牛曉峰 王冠乾 梁 偉 侯 華

1.太原理工大學，太原，030024 2.中北大學，太原，030051

0 引言

鑄造充型過程被認為是一個不可壓縮流的非定常流動現(xiàn)象，其液態(tài)金屬流動時所遵循的質量守恒定律和牛頓第二定律采用連續(xù)性方程、動量方程描述。目前求解Navier－Stokes方程的主要方法有SIMPLE法、MAC法和SOLA法等。SOLA法是最常用的方法，但求解壓力場和速度場時，需要在連續(xù)性方程和動量方程之間進行多次迭代，計算效率不高［1－4］。

本文為提高計算效率，采用近似因子分解法進行壓力場和速度場的計算，由于這一過程的每一步均可采用托馬斯算法求解三對角方程，所以計算簡單，計算效率較高。建立了基于有限差分法（FDM）的流動場數(shù)值模擬程序，采用重力砂型鑄造，鑄件材質為純鋁，針對Benchmark件進行充型過程流動場數(shù)值模擬，并將模擬結果與實驗結果進行比對，驗證了數(shù)學模型的正確性。

1 理論分析

鑄造充型過程的守恒型控制方程如下［5-8］：

式中，u、v、w分別為三個坐標軸方向的速度分量；t為時間；ρ為流體的密度；p為壓力；gx、gy、gz分別為重力加速度在三個坐標軸方向上的分量；τxx、τyy、τzz為正應力；τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy分別為不同方向上的切應力。

根據梯形法則及式（1），通過第n個時間段和第n＋1個時間段的平均，建立如下隱式差分方程：

式（2）是一個非線性差分方程，根據Beam－Warming方法［5］將其線性化，具體過程如下：

由于ρ、gx、gy和gz保持不變，故有Jn＋1＝Jn。

引入單位矩陣，式（6）可以寫為

根據Beam－Warming方法，將式（7）表達為因子形式，即

如果將式（8）左右兩邊的兩個因子相乘，將會發(fā)現(xiàn)式（8）與式（7）并不完全相同，多出的項包含因子（Δt）3，不影響式（7）所具有的二階精度，于是我們用式（8）替代式（7），在式（8）中出現(xiàn)的因子形式稱為近似因子分解。

引入記號ΔUn≡Un＋1－Un，則式（8）可寫為

式（9）為增量形式，通過求解式（9），得到ΔUn，然后由Un＋1＝ΔUn＋Un得到下一時間段上Un＋1的值。具體過程如下：

2 算例分析與驗證

構造鑄件三維實體模型如圖1所示，投影圖如圖2所示，網格剖分圖（網格尺寸：2.0mm×2.0mm×2.0mm）如圖 3 所 示［9－11］。 鑄 件 材質為純鋁，重力砂型鑄造， 澆 注 速 度 為0.7m／s，澆注溫度為700℃，其他參數(shù)見表1。計算效率見表2。

圖1 三維實體模型

表1 物理參數(shù)

表2 計算效率

圖2 鑄件投影圖

圖3 網格剖分結果圖

鑄件充型過程數(shù)值模擬結果與實驗結果對比如圖4～圖7所示。

圖4 0.83s鑄件充型過程數(shù)值模擬結果與實驗結果對比

圖5 1.43s鑄件充型過程數(shù)值模擬結果與實驗結果對比

對比圖4～圖7發(fā)現(xiàn)，模擬結果與實驗觀察結果基本吻合，說明本文所開發(fā)的基于FDM充型過程流動場數(shù)值模擬程序是正確的。由表2可知，由于計算過程中每一步均可采用托馬斯算法求解三對角方程，計算簡單，所需計算時間較短。

圖6 1.93s鑄件充型過程數(shù)值模擬結果與實驗結果對比

圖7 2.51s鑄件充型過程數(shù)值模擬結果與實驗結果對比

3 結語

應用近似因子分解法進行速度場和壓力場的計算，將式（1）所描述的非定常三維問題在每個時間步上分解為三個獨立的一維問題，由于過程的每一步均可采用托馬斯算法求解三對角方程，所以計算簡單，可有效提高計算效率。

本文建立了基于有限差分法的流動場數(shù)值模擬程序，為驗證計算模型的正確性，采用重力砂型鑄造，鑄件材質為純鋁，針對Benchmark件進行充型過程流動場數(shù)值模擬，并將模擬結果與實驗結果進行比對，發(fā)現(xiàn)模擬結果與實驗觀察結果基本吻合，說明本文所開發(fā)的基于FDM充型過程流動場數(shù)值模擬程序是正確的。

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