楊 宇 李 杰 潘海洋 程軍圣

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

滾動軸承的故障診斷本質(zhì)上是一個模式識別的過程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機等模式識別方法在滾動軸承故障診斷中應(yīng)用廣泛。但人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有存在局部極小點、收斂速度慢、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)和記憶不穩(wěn)定等缺陷，而且如何根據(jù)特定問題來確定網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)目前尚無很好的辦法，仍需憑經(jīng)驗和試驗［1］；支持向量機（support vector machine，SVM）分類結(jié)果受到核函數(shù)及參數(shù)的影響，而且該方法處理大量數(shù)據(jù)時由于有尋優(yōu)的過程而計算量很大［2］。除了本身固有的缺陷外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機在進(jìn)行模式識別時都忽略了從原始數(shù)據(jù)中提取的特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系。

然而，在機械故障診斷中，所有或部分特征值之間大都具有一定的內(nèi)在關(guān)系，而且這種內(nèi)在關(guān)系在不同的系統(tǒng)或類別（相同的系統(tǒng)在不同的工作狀態(tài)下）間具有明顯的不同。因此，可以對各個特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，對于不同的類別可以得到不同的數(shù)學(xué)模型，從而可以采用這些數(shù)學(xué)模型對被測試樣本的特征值進(jìn)行預(yù)測，把預(yù)測結(jié)果作為分類的依據(jù)，進(jìn)一步進(jìn)行模式識別?；诖?，Raghuraj等［3］提出了一種新的模式識別方法——基于變量預(yù)測模型的模式識別（variable predictive model based class discriminate，VPMCD）方法，同時還將該方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機等其他模式識別方法進(jìn)行了對比，驗證了VPMCD方法的有效性和優(yōu)越性。然而VPMCD法是采用最小二乘回歸估計參數(shù)，最小二乘回歸是建立在自變量之間不存在高度線性相關(guān)的假定基礎(chǔ)上的，而實際情況中各種自變量之間總是存在著一定的線性相關(guān)性的。當(dāng)這種相關(guān)程度比較高時，采用最小二乘法會導(dǎo)致回歸分析的正則方程組出現(xiàn)病態(tài)，從而使最小二乘法的參數(shù)估計不穩(wěn)定，模型擬合精度難以保證，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測將可能產(chǎn)生嚴(yán)重的偏差甚至錯誤［4］。

針對這一缺陷，本文提出了VPMCD方法的改進(jìn)方法，采用主成分回歸估計來代替最小二乘估計。主成分回歸估計方法［5］是對普通最小二乘估計方法的一種改進(jìn)方法。主成分回歸估計法在簡化結(jié)構(gòu)、消除預(yù)測變量之間的線性相關(guān)性方面起到了明顯的效果，因此，在回歸估計時具有比最小二乘法更好的性能。

本文將改進(jìn)的VPMCD方法應(yīng)用于滾動軸承故障診斷，先采用局部特征尺度分解（local characteristic－scale decomposition，LCD）方法［6］將滾動軸承振動信號分解成若干個內(nèi)稟尺度分量（intrinsic scale component，ISC），然后分別求出前幾個ISC分量的近似熵［7］作為特征值組成特征向量，最后采用改進(jìn)的VPMCD方法得到各故障特征值的預(yù)測模型，并利用預(yù)測模型對待診斷樣本的故障類型和工作狀態(tài)進(jìn)行分類和識別。

1 改進(jìn)的VPMCD方法

1.1 VPMCD方法

VPMCD方法是一種基于變量預(yù)測模型的模式識別方法，它認(rèn)為被用來將系統(tǒng)劃分為不同類別的全部或部分特征值之間具有內(nèi)在變量關(guān)系，利用不同類別之間的相互內(nèi)在關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并采用各類訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進(jìn)行估計得到不同的預(yù)測模型，再通過預(yù)測模型對測試樣本進(jìn)行預(yù)測分類。

以機械故障診斷問題為例，采用p個不同的特征值X ＝ （X1，X2，…，Xp）來描述一個故障類別，對于其中的特征值Xi來說，當(dāng)故障類別不同時，其他的一個或者多個特征值對Xi的影響也會發(fā)生變化。因此，特征值Xi與其余的一個或者多個特征值之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，而這種關(guān)系既可以是線性的，也可以是非線性的。為了識別滾動軸承的故障類型，需要有能夠描述這些函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，以便對測試樣本的特征值進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)一步對測試樣本進(jìn)行分類，這種模型稱為變量預(yù)測模型。

為特征值Xi定義的變量預(yù)測模型是一個線性或非線性的回歸模型，可以選擇以下四種模型之一。

（1）線性模型（L）：

（2）線性交互模型（LI）：

（3）二次交互模型（QI）：

（4）二次模型（Q）：

式中，Xi為被預(yù)測變量；Xj（j≠i）、Xk為預(yù)測變量；b0、bj、bjj、bjk為模型參數(shù)（回歸系數(shù)）；r為模型階數(shù)，r≤p－1。

以p個特征值為例，選取上述四種模型中任意一個模型，用特征值Xj（j≠i）對Xi進(jìn)行預(yù)測，都可以得到：

式（5）稱為變量Xi的變量預(yù)測模型VPMi，其中e為預(yù)測誤差。

VPMCD方法的步驟如下：

1.2 基于主成分估計的VPMCD方法

Raghuraj等［3］提出的VPMCD方法在預(yù)測模型的訓(xùn)練過程中采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計，但是當(dāng)自變量間存在高度線性相關(guān)時，用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計會出現(xiàn)病態(tài)，這樣會使得估計得到的參數(shù)很不穩(wěn)定，在具體取值上與真實值有較大偏差。

多元線性回歸分析［8］的一個基本假設(shè)是自變量之間不存在多重共線性（線性相關(guān)現(xiàn)象），要求設(shè)計矩陣Z的秩rank（Z）＝q＋1（q為自變量個數(shù)）。如果自變量之間存在完全的線性關(guān)系，則它們之間的相關(guān)系數(shù)為1。一般情況下，自變量之間存在著程度不同的線性相關(guān)現(xiàn)象，自變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)在0～1之間變化，這時稱變量之間存在著近似共線性。變量間存在著近似共線性是一種普遍現(xiàn)象。

當(dāng)對回歸模型

用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計時，所得的估計量為

其中，Z為設(shè)計矩陣，Z′Z為z1，z2…zq的相關(guān)系數(shù)矩陣，當(dāng)自變量間存在完全的多重共線性時，設(shè)計矩陣Z的秩rank（Z）＜q＋1，此時｜Z′Z｜＝0，（Z′Z）－1不存在，正規(guī)方程組Z′Z＾β ＝Z′y 的解不唯一。當(dāng)自變量間存在近似共線性，且這種近似共線性程度較高時，此時｜Z′Z｜≈0，（Z′Z）－1的對角元素很大的方差陣D（＾β）＝σ2（Z′Z）－1（σ2為方差估計函數(shù)）的對角元素很大，因而β0，β1，β2，…，βq的估計度很低。它將給回歸分析帶來如下影響：①估計量的方差很大，不能正確判斷預(yù)測變量對被預(yù)測變量的影響程度。②回歸系數(shù)的方差不斷增大，回歸系數(shù)的估計值對于樣本數(shù)據(jù)的微小變化非常敏感，其估計值的穩(wěn)定性變差。③多元回歸方程用于預(yù)測時，樣本數(shù)據(jù)中存在的多重共線性問題會在預(yù)測中存在，它對預(yù)測結(jié)果會產(chǎn)生影響，預(yù)測結(jié)果不確定性會增大。針對這一缺陷，本文提出了基于主成分估計的VPMCD方法，即采用主成分估計代替最小二乘估計。

作為最小二乘估計的一種改進(jìn)方法，主成分估計通過對原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究，找出影響模型過程的幾個綜合指標(biāo)，使綜合指標(biāo)為原來變量的線性組合。綜合指標(biāo)不僅保留了原始變量的主要信息，彼此之間又不相關(guān)，使得在分析模型時容易抓住主要矛盾。主成分估計在回歸分析中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，本文只就其剔除變量間多重共線性的過程進(jìn)行闡述。

在進(jìn)行分析前，將各變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，以消除不同變量存在不同量綱的影響。標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)后，設(shè)

將主成分估計和最小二乘估計在自變量出現(xiàn)高度線性相關(guān)時的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。假設(shè)已知x1、x2與y的關(guān)系服從線性回歸方程：

其中ε為預(yù)測誤差，x1，x2與ε各取12組值，如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)的取值

2 基于改進(jìn)VPMCD的滾動軸承故障診斷方法

在滾動軸承故障振動信號特征提取算法中，近似熵在描述信號的復(fù)雜性時具有較好的抗噪、抗干擾能力，而且利用較短數(shù)據(jù)即可以較穩(wěn)健地估計出信號的近似熵。同時，近似熵能用于隨機過程和確定性過程，其取值大小會隨著隨機過程和確定過程的混合比例不同而不同［7］。因此，近似熵能表征信號的復(fù)雜程度和產(chǎn)生新模式的概率，可將其應(yīng)用于故障診斷領(lǐng)域。而且，文獻(xiàn)［7］指出，在實際計算中，數(shù)據(jù)長度N為有限值，當(dāng)近似熵的嵌入維數(shù)s＝2，相似容量r＝0.1SDx～0.2SDx（SDx為原始數(shù)據(jù)x（i）的標(biāo)準(zhǔn)差）時，熵值對N的依賴程度最小，具有較合理的統(tǒng)計特性。因此，可以通過近似熵算法對滾動軸承振動信號進(jìn)行特征提取。

然而滾動軸承振動信號往往表現(xiàn)出非平穩(wěn)、非線性特性，若直接進(jìn)行近似熵計算會影響診斷精度，因此，必須先對原始振動信號進(jìn)行處理。

本文將近似熵算法和LCD算法應(yīng)用于滾動軸承故障診斷中，通過LCD將滾動軸承振動信號分解為若干個平穩(wěn)的ISC分量，計算每個ISC分量的近似熵，再利用不同ISC分量中提取的近似熵之間存在相互關(guān)系這一特點，采用改進(jìn)的VPMCD方法建立預(yù)測模型，從而進(jìn)行模式分類。

3 應(yīng)用

本文將改進(jìn)的VPMCD方法應(yīng)用于滾動軸承故障診斷中，采用美國西儲大學(xué)電氣工程實驗室的滾動軸承試驗數(shù)據(jù)來對該方法的有效性和優(yōu)越性進(jìn)行驗證，所采用的軸承型號、參數(shù)和試驗裝置見文獻(xiàn)［9］。采樣頻率為48kHz，電機負(fù)載為0.746kW，轉(zhuǎn)速為1772r／min，故障類型分別為：正常狀態(tài)、外圈故障、內(nèi)圈故障、滾動體故障。故障點的直徑為0.01778mm，故障深度為0.02794mm，每種狀態(tài)各得到200個樣本。

對各樣本的原始信號進(jìn)行LCD分解，信號分解中選擇標(biāo)準(zhǔn)偏差法作為終止判據(jù)，選擇鏡像對稱延拓方法減少邊界效應(yīng)。由于滾動軸承故障振動信號的故障信息主要集中在高頻段，因此，可選取前四個ISC分量，并對各分量求取近似熵值（算法中選擇s＝2，r＝0.2SDx），分別標(biāo)記為x1、x2、x3、x4。將所得的近似熵值組成特征向量，以此作為分類器的輸入進(jìn)行模式識別。

對于四類狀態(tài)，每類狀態(tài)可以得到四組特征值，在進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測之前，先對各特征值的線性相關(guān)性進(jìn)行分析。從四組特征值中選取其中一組作為被預(yù)測變量，其余三組作為預(yù)測變量，通過相關(guān)分析，得到各變量之間的相關(guān)系數(shù)。對不同類別的不同預(yù)測變量進(jìn)行相關(guān)分析時會出現(xiàn)相似的情況，由于篇幅有限，本文在表2中只列舉了外圈故障狀態(tài)下，當(dāng)被預(yù)測變量為x4時，各預(yù)測變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣。

表2 預(yù)測變量間的相關(guān)系數(shù)矩陣

從表2可以看出，各預(yù)測變量與其平方項之間，各預(yù)測變量與其所在的交互項之間的相關(guān)系數(shù)都很高，例如x1與的相關(guān)系數(shù)為0.9965，x1與x1x2的相關(guān)系數(shù)為0.7661。當(dāng)模型類型選用LI、Q、QI時，用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計會出現(xiàn)較大偏差，進(jìn)而影響分類精度。

為了證明改進(jìn)的VPMCD相對于原始方法能更好地運用于滾動軸承故障診斷，本文分別用Re－substitution（簡稱RS）檢驗、K－fold cross－validation（簡稱K－CV）檢驗、Jack－Knife（簡稱JK）檢驗對兩種方法進(jìn)行驗證，其中RS檢驗?zāi)茯炞C算法的自相容性［10］，K－CV檢驗和JK檢驗是較為客觀和嚴(yán)格的交叉檢驗［11］，能反映算法的推廣能力。

用RS檢驗驗證時，在兩種方法下通過訓(xùn)練得到各變量的最佳模型階數(shù)和模型類型如表3和表4所示。

表3 VPMCD訓(xùn)練得到的最佳模型類型和最佳模型階數(shù)

表4 改進(jìn)VPMCD訓(xùn)練得到的最佳模型類型和最佳模型階數(shù)

表3和表4中的預(yù)測模型類型和模型階數(shù)都是以最小預(yù)測誤差平方和作為判別依據(jù)得到的。然而，從兩表中可以看出，原始VPMCD方法通過訓(xùn)練得到的都是三階二次交互模型，而改進(jìn)的VPMCD方法通過訓(xùn)練得到的預(yù)測模型類型和模型階數(shù)隨著被預(yù)測變量和狀態(tài)的不同而不同。這是因為原始VPMCD方法用最小二乘估計時認(rèn)為隨著變量數(shù)目的增加，由估計所得的模型擬合性應(yīng)該更好。但是隨著預(yù)測變量的增加，變量間的線性相關(guān)性也相應(yīng)增加了，這樣反而有可能降低估計精度。

通過三種檢驗（本文取K－CV檢驗中的K＝10），對比兩種方法的分類結(jié)果，如圖1～圖4所示。

圖1 兩種算法的RS檢驗精度

圖2 兩種算法的10－CV檢驗精度

圖3 兩種算法的JK檢驗精度

圖4 兩種算法在三種檢驗下的總檢驗精度

從圖1～圖4中可以看出，兩種算法的檢驗精度都比較高，但是相比而言，改進(jìn)VPMCD方法的檢驗精度比原方法有所提高。例如，在RS檢驗中（圖1），改進(jìn)VPMCD方法的外圈故障狀態(tài)檢驗精度 （93.00%）比 原始 VPMCD 方 法（90.5%）提高了2.5個百分點；在10－CV檢驗中（圖2），改進(jìn)VPMCD方法的內(nèi)圈故障狀態(tài)檢驗精度（95.00%）比原方法（93.00%）提高了2個百分點；在JK檢驗中（圖3），改進(jìn)VPMCD方法的外圈故障狀態(tài)檢驗精度（93.00%）比原始VPMCD方法（90.00%）提高了3個百分點。因此，從圖4中可以看出，改進(jìn)VPMCD方法在三種檢驗下的總檢驗精度都要高于原VPMCD方法，這說明該方法無論是在算法的自相容性方面還是在算法的推廣性方面都要優(yōu)于原方法，而且該方法在三種檢驗下的高識別精度也說明了它非常適合于滾動軸承故障診斷。

4 結(jié)語

改進(jìn)的VPMCD方法在參數(shù)估計時將主成分估計代替原始VPMCD中的最小二乘估計，彌補了最小二乘估計在變量間出現(xiàn)高度線性相關(guān)時難以估計出較穩(wěn)定的回歸參數(shù)的不足。通過試驗比較可知，改進(jìn)的VPMCD方法不僅具有非常高的識別精度，而且在自相容性、推廣性方面都要優(yōu)于原始VPMCD方法，因此該方法更加適合于滾動軸承的故障診斷。

值得一提的是，雖然試驗中從同一振動信號下的不同ISC分量中提取的近似熵都具有一定的相互關(guān)系，但是這種相互關(guān)系的具體情況卻難以確定，而且特征值之間相互內(nèi)在關(guān)系的實際預(yù)測模型也無法得到。然而，本文的重點在于利用特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系建立預(yù)測模型，達(dá)到模式識別的目的，這種內(nèi)在關(guān)系的具體情況并不需要知道，相應(yīng)的實際模型也可以利用具體的模型來近似代替，只要達(dá)到所需要的分類精度即可。VPMCD方法是在假設(shè)特征值之間存在相互內(nèi)在關(guān)系的前提下，通過訓(xùn)練樣本從四種預(yù)測模型（L型、LI型、Q型和QI型）中選擇最佳預(yù)測模型，以此作為實際模型的近似模型，并通過近似模型對測試樣本進(jìn)行測試，從而對滾動軸承的故障類型和工作狀態(tài)進(jìn)行分類。試驗數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，該方法達(dá)到了較高的識別精度，能有效地對滾動軸承的工作狀態(tài)和故障類型進(jìn)行識別。

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