竇玉超 姚建濤 侯雨雷 趙永生

1.燕山大學河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，066004

2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

0 引言

為實現(xiàn)65m射電望遠鏡波段轉換和副面指向誤差修正，在副面與桁架之間加裝了Stewart型并聯(lián)調整機構。該機構具有一定的運動容錯能力，可提高射電望遠鏡的可靠性。

關于機器人的運動容錯方法，Monteverde等［1］提出了在并聯(lián)機器人驅動分支上安裝冗余電機或冗余驅動分支的方法進行容錯。Yi等［2］將并聯(lián)機構失效形式分為位置失效、轉矩失效、硬件失效，分析了3種失效對機構運動學的影響，采用工作空間冗余和運動學冗余的方法實現(xiàn)了機構容錯。Notash等［3］將并聯(lián)機構的失效形式分為運動失效、驅動失效、傳感器失效，分別給出了相應的容錯策略。Li等［4］對串聯(lián)機器人的冗余驅動關節(jié)在容錯運動過程中的軌跡規(guī)劃問題進行了研究。Hassan等［5］在各分支上添加冗余驅動關節(jié)，實現(xiàn)了并聯(lián)機器人的運動容錯。通過冗余驅動或冗余自由度實現(xiàn)串聯(lián)機器人容錯的研究較多，但將冗余自由度用于并聯(lián)機器人容錯研究并進行應用的報道較少。使用該容錯方法得到的工作空間受故障分支長度約束，將小于其正常工作空間，因此精確的工作空間計算方法和邊界識別策略是提高容錯效果的重要手段。徐剛等［6］采用并聯(lián)機構在36個特定方向上運動范圍的交集對不同機構工作空間的大小進行評價，忽略了姿態(tài)和運動副干涉對工作空間的影響。李保坤等［7］將并聯(lián)機器人非奇異工作空間的內切球作為其實際工作空間，縮小了機器人實際工作范圍。Wang等［8］采用統(tǒng)一算法對并聯(lián)機器人的可達工作空間和靈活工作空間的計算方法進行了研究。榮譽等［9］研究了六足機器人的（U＋UPR）P＋UPS型腿部結構參數(shù)對其工作空間性能的影響。袁立鵬等［10］建立了并聯(lián)機器人機構尺寸參數(shù)與工作空間的數(shù)學關系。劉欣等［11］進行了欠約束、完全約束、冗余約束3種情況下的一致工作空間存在的證明并得到了求解策略。上述文獻研究了結構參數(shù)對工作空間大小的影響，卻忽視了不規(guī)則工作空間邊界識別方法對機構實際工作范圍的影響。

針對如何實現(xiàn)并聯(lián)機構運動容錯和工作空間邊界識別的問題，首先分析了單分支驅動故障對機構自由度的影響，提出利用冗余自由度進行容錯的原理，對比了在L波段和S波段指向發(fā)生故障時機構可實現(xiàn)的極限工作空間，提出了工作空間不規(guī)則邊界的識別方法，實現(xiàn)了不規(guī)則工作空間邊界對機構運動范圍的約束。

1 副面并聯(lián)調整機構容錯原理

1.1 并聯(lián)調整機構自由度分析

副面的Stewart型并聯(lián)調整機構結構如圖1所示。該并聯(lián)調整機構由固定平臺、運動平臺及連接固定平臺和運動平臺的6個驅動分支組成。每個分支由胡克鉸（U副）、移動副（P副）及球鉸（S副）依次連接而成。其中，胡克鉸Bi與固定平臺相連，球鉸bi與運動平臺相連，移動副為驅動副。分別在固定平臺和動平臺平面內中心點建立直角坐標系oxyz、o1x1y1z1，y軸與 ∠B1oB2的角平分線重合，y1軸與 ∠b1ob2的角平分線重合，z軸、z1軸分別垂直于固定平臺、動平臺平面豎直向上，坐標系o1x1y1z1相對坐標系oxyz的位姿即為動平臺位姿。

圖1 并聯(lián)調整機構簡圖

當分支Bibi驅動發(fā)生故障導致驅動副P鎖死成為定長桿時，故障分支可等效為US結構，而其他分支均具有6個自由度，所以動平臺的自由度取決于故障分支的自由度。為分析故障分支的自由度，建立該分支的運動螺旋系，如圖2所示。

任意位姿下故障分支的運動螺旋系為

圖2 故障分支運動螺旋系

式中，l為發(fā)生故障時的分支長度；qs、ms、ns分別為運動副s軸線單位矢量的分量，s＝1，2，…，5。

由故障分支的運動螺旋系可得其反螺旋：

＄r表示一個沿（q3，m3，n3）方向的約束力螺旋。該約束力螺旋軸線與分支桿軸線重合，由此表明該故障分支約束了動平臺沿桿長方向的瞬時移動自由度。

1.2 基于冗余自由度的容錯原理

假設分支Bibi發(fā)生故障時桿長為l，動平臺期望位姿為動坐標系o1x1y1z1相對固定坐標系oxyz的位姿：

式中，AP、［γ β 0］分別為坐標系o1x1y1z1相對坐標系oxyz的位置和姿態(tài)。

以X－Y－Z歐拉角表示坐標系o1x1y1z1相對坐標系oxyz的旋轉變換，變換矩陣為

則球鉸bi（i＝1，2，…，6）在坐標系oxyz下的位置矢量可表示為

式中，bi為第i個球鉸在坐標系o1x1y1z1下的位置。

可求得分支Bibi運動學反解：

式中，Bi為第i個胡克鉸在坐標系oxyz下的位置。

顯然，當li≠l時，動平臺無法到達期望位姿。但因動平臺繞其軸線z1的轉動并不影響副面指向，故可將動平臺繞z1軸轉動α，如圖3所示。

圖3 并聯(lián)調整機構容錯原理圖

調整后動平臺位姿為動坐標系o′1x′1y′1z′1在固定坐標系oxyz下所表示的位姿：

將式（3）所表示的位姿代入式（2），可求得調整后分支Bibi運動學反解：

式中，b″i為坐標系o′1x′1y′1z′1所示位姿下球鉸在坐標系oxyz下的位置。

令l′i＝l，可求得轉角α與期望位姿以及桿長l的函數(shù)關系：

將式（3）所表示的位姿、式（4）代入式（2），可求得并聯(lián)機構在位姿AP′下的運動學反解：

基于冗余自由度的并聯(lián)調整機構容錯原理可總結為：根據(jù)動平臺期望位置AP和故障分支桿長l，將動平臺繞z1軸轉動α，使得調整后的動平臺位姿AP′所對應的故障分支運動學反解與分支發(fā)生故障時的桿長相等，并按照調整后動平臺位姿分別計算其他分支的運動學反解。因動平臺繞z1軸轉動并不影響副面指向，故可利用式（5）進行并聯(lián)機構的運動學反解計算，為實現(xiàn)并聯(lián)調整機構的容錯運動提供理論支撐。

2 容錯情況下工作空間分析與邊界識別

2.1 容錯情況下工作空間對比分析

容錯情況下，并聯(lián)調整機構所能實現(xiàn)的工作空間是否滿足副面指向調整的需要，決定著能否將上述容錯原理應用于實際工作，因此需要進行并聯(lián)調整機構容錯情況下的工作空間計算。

首先根據(jù)射電望遠鏡的方向圖對副面位姿進行校正，從而獲得射電望遠鏡主反射面基準俯仰角（50°）及極限俯仰角（5°和90°），射電望遠鏡在S波段和L波段副面的位姿如表1所示。

表1 副面位姿調整范圍

由表1可以看出，射電望遠鏡工作在S波段和L波段時，主反射面俯仰角從5°至90°調整過程中，副面位置調整范圍均為：5.140mm≤x≤5.956mm，0.751mm≤y≤62.110mm，11.410mm≤z≤31.607mm。但副面姿態(tài)調整范圍并不一致，S波段：0.018 68°≤γ≤0.146 35°，－0.072 91°≤β≤－0.071 36°。L波段：3.968 68°≤γ≤4.096 35°，－0.072 91°≤β≤－0.071 36°（姿態(tài)是多個角度的耦合，就單個角度而言確實沒有變化，但對于姿態(tài)來說是不相同的）。由于副面具有軸對稱性，故繞副面軸線轉動的α角沒有發(fā)生變化。以上的副面位姿調整范圍即為保證射電望遠鏡正常工作所需并聯(lián)調整機構工作空間。

為了計算容錯情況下并聯(lián)調整機構的工作空間，以初始位姿下動坐標系原點為中心，劃定涵蓋工作空間的立方體區(qū)域，將其離散成有限個小立方體的集合。以小立方體的頂點作為目標點，以（i，j，k）（i，j，k＝1，2，…，n）表示目標點在工作空間中的位置序列。在每個目標點處對并聯(lián)調整機構姿態(tài)逐一進行賦值，采用上一節(jié)提出的容錯原理進行運動學反解計算，并將分支桿是否超出行程，胡克鉸、球鉸和分支桿間是否發(fā)生干涉作為判斷目標點是否在工作空間內的依據(jù)。所有可到達的小立方體頂點覆蓋的空間區(qū)域即為并聯(lián)調整機構在容錯情況下的工作空間。該工作空間的搜索流程如圖4所示。

使用上述工作空間計算方法對射電望遠鏡工作在S波段和L波段并聯(lián)調整機構故障后的極限工作空間進行計算。工作在S波段時，最小、最大工作空間分別發(fā)生在2號分支長度為2346.267mm和3號分支長度為2417.517mm時。工作在L波段時，最小、最大工作空間分別發(fā)生在6號分支長度為2318.640mm和4號分支長度為2487.044mm時，將調整機構故障后工作空間與其正常工作空間進行對比，如圖5所示?？梢姽收锨闆r下使用容錯原理獲得的工作空間明顯小于正常工作空間，且均發(fā)生部分邊界超出正常工作空間的現(xiàn)象。這是由于故障情況下動平臺為到達期望位姿繞自身軸線進行轉動調整，使得并聯(lián)機構在該方向上運動范圍增大。

圖4 容錯工作空間計算

如圖6所示，將射電望遠鏡工作在S波段和L波段時并聯(lián)機構發(fā)生單分支驅動故障后可實現(xiàn)的最小工作空間與保障射電望遠鏡正常工作時副面的調整范圍進行對比分析。從圖6可以看出，L波段和S波段故障情況下的最小工作空間存在交集，且該交集完全涵蓋了保障射電望遠鏡正常工作副面所需的調整范圍，即機構在任意位姿下發(fā)生故障后，采用容錯方法所實現(xiàn)的工作空間均能滿足副面指向調整的需要。

2.2 工作空間邊界識別

為實現(xiàn)對工作空間邊界的識別，在利用前述工作空間計算方法獲得的工作空間基礎上，計算目標點p與工作空間中所有小立方體頂點（xi，yi，zi）的距離，通過判斷與點p 距離最近的小立方體頂點pijk是否位于工作空間內，實現(xiàn)對點p是否位于工作空間內的判斷。點p、點pijk、工作空間之間的相對位置關系如圖7所示。

圖5 故障情況下工作空間與正常工作空間對比

圖6 最小工作空間與副面調整范圍

圖7a中，最近點pijk為工作空間范圍內相鄰8個小立方體的公共頂點，因點p與pijk之間的距離小于小立方體的體對角線長度的一半，因此點p必位于某個小立方體的內部，即位于工作空間范圍內。圖7b～圖7d給出了其他3種目標點p、最近點pijk、工作空間的相對位置關系，在這3種情況下，點p可能在工作空間內與點pijk最近，也可能在工作空間外與點pijk最近，分別在p0和p′0所示位置。對應此類情況，安全起見，認為點p位于工作空間范圍外。即只有最近點pijk為8個相鄰小立方體的公共頂點時，才視目標點p位于工作空間范圍內。

圖7 目標點與工作空間邊界關系

使用上述方法對工作空間邊界進行識別，其精確程度取決于在進行工作空間計算時離散的小立方體棱長，該值越小，對工作空間邊界的識別精度越高。

3 并聯(lián)調整機構容錯運動實驗

65m射電望遠鏡已于2012年10月落成并投入使用，其副面并聯(lián)調整機構如圖8所示。為驗證本文所提出的容錯原理的有效性，進行了現(xiàn)場實驗。

實驗模擬機構在2號分支長度為2346.267mm時發(fā)生故障，要求射電望遠鏡俯仰角從5°調整至90°，副面位姿從

調整到

以實現(xiàn)饋源由S波段到L波段的切換。

副面從位姿A調整到位姿B的過程中采用直線軌跡進行過渡，使用本文提出的單分支驅動故障容錯原理對并聯(lián)機構的運動學進行計算，實現(xiàn)副面位姿的調整。

由于并聯(lián)調整機構安裝在近70m的高空，現(xiàn)有測量設備難以實現(xiàn)對如此遠距離目標的精確測量。為了驗證副面是否按照預定運動軌跡到達指定位姿，在并聯(lián)調整機構運動過程中采集各驅動分支桿長傳感器磁尺反饋的數(shù)據(jù)，如圖9所示。采用運動學正解對調整機構運動過程中副面的位置和姿態(tài)進行計算，計算結果分別如圖10、圖11所示。

圖9 并聯(lián)調整機構運動學反解

從圖10、圖11所示的副面位姿調整過程可以看出，副面并未按照設計的起止位姿進行調整，而是從位姿

調整到

圖10 副面位置調整過程

圖11 副面姿態(tài)調整過程

副面繞與自身軸線重合的z1軸從－2.284 00°轉動至0.612 10°，其他5個自由度方向的調整與預期設計的調整過程一致。由于副面繞與自身軸線重合的z1軸轉動，副面指向并不發(fā)生改變，所以并聯(lián)調整機構按照預定軌跡實現(xiàn)了對副面位姿的調整。

4 結語

本文以確保上海65m射電望遠鏡副面并聯(lián)調整機構正常運行為目的，分析了調整機構單分支驅動故障對機構自由度的影響，提出了利用冗余自由度實現(xiàn)容錯運動的方法，并對故障后可實現(xiàn)的容錯運動范圍進行了計算分析；實現(xiàn)了對機構不規(guī)則工作空間邊界的識別，避免了設備超出工作空間造成的損壞；實驗證明了所提出容錯原理的有效性，成功實現(xiàn)副面位姿的調整，提高了射電望遠鏡運行的可靠性。

［1］Monteverde V，Tosunoglu S.Development and Application of a Fault Tolerance Measure for Serial and Parallel Robotic Structures［J］.International Journal of Modelling ＆Simulation，1999，19（1）：45－51.

［2］Yi Yong，McInroy J E，Chen Yixin.Fault Tolerance of Parallel Manipulators Using Task Space and Kinematic Redundancy［J］.IEEE Transactions on Robotics，2006，22（5）：1017－1021.

［3］Notash L，Huang Li.On the Design of Fault Tolerant Parallel Manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，2003，38：85－101.

［4］Li Kene，Zhang Yunong.Fault－tolerant Motion Planning and Control of Redundant Manipulator［J］.Control Engineering Practice，2012，20：282－292.

［5］Hassan M，Notash L.Optimizing Fault Tolerance to Joint Jam in the Design of Parallel Robot Manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，2007，42：1401－1417.

［6］徐剛，楊世模.Gough－Stewart平臺機構的普適工作空間及其幾何求解［J］.光學精密工程，2008，16（2）：257－264.Xu Gang，Yang Shimo.Universal Workspace Characteristics of Gough－Stewart Platform and Its Analytic Solution［J］.Optics and Precision Engineering，2008，16（2）：257－264.

［7］李保坤，曹毅，黃真，等.基于單位四元數(shù)的Stewart機構姿態(tài)工作空間研究［J］.機器人，2008，30（4）：353－358.Li Baokun，Cao Yi，Huang Zhen，et al.Orientation Workspace Analysis of Stewart Platform Based on Unit Quaternion［J］.Robot，2008，30（4）：353－358.

［8］Wang Zhongfei，Ji Shiming，Li Yanbiao，et al.A Unified Algorithm to Determine the Reachable and Dexterous Workspace of Parallel Manipulators［J］.Robotics and Computer－Integrated Manufacturing，2010，26：454－460.

［9］榮譽，金振林，曲夢可.六足步行機器人的并聯(lián)機械腿設計［J］.光學精密工程，2012，20（7）：1532－1541.Rong Yu，Jin Zhenlin，Qu Mengke.Design of Parallel Mechanical Leg of Six－legged Robot［J］.Optics and Precision Engineering，2012，20（7）：1532－1541.

［10］袁立鵬，趙克定，許宏光.Stewart平臺鉸點工作空間的研究［J］.航空學報，2006，27（5）：979－984.Yuan Lipeng，Zhao Dingke，Xu Hongguang.Study on Vertex Space of Stewart Platform［J］.Acta Aeronauticaet Asronautica Sinica，2006，27（5）：979－984.

［11］劉欣，仇原鷹，盛英.繩牽引并聯(lián)機器人工作空間的存在條件證明及一致求解策略［J］.機械工程學報，2010，46（7）：27－34.Liu Xin，Qiu Yuanying，Sheng Ying.Proofs of Existence Conditions for Workspaces of Wire－driven Parallel Robots and a Uniform Solution Strategy for the Workspaces［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2010，46（7）：27－34.