趙萬忠 王春燕 張宗強(qiáng) 于蕾艷 趙 婷

1.南京航空航天大學(xué)，南京，210016 2.中國石油大學(xué)，青島，266580

0 引言

電動(dòng)輪汽車采用輪轂電機(jī)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)技術(shù)，通過控制左右車輪差速轉(zhuǎn)矩，可實(shí)現(xiàn)新型差速轉(zhuǎn)向。在電動(dòng)輪汽車基礎(chǔ)上，發(fā)展一種新型差速轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，使其同時(shí)融合主動(dòng)轉(zhuǎn)向和助力轉(zhuǎn)向功能，不僅能實(shí)現(xiàn)汽車輕便轉(zhuǎn)向和駕駛員滿意路感的完美融合，還能使汽車的安全性與靈活性協(xié)調(diào)統(tǒng)一，是一種理想的動(dòng)力轉(zhuǎn)向技術(shù)，具有廣闊的應(yīng)用前景［1－3］。

目前，國內(nèi)外有關(guān)電動(dòng)輪汽車的研究主要集中在動(dòng)力學(xué)建模與驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩控制方面。文獻(xiàn)［4］建立了電動(dòng)輪汽車整車模型、駕駛員模型和道路模型，對低附著路面和極限概況下的電動(dòng)輪汽車進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真，并將其與純電動(dòng)汽車進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明，電動(dòng)輪汽車具有更好的操縱穩(wěn)定性。道路試驗(yàn)也驗(yàn)證了電動(dòng)輪汽車在極限工況和低附著路面下的穩(wěn)定性和可靠性。文獻(xiàn)［5］根據(jù)電動(dòng)輪汽車驅(qū)動(dòng)／制動(dòng)力矩獨(dú)立可控的特點(diǎn)，采用層次化結(jié)構(gòu)的控制分配方法，對電動(dòng)輪汽車驅(qū)動(dòng)／制動(dòng)扭矩進(jìn)行了優(yōu)化控制來提高車輛的操縱穩(wěn)定性。

對電動(dòng)輪汽車的研究目前主要集中在電動(dòng)輪驅(qū)動(dòng)技術(shù)上，對差速助力轉(zhuǎn)向技術(shù)的研究還較少，有限的幾篇文獻(xiàn)主要探討差速轉(zhuǎn)向原理［6－7］。文獻(xiàn)［8］對電動(dòng)輪汽車差速技術(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了電動(dòng)輪汽車差速系統(tǒng)在各工況下的實(shí)際性能，但未針對轉(zhuǎn)向路感等轉(zhuǎn)向性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)或提出具體控制策略。文獻(xiàn)［9］設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)模擬退火算法來對差速轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向路感進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化，但并未對轉(zhuǎn)向路感進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。文獻(xiàn)［10］建立了差速轉(zhuǎn)向動(dòng)力學(xué)模型，提出了差速轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩控制（包括驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩分配控制和橫擺角速度反饋控制）策略，其仿真結(jié)果表明，該控制策略能讓汽車在不同工況下實(shí)現(xiàn)差速轉(zhuǎn)向。文獻(xiàn)所涉及的差速轉(zhuǎn)向系統(tǒng)雖具有差速功能，但未涉及動(dòng)力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的功能，如電動(dòng)助力轉(zhuǎn)向和主動(dòng)轉(zhuǎn)向功能。新型差速轉(zhuǎn)向不僅在結(jié)構(gòu)上能實(shí)現(xiàn)差速轉(zhuǎn)向功能，還可以通過控制系統(tǒng)的力與位移傳遞特性，使系統(tǒng)同時(shí)融合助力轉(zhuǎn)向和主動(dòng)轉(zhuǎn)向功能，實(shí)現(xiàn)駕駛員路感和汽車操縱穩(wěn)定性的協(xié)調(diào)統(tǒng)一，拓展傳統(tǒng)動(dòng)力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的功能。

本文建立了新型差速轉(zhuǎn)向及整車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，以魯棒控制理論為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了新型差速轉(zhuǎn)向H∞－PID魯棒控制器，研究了新型差速轉(zhuǎn)向路感控制機(jī)理。

1 新型差速轉(zhuǎn)向動(dòng)力學(xué)建模

1.1 整車三自由度模型

根據(jù)汽車轉(zhuǎn)向特性，汽車三自由度方程為［11］

式中，g為重力加速度；u為車速；ωr為橫擺角速度；m為整車質(zhì)量；ms為簧載質(zhì)量；δ為前輪轉(zhuǎn)向角；α1為前輪側(cè)偏角；α2為后輪側(cè)偏角；φ為車身側(cè)傾角；β為質(zhì)心側(cè)偏角；l為兩前輪之間的距離；a為汽車質(zhì)心至前軸的距離；b為汽車質(zhì)心至后軸的距離；h為側(cè)傾力臂；Ix為懸掛質(zhì)量對X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Iz為汽車質(zhì)量對Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ixz為懸掛質(zhì)量對X、Z軸的慣性積；E1為前側(cè)傾轉(zhuǎn)向系數(shù)；E2為后側(cè)傾轉(zhuǎn)向系數(shù)；Cφ1為前懸架側(cè)傾角剛度；Cφ2為后懸架側(cè)傾角剛度；D1為前懸架側(cè)傾角阻尼；D2為后懸架側(cè)傾角阻尼；k1為前輪側(cè)偏剛度；k2為后輪側(cè)偏剛度；F1、F2為左右車輪的驅(qū)動(dòng)力。

1.2 輪轂電機(jī)模型

將三相永磁無刷直流輪轂電機(jī)作為電動(dòng)輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)，則電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩可表示為

式中，Ka為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；iA為電機(jī)電流。

左右輪轂電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩可分別表示為

式中，T1、T2分別為左右轉(zhuǎn)向輪的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩。

1.3 輸出軸子模型

對轉(zhuǎn)向柱輸出軸及電機(jī)輸出軸進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到：

對左右轉(zhuǎn)向輪進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可得

式中，rw為車輪滾動(dòng)半徑；Im為考慮輪轂電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的電動(dòng)輪等效質(zhì)量；ω1、ω2分別為左右轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

車輪在牽引力控制的作用下，滑轉(zhuǎn)率較小，車輪轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度也可以忽略，則ΔTm可進(jìn)一步表示為

式中，d為輪胎拖距。

1.4 輸入軸子模型

對轉(zhuǎn)向盤和轉(zhuǎn)向輸入軸進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到：

轉(zhuǎn)矩傳感器依靠扭桿的相對轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，扭桿受到的轉(zhuǎn)矩與扭桿的扭轉(zhuǎn)角度成正比：

式中，Ks為與輸入軸相連的扭桿的剛性系數(shù)；θh為輸入軸的轉(zhuǎn)角；θε為輸出軸的旋轉(zhuǎn)角。

1.5 齒輪齒條子模型

對齒條和小齒輪進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，可得

1.6 輪胎模型

假設(shè)輪胎的特性是線性的，并忽略轉(zhuǎn)向引起的側(cè)偏剛度變化，可得動(dòng)力學(xué)方程：

式中，Js1、Js2分別為左右轉(zhuǎn)向輪繞其主銷轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Bs1、Bs2分別為左右轉(zhuǎn)向輪的黏性阻尼系數(shù)；δ1、δ2分別為左右轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)向角；A為左右轉(zhuǎn)向輪繞主銷的回正阻尼系數(shù)；C為左右轉(zhuǎn)向輪繞主銷干摩擦因數(shù)。

2 路感控制策略

2.1 轉(zhuǎn)向路感

本文采用固定方向盤的方法來分析轉(zhuǎn)向路感：一方面，它能把路面干擾信息完全傳遞給駕駛員；另一方面，固定方向盤后，轉(zhuǎn)向盤和轉(zhuǎn)向輸入軸連為一體，減少了一個(gè)自由度，便于分析。

從輸出軸轉(zhuǎn)角到輸出軸所受阻力矩的傳遞函數(shù)：

式中，Km為左右輪轂電機(jī)轉(zhuǎn)矩差增益。

由轉(zhuǎn)向盤固定，可得

聯(lián)立式（11）、式（12），得到從輸出軸所受阻力矩到轉(zhuǎn)向盤輸入轉(zhuǎn)矩Th的傳遞函數(shù)（定義為轉(zhuǎn)向路感）：

2.2 LMI線性矩陣不等式

從理論上講，H∞控制理論可以在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，抑制外界干擾對被控對象的影響。該控制方法在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主動(dòng)控制中得到了廣泛的應(yīng)用，可以很好地滿足系統(tǒng)的跟蹤性能和魯棒穩(wěn)定性的要求。

對于扇形區(qū)域（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，扇角為2θ），矩陣值函數(shù)fD（z）滿足：

因而，實(shí)數(shù)矩陣A在扇形區(qū)域穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)正定矩陣Xi（i＝1，2，3），使得下列LMI成立［13］：

系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與其極點(diǎn)分布有很大的關(guān)系，系統(tǒng)能夠穩(wěn)定的充分必要條件是它的極點(diǎn)分布在復(fù)平面的左半平面。當(dāng)極點(diǎn)分布在一些特定的區(qū)域時(shí)，能夠刻畫系統(tǒng)一定的指標(biāo)S（α，γ，θ），如圖1所示。

位于這個(gè)區(qū)域的點(diǎn)z＝x＋j y，x＜－α＜0，｜x＋j y｜＜r，xtanθ＜－｜y｜。把極點(diǎn)配置在這個(gè)區(qū)能夠確保系統(tǒng)有很小的衰減度α，有最小的阻尼ζ＝cosθ，有最大的阻尼振蕩頻率ωd＝rsinθ。

圖1 扇形區(qū)域圖

2.3 H∞性能指標(biāo)

考慮線性時(shí)不變的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)［14］：

式中，x（t）表示系統(tǒng)的狀態(tài)，x（t）∈ Rn；w（t）表示外部擾動(dòng)輸入，w（t）∈ Rq；z（t）為系統(tǒng)期望輸出，z（t）∈ Rr。

由式（17）可得系統(tǒng)從ω到z的傳遞函數(shù)T（s）＝C（sI－A）－1B＋D，T（s）的H∞范數(shù)定義為其頻率響應(yīng)的最大奇異值的峰值，即

對于上述系統(tǒng)，設(shè)γ＞0是一個(gè)給定的常數(shù)，則以下條件是等價(jià)的：①系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定且‖T（s）‖＜γ；②存在一個(gè)對稱矩陣P＞0，使得

2.4 基于LMI的H∞魯棒PID路感控制

以路感函數(shù)為控制對象，對路感設(shè)計(jì)基于LMI的H∞魯棒PID控制器，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。其中，r為輸入；e為偏差量；u為控制輸入；w為零均值高斯白噪聲，其強(qiáng)度W ＞0，初始狀態(tài)x（0）與w 不相關(guān)；y為輸出；C（s）為PID控制器；E（s）為轉(zhuǎn)向路感的傳遞函數(shù)，本轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的路感函數(shù)是可觀的，其形式為

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

PID控制器參數(shù)K＝［KPKIKD］對于系統(tǒng)滿足：①系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)落在圖1所示的扇形區(qū)域內(nèi)，并且存在正定矩陣Xi（i＝1，2，3），使得系統(tǒng)穩(wěn)定性條件（式（16））成立；②從擾動(dòng)w到被控輸出的傳遞函數(shù)矩陣滿足‖H（s）‖∞＜γ。

如果存在正定矩陣Q使以下線性矩陣不等式組有解

則PID控制器的參數(shù)為

3 仿真分析

轉(zhuǎn)向路感是轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的一個(gè)重要的評價(jià)指標(biāo)，滿意的轉(zhuǎn)向路感可以令駕駛員準(zhǔn)確接收來自于路面的信息，從而作出準(zhǔn)確的判斷，避免事故的發(fā)生。為了能有效地分析轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，采用固定轉(zhuǎn)向盤的方法，研究轉(zhuǎn)向盤固定時(shí)作用在扭桿上的轉(zhuǎn)向盤把持轉(zhuǎn)矩，該把持轉(zhuǎn)矩實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)向輪來自地面的干擾。

對于本路感系統(tǒng)，要求其極點(diǎn)處于LMI區(qū)域左半平面內(nèi)，取α＝0，θ＝45°。取H∞范數(shù)γ＝0.1，取扇形區(qū)域D的半徑r＝3000。代入式（20），得到 PID 控 制 器 的 參 數(shù) KP＝133.5752，KI＝0.0001，KD＝0.0058。則路感控制后效果如圖3所示。

圖3 控制后路感閉環(huán)bode圖

對比不同控制下的轉(zhuǎn)向盤把持轉(zhuǎn)矩幅頻特性和相頻特性可知：控制后，新型差速轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的靜態(tài)誤差進(jìn)一步減小，響應(yīng)進(jìn)一步變快，頻帶進(jìn)一步變寬，相頻帶較優(yōu)化前變寬，系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，零頻幅比增大，系統(tǒng)精度進(jìn)一步增大。由圖3還可以看出，低頻情況下，轉(zhuǎn)向盤把持轉(zhuǎn)矩的幅值幾乎維持不變，且H∞－PID控制時(shí)的頻帶更寬、幅值更大，可保證駕駛員獲得更好的低頻有效信息；高頻情況下，H∞－PID控制對高頻的路面噪聲和干擾抑制較快，有利于駕駛員獲得較為滿意的路面感覺。

由此可知，基于LMI的H∞－PID路感控制器可使新型差速轉(zhuǎn)向獲得：①更小的靜態(tài)誤差；②更好的低頻有效信息；③更好地抑制路面噪聲和干擾，從而有效優(yōu)化系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向路感。

4 結(jié)語

為了改善電動(dòng)輪汽車差速轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向路感，構(gòu)建了汽車三自由度模型及差速轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型?；贚MI矩陣不等式，設(shè)計(jì)了魯棒PID路感控制器，并進(jìn)行了轉(zhuǎn)向路感仿真試驗(yàn)。仿真結(jié)果表明，基于LMI的H∞－PID控制器能夠較好地優(yōu)化電動(dòng)輪差速轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向路感，既使系統(tǒng)具有理想的轉(zhuǎn)向靈敏度和轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性，又實(shí)現(xiàn)了駕駛員路感和汽車主動(dòng)安全性的完美結(jié)合。

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