2Ψ/dz2以及背景場(chǎng)的垂直切變均可用差分來(lái)近似表示，將也寫在整數(shù)層和半數(shù)層的該網(wǎng)格點(diǎn)上；這樣微分方程組（1）則可在垂直方向離散化后，轉(zhuǎn)化為差分方 程 組。 令VM-1/2,PM-1/2)T，在此j=0 為海底，j=M 為海面，此時(shí)有Ψ0=0,ΨM=0。這樣就可將該微分方程組的特征值問(wèn)題離散化為復(fù)矩陣的廣義特征值問(wèn)題，也即有[6]：

3 內(nèi)波的不穩(wěn)定性

本文僅討論沿背景流傳播的內(nèi)波不穩(wěn)定性，即設(shè)內(nèi)波水平傳播方向與該背景流的方向相同，此時(shí)有，并取層結(jié)參數(shù)為常數(shù)和線性垂直切變背景流的情況，也即取和duˉ/dz 為常數(shù)；之所以這樣做是為了計(jì)算起來(lái)簡(jiǎn)單并便于與解析解進(jìn)行比較，以便確定數(shù)值解的精度；同時(shí)這也大體不失一般性。計(jì)算表明，對(duì)同一波長(zhǎng)L（波數(shù)k），可能有多個(gè)其虛部大于0的σ，而其特征函數(shù)（波動(dòng)）的垂直結(jié)構(gòu)也不同。即對(duì)同一內(nèi)波波長(zhǎng)其可有多個(gè)不同的不穩(wěn)定垂直結(jié)構(gòu)。本文以下主要討論其增長(zhǎng)率為最大者，并稱其增長(zhǎng)率為最大增長(zhǎng)率；而相應(yīng)的特征函數(shù)（波動(dòng)）則稱之為最大不穩(wěn)定模態(tài)。

3.1 不穩(wěn)定增長(zhǎng)率隨波長(zhǎng)的分布

這里選取海表面背景流uˉ 的流速分別為0.5 m/s 和0.2 m/s，而海底則取uˉ其值為0，水深取1000 m，此時(shí)該背景流的垂直切變分別為0.5×10-3s-1和 0.2×10-3s-1；其 他 參 數(shù) 則 ?。?10-7s-2，f=10-4s-1，而內(nèi)波波長(zhǎng)L 的取值范圍為：1 ＜L ＜600（單位km），由k=2π/L 則可得此時(shí)內(nèi)波波數(shù)的取值范圍。

圖1 不穩(wěn)定增長(zhǎng)率隨波長(zhǎng)變化

圖1給出了海洋內(nèi)波不穩(wěn)定增長(zhǎng)率與其波長(zhǎng)的關(guān)系。圖1中個(gè)例1、2分別為海表面流速為0.5 m/s和0.2 m/s的情況。在個(gè)例1中，對(duì)大于6 km 的波長(zhǎng)則開(kāi)始出現(xiàn)不穩(wěn)定；在波長(zhǎng)10 km到150 km 之間存在較大的不穩(wěn)定增長(zhǎng)率；最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率則出現(xiàn)在20 km的波長(zhǎng)附近，其值約為2.7×10-5s-1，而其他波段的不穩(wěn)定增長(zhǎng)率較小；在小于20 km 的短波范圍內(nèi)該不穩(wěn)定增長(zhǎng)率增大最快（見(jiàn)圖1）。

在個(gè)例2中，背景流的垂直切變變小，當(dāng)波長(zhǎng)大于10 km 時(shí)有不穩(wěn)定發(fā)生，不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的大值區(qū)仍在短波區(qū)域；不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的最大值出現(xiàn)在波長(zhǎng)約為14 km處，其值約為1.7×10-5s-1；該個(gè)例背景流的線性垂直切變要較個(gè)例1 小，不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的最大值也比個(gè)例1 小，不穩(wěn)定增長(zhǎng)增長(zhǎng)率隨波長(zhǎng)的分布態(tài)勢(shì)則與個(gè)例1類似（見(jiàn)圖1）。

圖2 流函數(shù)不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)

由上可見(jiàn)，在穩(wěn)定層化海水中，背景流的垂直切變可導(dǎo)致短波長(zhǎng)海洋內(nèi)波的不穩(wěn)定，該不穩(wěn)定可存在短波截?cái)唷．?dāng)背景流垂直切變減弱時(shí)，最不穩(wěn)定海洋內(nèi)波的波長(zhǎng)也隨之變短；這表明內(nèi)波不穩(wěn)定增長(zhǎng)率對(duì)其波長(zhǎng)具有選擇性，其不穩(wěn)定增長(zhǎng)率在幾十公里的短波段范圍內(nèi)占優(yōu)，并受背景流垂直切變的制約。在其他海洋環(huán)境參數(shù)相同的條件下，背景流垂直切變則與最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率成正相關(guān)，即背景流垂直切變?cè)酱髣t其最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率也越大。

3.2 擾動(dòng)不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)分析

這里采用個(gè)例1 的海洋環(huán)境條件，以分析內(nèi)波波長(zhǎng)為8、10、22和80 km時(shí)其最大不穩(wěn)定模態(tài)的流函數(shù)結(jié)構(gòu)。當(dāng)內(nèi)波波長(zhǎng)分別為8 km、10 km、22 km和80 km 時(shí)，其最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率分別為1.19×10-6s-1、 2.87×10-6s-1、 2.67×10-5s-1和1.10×10-5s-1。其中在內(nèi)波波長(zhǎng)為22 km 時(shí)，在以上四者中，其不穩(wěn)定的增長(zhǎng)率最大。圖2 給出了相應(yīng)于以上四者的最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率流函數(shù)的垂直結(jié)構(gòu)。由圖可見(jiàn)，在內(nèi)波波長(zhǎng)為8 km 和10 km 時(shí)（見(jiàn)圖2a,b），該流函數(shù)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)正負(fù)相間的單圈環(huán)流，環(huán)流大體垂直，但在海洋內(nèi)部的局部范圍則會(huì)出現(xiàn)一處流函數(shù)的扭轉(zhuǎn)。對(duì)8 km內(nèi)波波長(zhǎng)的流函數(shù)，雖其有扭轉(zhuǎn)，但僅有一個(gè)流函數(shù)環(huán)流中心；當(dāng)內(nèi)波波長(zhǎng)為10 km時(shí)，該流函數(shù)出現(xiàn)了上下兩個(gè)環(huán)流中心，位于該流函數(shù)扭轉(zhuǎn)處附近的上部環(huán)流中心范圍較小，而位于下部的環(huán)流中心范圍較大，兩者構(gòu)成“貓眼”結(jié)構(gòu)。隨著擾動(dòng)波長(zhǎng)的增加，流函數(shù)結(jié)構(gòu)仍然為正負(fù)相交的單圈環(huán)流，但海洋內(nèi)部流函數(shù)的扭轉(zhuǎn)消失，出現(xiàn)了垂直方向略有傾斜的單圈環(huán)流（見(jiàn)圖2c,d）。

圖3 流函數(shù)不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)

在內(nèi)波波長(zhǎng)分別為8 km、22 km、80 km 時(shí)只出現(xiàn)了一個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)，其即為最大不穩(wěn)定模態(tài)；當(dāng)內(nèi)波波長(zhǎng)為10 km時(shí)，不穩(wěn)定模態(tài)增多，此時(shí)出現(xiàn)了4 個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)；最大不穩(wěn)定模態(tài)的增長(zhǎng)率上面已給出，為2.87×10-6s-1，相應(yīng)流函數(shù)的結(jié)構(gòu)也在圖2b 中給出，其余3 個(gè)模態(tài)的不穩(wěn)定增長(zhǎng)率分別為2.08×10-6s-1、1.24×10-6s-1和1.055×10-6s-1。圖3分別給出了其所對(duì)應(yīng)流函數(shù)模態(tài)的垂直結(jié)構(gòu)。由該圖可見(jiàn)，次大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的流函數(shù)的垂直結(jié)構(gòu)（見(jiàn)圖3a）與最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的結(jié)構(gòu)（見(jiàn)圖2b）相似，均呈現(xiàn)正負(fù)相間的單圈環(huán)流結(jié)構(gòu)，流函數(shù)出現(xiàn)了上下兩個(gè)環(huán)流中心，兩者構(gòu)成“貓眼”結(jié)構(gòu)，只是其垂直方向配置與最大不穩(wěn)定模態(tài)大致相反。對(duì)第3、4 個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)，其流函數(shù)結(jié)構(gòu)則有明顯的變化，此時(shí)在海洋內(nèi)部上、下的局部范圍則分別出現(xiàn)了流函數(shù)的扭轉(zhuǎn)，即有兩處流函數(shù)的扭轉(zhuǎn)。此時(shí)流函數(shù)的大值中心分別出現(xiàn)在流函數(shù)扭轉(zhuǎn)處附近（見(jiàn)圖3b、c）。

綜上可見(jiàn)，對(duì)內(nèi)波波長(zhǎng)8—80 km的最大不穩(wěn)定海洋內(nèi)波的流函數(shù)，其垂直方向的結(jié)構(gòu)總體上表現(xiàn)為單圈環(huán)流；通常有一個(gè)環(huán)流中心，有時(shí)也出現(xiàn)兩個(gè)環(huán)流中心，形成“貓眼”結(jié)構(gòu)。對(duì)固定波長(zhǎng)，當(dāng)其最大不穩(wěn)定模態(tài)的流函數(shù)出現(xiàn)“貓眼”結(jié)構(gòu)時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)多個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)，此時(shí)增長(zhǎng)率最大的流函數(shù)模態(tài)其垂直結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單，而隨著增長(zhǎng)率的減小，相應(yīng)流函數(shù)模態(tài)的垂直結(jié)構(gòu)也越復(fù)雜。

方欣華[9]曾分析了海洋孤立波發(fā)生時(shí)的觀測(cè)結(jié)果；他指出，孤立波的第一模態(tài)占優(yōu)。張效謙[10]在南海北部陸坡，利用2000年8月—11月2 個(gè)半月的錨系定點(diǎn)觀測(cè)資料，分析了南海北部陸坡海區(qū)內(nèi)波的分布特征。他也指出，觀測(cè)點(diǎn)的流動(dòng)在大部分時(shí)刻均以第一模態(tài)的含能為主，該模態(tài)的水平動(dòng)能所占的比例能達(dá)到總水平動(dòng)能的70%—80%，但有時(shí)第二、三模態(tài)其含能也會(huì)明顯增加。以上學(xué)者的分析表明，內(nèi)波發(fā)生時(shí)其通常以第一模態(tài)占優(yōu)，但某些情況下高模態(tài)也可能占優(yōu)[4-5]；而本文則得到，具有最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的內(nèi)波其流函數(shù)的垂直結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單。雖然本文所討論的在垂直切變背景流下失穩(wěn)的內(nèi)重力慣性波其條件與情況與他們所研究的內(nèi)波不完全相同，但是兩者仍有一致之處。

4 結(jié)語(yǔ)

由于海洋內(nèi)波的特殊性，對(duì)其觀測(cè)不僅難度較高，且耗資巨大；利用SAR 衛(wèi)星雖具有同時(shí)獲取大面積其海表特征的優(yōu)點(diǎn)，但僅能獲取大振幅內(nèi)孤立波的海表特征，且受天氣限制較大。當(dāng)前無(wú)論是海洋工程上還是在軍事應(yīng)用均要求對(duì)海洋內(nèi)波有更深刻的認(rèn)識(shí)和研究，故本文的工作也成為研究?jī)?nèi)波失穩(wěn)的一條途徑。本文提出了一個(gè)基于海洋動(dòng)力學(xué)的線性海洋內(nèi)重力慣性波的數(shù)學(xué)模型，給出了對(duì)其數(shù)值求解的方法，并對(duì)沿垂直切變背景流傳播的海洋內(nèi)波的不穩(wěn)定做了探討，得到的結(jié)論有：

（1）在不考慮海底地形和采用剛蓋近似的條件下，在穩(wěn)定層化海水中，當(dāng)不存在背景剪切流即背景流為常數(shù)時(shí)，則內(nèi)重力慣性波均是穩(wěn)定的；

（2）在較小的正層結(jié)參數(shù)下，即在較弱的穩(wěn)定層化海水中，具有垂直切變的背景流會(huì)導(dǎo)致內(nèi)重力慣性波的不穩(wěn)定；

（3）不穩(wěn)定內(nèi)重力慣性波的增長(zhǎng)率對(duì)其波長(zhǎng)具有選擇性并可有短波截?cái)?，而增長(zhǎng)率最大處則出現(xiàn)在波長(zhǎng)為幾十公里的范圍內(nèi)；

（4）對(duì)固定的內(nèi)重力慣性波波長(zhǎng)，背景流垂直切變?cè)綇?qiáng)則其最大增長(zhǎng)率越大。若此時(shí)有多個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)，則增長(zhǎng)率最大的模態(tài)其垂直結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單；

（5）不穩(wěn)定內(nèi)重力慣性波流函數(shù)的結(jié)構(gòu)在垂直方向大體呈單圈環(huán)流形態(tài)，環(huán)流中心可以是一個(gè)，也可以是2個(gè)，后者則呈“貓眼”結(jié)構(gòu)。

本文為了凸現(xiàn)背景流對(duì)海洋內(nèi)重力慣性波不穩(wěn)定的影響，只分析了當(dāng)背景流有垂直線性切變且層結(jié)參數(shù)為較小常數(shù)時(shí)，沿背景流傳播的不穩(wěn)定海洋內(nèi)重力慣性波的增長(zhǎng)率及其流函數(shù)的結(jié)構(gòu)。在實(shí)際海洋中，背景流的變化和層結(jié)的變化都較這里要復(fù)雜，不過(guò)本文的結(jié)果也大體不失一般性。本文采用的方案也能用于這些復(fù)雜的情況。

[1]Luc R, Robert P. Observations of Energetic High-Wavenumber Internal Waves in the Kuroshio[J]. Journal of physical oceanography,2005,34:1495-1505.

[2]徐肇廷.海洋內(nèi)波動(dòng)力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[3]司宗尚,范植松,于萬(wàn)春,等.南黃海非線性內(nèi)波的數(shù)值模擬研究(2)—內(nèi)潮的非線性演變[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào),2011,41(5):015-022.

[4]Xu Z,Yin B,Hou Y,et al.Variability of internal tides and near-inertial waves on the continental slope of the northwestern South China Sea[J]. J Geophys Res Oceans, 2013, doi: 10.1029/2012JC008212

[5]Xu Z,Yin B, Hou Y. Multimodal structure of the internal tides on the continental shelf of the northwestern South China Sea[J].Estuarine,Coastal and Shelf Science,2011,95(1):178-185.

[6]張遠(yuǎn)凌.內(nèi)波數(shù)值模擬若干特性分析[D].青島:中國(guó)海洋大學(xué)博士論文,2010.

[7]張銘,張立鳳,安潔.大氣波譜分析及其不穩(wěn)定性（第一卷）[M].北京:氣象出版社,2008.

[8]鄧冰,張銘.海洋內(nèi)部波動(dòng)的波譜和譜函數(shù)I-數(shù)學(xué)模型和計(jì)算方法[J].水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展A輯,2006,21(2):259-266.

[9]方欣華,杜濤.海洋內(nèi)波基礎(chǔ)和中國(guó)海內(nèi)波[M].青島:中國(guó)海洋大學(xué)出版社,2005.

[10]張效謙.南海北部陸架陸坡區(qū)內(nèi)波與混合研究[D].青島:中國(guó)海洋大學(xué)碩士論文,2005.