劉廣瑞 吳曉鈴 陳 園 虞正平

1.鄭州大學(xué)，鄭州，450001 2.重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044 3.北方重工集團公司，沈陽，110860

0 引言

自20世紀(jì)80年代以來，柔性結(jié)構(gòu)的運動學(xué)、動力學(xué)與控制問題的研究受到了國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注［1－8］?？偟膩碚f，該領(lǐng)域的研究分為動力學(xué)、控制方法、結(jié)構(gòu)設(shè)計三個方面，研究的目標(biāo)可以歸結(jié)為柔性臂末端位置彈性振動的抑制。柔性機械臂動力學(xué)建模與仿真的研究涉及航空航天、機器人、土木工程等許多應(yīng)用領(lǐng)域。文獻(xiàn)［9－12］用各種方法建立了柔性機械臂的動力學(xué)模型。柔性機械臂控制的研究主要集中在各種控制方法在柔性機械臂振動抑制中的應(yīng)用［13－16］。柔性機械臂本身的一些動力學(xué)參數(shù)，如末端質(zhì)量和驅(qū)動關(guān)節(jié)慣量等，對柔性機械臂的彈性運動有重要影響，但這方面的研究卻較少。滕悠優(yōu)［17］研究了末端附加質(zhì)量位置對響應(yīng)頻率特性的影響，得出了一些有益結(jié)論。但是，相關(guān)研究仍然不夠深入和系統(tǒng)。

在國外，從動力學(xué)建模和控制方法角度研究柔性機械臂的例子比較多，但從機械設(shè)計角度研究柔性機械臂的例子比較少。文獻(xiàn)［18－20］用有限元方法和反饋線性化方法研究了柔性機械臂的動態(tài)載荷負(fù)載能力問題，提出了計算柔性機械臂最大許用載荷的方法，認(rèn)為柔性機械臂末端位置質(zhì)量有一上限，超過這一上限，柔性機械臂的運動精度和運動穩(wěn)定性會受到影響。

本文在建立末端有集中質(zhì)量的柔性機械臂的動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，對無限維的動力學(xué)模型進行了截斷。在選取了狀態(tài)和輸出后，建立了柔性機械臂的狀態(tài)空間表達(dá)式，并推導(dǎo)出以驅(qū)動力矩為輸入、以末端位置彈性振動為輸出的柔性機械臂系統(tǒng)傳遞函數(shù)。用勞斯判據(jù)判斷了系統(tǒng)穩(wěn)定性，得到了柔性機械臂系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，建立了末端位置彈性運動穩(wěn)定性判據(jù)。在穩(wěn)定判據(jù)的基礎(chǔ)上，用MATLAB計算和推理，分析研究了末端附加質(zhì)量和驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量對末端位置彈性振動穩(wěn)定性的影響。

1 柔性機械臂的動力學(xué)模型

1.1 末端有集中質(zhì)量的柔性機械臂動力學(xué)模型的建立

本節(jié)用拉格郎日方程建立了單連桿柔性機械臂的動力學(xué)模型。實驗和計算所用柔性機械臂的有關(guān)參數(shù)如下：材質(zhì)為45鋼，全長1009mm，加持長 100mm，懸 伸 長 909mm，寬 48.5mm，厚3.8mm，密度為 7.8×103kg／m3，彈性模量為210GPa。

圖1所示的柔性機械臂的末端載有一個集中質(zhì)量塊，即mt≠0。此處柔性機械臂系統(tǒng)的總動能Ek包括電動機轉(zhuǎn)子和夾頭的動能Ek1、柔性機械臂本身的動能Ek2、末端集中質(zhì)量塊所攜帶的動能Ek3，因此有

電動機轉(zhuǎn)子和夾頭的動能為

式中，It為驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量，包括電動機轉(zhuǎn)子和剛性夾頭的轉(zhuǎn)動慣量。

圖1 末端有集中質(zhì)量的某單連桿柔性機械臂示意圖

柔性機械臂本身的動能為

式中，ρ為機械臂材料密度；A為機械臂橫截面面積；l為機械臂的縱向長度；x為機械臂縱向位置變量；w為縱向位置x處在時刻t的彈性變形量，是w（x，t）的簡寫；θ為t時刻機械臂的剛性轉(zhuǎn)角。

末端集中質(zhì)量塊所攜帶的動能為

彎曲變形彈性勢能為

拉格郎日函數(shù)為

考慮到小變形、邊界條件及其變化、模態(tài)型函數(shù)等因素，用假設(shè)模態(tài)法對拉格郎日函數(shù)進行簡化，得到

式中，Πi為第i階振型的廣義剛度；γi為積分系數(shù)；φi、φj為柔性機械臂彈性運動的第i階、第j階模態(tài)型函數(shù)；qi、qj為柔性機械臂彈性運動的第i階、第j階廣義模態(tài)坐標(biāo)。

列寫拉格朗日方程并化簡，得到：

式中，Mi為第i階振型的廣義質(zhì)量；τ為力矩。

在式（8）、式（9）中加入結(jié)構(gòu)阻尼：

式中，ξi為柔性機械臂第i階彈性模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼；ωi為第i階模態(tài)固有頻率。

寫成矩陣形式：

1.2 模態(tài)截斷技術(shù)與模型降階

利用文獻(xiàn)［4］中介紹的模型降階方法，根據(jù)本例的實際情況，取二階彈性模態(tài)，得到末端有集中質(zhì)量的平面單連桿柔性機械臂動力學(xué)模型，形如式（12），其中的變量變?yōu)?/p>

驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量It＝0.3664kg·m2，材料密度與截面積的乘積ρA＝1.4375kg／m，柔性臂的長度l＝0.909m，彈性模量E＝210GPa，截面慣性矩I＝2.22×10－10m3，取末端質(zhì)量mt＝2kg，得到式（12）中的矩陣M、R、K：

慣量矩陣M中每個元素的單位是kg·m2；阻尼矩陣R中每個元素的單位是N·s／m，剛度矩陣K中每個元素的單位是N／m。

2 狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)

2.1 狀態(tài)空間表達(dá)式

選取狀態(tài)變量：

取末端位置彈性振動為輸出，即取y＝w（l，t）＝φ1（l）q1（t）＋φ2（l）q2（t）為輸出。得到如下狀態(tài)空間表達(dá)式：

2.2 傳遞函數(shù)

以柔性機械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩u為輸入，以末端位置彈性振動y為輸出，用MATLAB的Control Toolbox中的控制模型轉(zhuǎn)換函數(shù)，編寫簡單的程序就可得到如下傳遞函數(shù)：

用MATLAB繪出如圖2、圖3所示的階躍響應(yīng)曲線。對比圖2、圖3可知，增加末端附加質(zhì)量使末端彈性運動的穩(wěn)定性降低。

圖2 有末端附加質(zhì)量時的末端位置階躍響應(yīng)

圖3 無末端附加質(zhì)量時的末端位置階躍響應(yīng)

3 末端質(zhì)量變化對末端振動的影響

從計算的結(jié)果來看（與無末端附加質(zhì)量的情形對比），末端集中質(zhì)量的存在使柔性機械臂彈性振動的穩(wěn)定性變差，并有可能使使之失穩(wěn)。上面的計算是以末端質(zhì)量取2kg得到的，據(jù)此有理由相信，應(yīng)該存在一個使柔性機械臂彈性運動穩(wěn)定的最大末端位置質(zhì)量，超過該質(zhì)量便會失穩(wěn)，可是如何得到這個臨界質(zhì)量呢？下面對此進行探討。

探討的總體思路是：要得到系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界質(zhì)量，首先要得到系統(tǒng)穩(wěn)定的判別式（判別式包含末端位置附加質(zhì)量的表達(dá)式），然后通過解析或計算的方法分析末端位置附加質(zhì)量對穩(wěn)定性的影響。所以，分析的具體步驟是：①進行符號運算，得到包含末端附加質(zhì)量的狀態(tài)空間表達(dá)式；②將該狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)表達(dá)式；③構(gòu)造勞斯表；④根據(jù)勞斯判據(jù)得到輸入輸出穩(wěn)定的充要條件（穩(wěn)定判別式）；⑤由判別式分析計算末端位置附加質(zhì)量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到臨界穩(wěn)定質(zhì)量（保證末端位置彈性振動穩(wěn)定的最大末端位置質(zhì)量）。在該階段的分析中，假定驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量Id保持不變。

3.1 狀態(tài)空間表達(dá)式

選取狀態(tài)變量：

控制輸入：

輸出變量：

得到狀態(tài)空間表達(dá)式：

用MATLAB符號推理功能，得到A、B中的各個元素：

3.2 推求傳遞函數(shù)的符號表達(dá)式

借助MATLAB的符號推理功能得到傳遞函數(shù)的符號表達(dá)式：

將傳遞函數(shù)的分母（決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的系統(tǒng)的特征多項式）進一步改寫為

3.3 構(gòu)造勞斯表

按照勞斯判據(jù)，構(gòu)造勞斯表（表1）。

表1 勞斯表

3.4 根據(jù)勞斯判據(jù)得到輸入輸出穩(wěn)定的充要條件

經(jīng)過仔細(xì)分析得到了保證以驅(qū)動力矩為輸入、以末端位置彈性振動為輸出的柔性臂控制系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定的充要條件。

穩(wěn)定性準(zhǔn)則1：

穩(wěn)定性準(zhǔn)則2：

3.5 末端位置附加質(zhì)量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

分析計算方法思路：借助MATLAB，令末端質(zhì)量mt從0開始以一定步長不斷增加直至上限，在此過程中不斷計算參數(shù)ki、ωi、φi、Mi、Πi、γi，判斷式（18）、式（19）是否成立。若成立，則繼續(xù)循環(huán)，否則停止運算，記下此時的mt，此值即是mt的穩(wěn)定上限，超過此值系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定。程序如4所示。

運行結(jié)果如下：

（1）柔性機械臂存在末端附加質(zhì)量時，特征值、固有頻率、型函數(shù)發(fā)生變化，模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度也相應(yīng)發(fā)生變化。

圖4 用MATLAB計算流程圖

（2）mt≠0情況下，mt對特征值、固有頻率、型函數(shù)、模態(tài)剛度沒有影響，但對模態(tài)質(zhì)量有影響，即mt對特征值ki、模態(tài)固有頻率ωi、模態(tài)型函數(shù)φi、模態(tài)剛度系數(shù)γi及模態(tài)剛度Πi沒有影響，但對模態(tài)質(zhì)量Mi有影響。這一點非常重要。

（3）存在一個末端質(zhì)量區(qū)域，使柔性機械臂在該區(qū)域內(nèi)輸入輸出穩(wěn)定。

（4）第一個條件（式（18））不一定滿足，第二個條件（式（19））總滿足。

（5）驅(qū)動電動機的轉(zhuǎn)子及夾頭處的總的轉(zhuǎn)動慣量對輸入輸出穩(wěn)定性有較大的影響。這個慣量越大，穩(wěn)定的區(qū)域越大。圖5～圖8中的驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量It分別為0.3664kg·m2、0.5kg·m2、1kg·m2、1.5kg·m2。

圖5 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝0.3664kg·m2）

圖6 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝0.5kg·m2）

3.6 轉(zhuǎn)動慣量變化對末端位置彈性振動的影響

由圖5～圖8可知，驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量It為0.3664kg·m2、0.5kg·m2、1kg·m2、1.5kg·m2時，對應(yīng)末端位置彈性振動穩(wěn)定的末端附加質(zhì)量上限分別約為0.1kg、0.1kg、0.5kg、0.9kg?？梢?，驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量越大，末端位置彈性振動穩(wěn)定的末端附加質(zhì)量上限越高。

圖7 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝1.0kg·m2）

圖8 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝1.5kg·m2）

4 結(jié)論

（1）柔性機械臂的末端附加質(zhì)量對其末端位置彈性振動是有影響的。

（2）末端附加質(zhì)量的大小對特征值、固有頻率、型函數(shù)、模態(tài)剛度沒有影響，對模態(tài)質(zhì)量有影響。

（3）末端附加質(zhì)量存在一個上限，超過這個上限，柔性機械臂末端位置彈性振動將會失穩(wěn)。該上限與該機械臂的驅(qū)動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量越大，末端附加質(zhì)量的上限越高。

（4）上述驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量和末端位置附加質(zhì)量可以通過建立柔性機械臂末端位置彈性運動穩(wěn)定性判據(jù)來計算。

［1］屈維德.機械振動手冊［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1992.

［2］歐進萍.結(jié)構(gòu)振動控制——主動、半主動和智能控制［M］.北京：科學(xué)出版社，2003.

［3］胡少偉，苗同臣.結(jié)構(gòu)振動理論及其應(yīng)用［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2005.

［4］劉廣瑞.柔性機械臂振動主動控制理論分析、仿真與實驗的研究［D］.天津：天津大學(xué)，1998.

［5］解福泉.關(guān)于主動式汽車空氣懸架的控制技術(shù)研究［J］.交通標(biāo)準(zhǔn)化，2006（8）：138－141.Xie Fuquan.Study on Control Technology of Vehicle Active Air Suspension［J］.Communications Standardization Issue，2006（8）：138－141.

［6］章青.數(shù)控機床定位誤差建模參數(shù)辯識及補償技術(shù)的研究［D］.天津：天津大學(xué)，1995.

［7］崔玲麗，高立新，張建宇，等.柔性機械臂結(jié)構(gòu)控制一體化設(shè)計［J］.北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2007，33（8）：791－795.Cui Lingli，Gao Lixin，Zhang Jianyu，et al.Integrated Structure and Control Design for Flexible Manipulator System［J］.Journal of Beijing University of Technology，2007，33（8）：791－795.

［8］金在權(quán)，任正權(quán)，郭越.端部帶集中質(zhì)量彈性機械臂Rayleigh梁建模［J］.延邊大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，29（4）：242－245.Jin Zaiquan，Ren Zhenquan，Guo Yue.Carrying a Flexibility for Taking the Quantity of Concentration Machine Arm Rayleigh Beam Sets Up the Mold［J］.Journal of Yanbian University （Natural Science），2003，29（4）：242－245.

［9］孫占庚，金國光，常志，等.基于Kane法的柔性機械臂系統(tǒng)動力學(xué)建模及其模態(tài)截取研究［J］.天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2009，28（4）：61－63.Sun Zhangen，Jin Guoguang，Chang Zhi，et al.Research of Dynamic Modeling of Flexible Manipulator System Based on Kane’s Method and Its Mode Interception［J］.Journal of Tianjin Polytechnic University，2009，28（4）：61－63.

［10］崔玲麗，張建宇，高立新，等.柔性機械臂系統(tǒng)動力學(xué)建模的研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2007，19（6）：1205－1208.Cui Lingli，Zhang Jianyu，Gao Lixin，et al.Research on Dynamic Modeling of Flexible Manipulator System［J］.Journal of System Simulation，2007，19（6）：1205－1208.

［11］戎保，芮筱亭，楊富鋒，等.受控柔性機械臂動力學(xué)建模仿真［J］.振動工程學(xué)報，2009，22（2）：168－174.Rong Bao，Rui Xiaoting，Yang Fufeng，et al.Dynamics Modeling and Simulation for Controlled Flexible Manipulator［J］.Journal of Vibration Engineering，2009，22（2）：168－174.

［12］李冬寧，趙雁，沈鋮武，等.一種雙連桿柔性臂動力學(xué)模型的研究［J］.測控技術(shù)，2009，28（12）：40－43.Li Dongning，Zhao Yan，Shen Chengwu，et al.Research on Dynamic Modeling for Flexible Link Manipulators［J］.Measurement and Control Technology，2009，28（12）：40－43.

［13］帥鑫，李艷君，吳鐵軍.一種柔性機械臂末端軌跡跟蹤的預(yù)測控制算法［J］.浙江大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版），2010，44（2）：259－264.Shuai Xin，Li Yanjun，Wu Tiejun.Real Time Predictive Control Algorithm for Endpoint Trajectory Tracking of Flexible Manipulator［J］.Journal of Zhejiang University（Engineering Science），2010，44（2）：259－264.

［14］曹小濤，李元春.受時變約束柔性臂魯棒RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)力／位置控制［J］.控制與決策，2007，22（9）：977－982.Cao Xiaotao，Li Yuanchun.Robust RBF Neural Network Force／Position Control of Time Varying Constrained Flexible Manipulator［J］.Control and Decision，2007，22（9）：977－982.

［15］余躍慶，周剛，方道星.基于模糊PID融合的柔性機械臂振動壓電主動控制研究［J］.中國機械工程，2008，19（5）：1837－1841.Yu Yueqing，Zhou Gang，F(xiàn)ang Daoxing.Active Vibration Control for Flexible Piezoelectric Manipulator Based on Fuzzy－PID Fusion Control［J］.China Mechanical Engineering，2008，19（5）：1837－1841.

［16］樓曉春，陳華凌.柔性機械臂的迭代學(xué)習(xí)控制研究［J］.現(xiàn)代制造工程，2010（6）：136－139.Lou Xiaochun，Chen Hualing.Research on Iterative Learning Control for Flexible Manipulator［J］.Modern Fabrication Engineering，2010（6）：136－139.

［17］滕悠優(yōu).柔性機械臂的主動控制與實驗研究［D］.上海：上海交通大學(xué)，2007.

［18］Korayem M H，Heidari A，Nikoobin A.Maximum Allowable Dynamic Load of Flexible Mobile Manipulators Using Finite Element Approach［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2008，36（9／10）：606－617.

［19］Heidari A，Nikoobin A.Maximum Allowable Dynamic Load of Flexible Manipulators with Imposing Residual Vibration Constraint［C］／／Proceedings of the 2007IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics.Sanya，China，2007：1457－1462.

［20］Korayem M H，F(xiàn)irouzy S，Heidari A.Dynamic Load Carrying Capacity of Mobile－base Flexible－link Manipulators：Feedback Linearization Control Approach［C］／／Proceedings of the 2007IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics.Sanya，China，2007：2172－2177.