李明亮，曾 鵬，楊夢霞

(1.湖南第一師范學(xué)院數(shù)學(xué)系中國長沙410205；2.廣東省中山市三鄉(xiāng)鎮(zhèn)大布學(xué)校，廣東中山528463；3.廣東省中山市青少年活動中心，廣東中山528403)

隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展和應(yīng)用，各種信息量正在快速增長。面對大量紛繁復(fù)雜的信息，需要人們能及時收集信息，正確整理好各種數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行分析，以找出各種數(shù)據(jù)所反映出的事物本質(zhì)規(guī)律，從而對現(xiàn)在的發(fā)展作出正確的評價，對未來作出正確的預(yù)測，而這其中涉及大量與統(tǒng)計、概率有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。事實上，學(xué)會處理數(shù)學(xué)信息已成為信息時代每一個公民的基本素質(zhì)，統(tǒng)計與概率知識技術(shù)將越來越重要。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在研制過程中，將統(tǒng)計與概率作為數(shù)學(xué)教育的四大領(lǐng)域之一，這足以說明其教育價值的重要性。小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)于2011年進行了修改，由2001年版的“三維”目標(biāo)改為現(xiàn)在的知識與技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度“四維”目標(biāo)[1]。因此，這就要求教師在教學(xué)過程中，必須“與時俱進”，更新自己的知識體系，吃透教材，正確把握每個知識點的理論背景和實際含義，以適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，適應(yīng)學(xué)生發(fā)展的需要，準(zhǔn)確無誤地教會學(xué)生。

本文以新《課標(biāo)》為依托，結(jié)合筆者多年教《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的經(jīng)驗，以及這幾年“國培”的經(jīng)歷，就小學(xué)數(shù)學(xué)概率教學(xué)作了一些嘗試與探索。筆者認(rèn)為，在教學(xué)過程中，要把小學(xué)概率知識點講清楚，需從以下幾個方面著手。

一、隨機現(xiàn)象

（一）現(xiàn)象的分類

任何的研究都是從社會和自然現(xiàn)象開始的，從數(shù)學(xué)的角度，這些現(xiàn)象分為以下三類：

1.確定現(xiàn)象。在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象，稱之為確定現(xiàn)象，即在相同的條件下重復(fù)進行試驗，它的結(jié)果總是肯定的。如：在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下給水加熱到100℃便會沸騰；太陽每天都是從東方升起，西方落下；在地球上向上拋出的重物必然落下等等，這樣的現(xiàn)象在我們身邊到處可見。

2.隨機現(xiàn)象。在一定條件下可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果的現(xiàn)象，稱之為隨機現(xiàn)象，即在相同條件下重復(fù)進行試驗，每次結(jié)果未必相同，或知道事物過去的狀況，但未來的發(fā)展卻不能完全肯定。如：以同樣的方式拋硬幣卻可能出現(xiàn)正面向上也可能出現(xiàn)反面向上；走到某十字路口時，可能正好是紅燈，也可能正好是綠燈；擲一顆勻質(zhì)骰子，擲出的點數(shù)可能是1,.2,…,6中的任何一個；一箱子里裝有紅、黃、綠三種不同顏色的同質(zhì)小球各1個，從中隨機摸1個，則摸出來的可能是紅色、黃色或綠色等等，這樣的現(xiàn)象在我們身邊也到處可見。

(3)模糊現(xiàn)象。事物本身的含義不確定的現(xiàn)象。如：“情緒穩(wěn)定”與“情緒不穩(wěn)定”，“健康”與“不健康”，“年青”與“年老”等等。

（二）現(xiàn)象之間的關(guān)系

確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象的共同特點是事物本身的含義確定；隨機現(xiàn)象與模糊現(xiàn)象的共同特點是不確定性，但隨機現(xiàn)象是指事件的結(jié)果不確定，而模糊現(xiàn)象是指事物本身的定義不確定。

（三）研究現(xiàn)象的目的

為什么要研究這些現(xiàn)象呢？那就是要通過研究，找出現(xiàn)象所反映的本質(zhì)，把現(xiàn)象運行的規(guī)律找出來。

人們對確定現(xiàn)象的研究，獲得了許多規(guī)律，比如：牛頓的運動學(xué)理論，萬有引力定律，愛因斯坦的相對論，物體的熱脹冷縮原理、質(zhì)量守恒定律等等。

隨機現(xiàn)象雖然給人的感覺是“純屬偶然”、難以捉摸，似乎沒有規(guī)律可言，但事實上人們發(fā)現(xiàn)很多隨機現(xiàn)象依然存在固有的規(guī)律，這種規(guī)律體現(xiàn)在對同一隨機現(xiàn)象的重復(fù)觀察之中，我們對隨機現(xiàn)象的研究，就是要把這些規(guī)律找出來，而在數(shù)學(xué)中，這些規(guī)律就是概率，比如我們常說的拋硬幣，出現(xiàn)正面的概率為0.5，擲骰子，出現(xiàn)1,2,…,6的概率均為等。

（四）隨機實驗

研究隨機現(xiàn)象，就是要把隨機現(xiàn)象的規(guī)律找出來，而要找出這些規(guī)律，首先要對研究對象進行觀察，我們把對隨機現(xiàn)象的觀察或為觀察隨機現(xiàn)象而進行的實驗稱為隨機試驗。隨機試驗應(yīng)具備以下三個特征[2]：

(1)可在相同的條件下重復(fù)進行；

(2)實驗的結(jié)果至少有2個，并且事先知道所有可能的結(jié)果；

(3)實驗之前，至于出現(xiàn)哪一個結(jié)果，事先并不知道。

例：一箱子里裝有5個形狀、大小完全一樣的小球，2個紅球，3個白球，隨機從中摸一個，則這個實驗就是隨機實驗。

二、可能性

在研究隨機現(xiàn)象時，要對隨機現(xiàn)象進行隨機試驗，每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果是隨機的，我們把描述這些出現(xiàn)隨機結(jié)果的工作稱為隨機事件。在每次試驗中，某一隨機事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中，描述隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)就是概率，英文為probability。在小學(xué)課本中，沒有出現(xiàn)概率這個概念，而是可能性，從上述定義知，概率即就是可能性，它們在本質(zhì)上是相同的。對可能性的教學(xué)，應(yīng)突出以下幾個方面：

（一）可能性的存在

可能性是事物（隨機現(xiàn)象）的本質(zhì)特性，是客觀存在的，不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，一旦某一事物給定，可能性也就確定了。比如：姚明和易建聯(lián)，只要他們的各種條件確定，他們的投籃命中率就已經(jīng)確定，是各不相同的；再如，箱子里裝有5個形狀、大小完全一樣的小球，2個紅球，3個白球，隨機從中摸一個，則不管怎樣摸，摸出紅球和白球的可能性是確定的。

（二）可能性的大小

對某一事件而言，該事件發(fā)生的可能性是有大小關(guān)系的，事件不同，發(fā)生的可能性大小也不同，事件發(fā)生的可能性大小為[0,1]里的一個數(shù)，最大為1，最小為0。

（三）可能性的可度量性（計算）

事件發(fā)生可能性大小是可以度量的，度量事件（隨機現(xiàn)象）發(fā)生的可能性是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》的核心任務(wù)，度量事件（隨機現(xiàn)象）發(fā)生可能性大小也是一件很難的事情。人們在研究概率的過程中，先后經(jīng)歷了許多階段，出現(xiàn)了相應(yīng)的研究方法，歸納起來主要有頻率法、古典法、幾何法等，這些在后面會具體研究。

三、可能性的幾種定義

在小學(xué)概率的學(xué)習(xí)中，所涉及的隨機現(xiàn)象都基于簡單事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的或無限的，每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的，我們把這樣的事件稱為等可能事件。

（一）古典定義

滿足下列兩個條件的概率模型為古典概型：

(1)每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的，即為等可能型；

(2)隨機試驗中出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果（即基本事件）只有有限個，則事件A發(fā)生的概率為（其中n為所有可能的結(jié)果總數(shù)，m為A包含的結(jié)果數(shù)）。

比如，一箱子里裝有5個形狀、大小完全一樣的小球，2個紅球，3個白球，隨機從中摸一個，則摸到紅球的概率為。

（二）幾何定義

滿足下列兩個條件的概率模型為幾何概型：

如圖5所示，光鏡下觀察小鼠腎上腺結(jié)構(gòu)，腎上腺皮質(zhì)由外向內(nèi)依次為：球狀帶、束狀帶、網(wǎng)狀帶，對照組球狀帶排列成襻狀、圈狀或者籃狀；束狀帶向心性排列成束狀；網(wǎng)狀帶細(xì)胞排列成網(wǎng)狀。與對照組比較，抑郁癥組和BCRD模型組出現(xiàn)不同程度的束狀帶變寬，細(xì)胞增大，網(wǎng)狀帶的細(xì)胞相互吻合成更密集的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，并且出現(xiàn)了細(xì)胞排列疏松且散亂，細(xì)胞間隙變寬，細(xì)胞核固縮和深染，胞漿空泡增多等現(xiàn)象，提示皮質(zhì)功能處于亢進狀態(tài)。

(1)每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即為等可能型；

(2)隨機試驗中出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果（即基本事件）有無限個，則事件A發(fā)生的概率為

（其中S為隨機實驗所有可能的結(jié)果所對應(yīng)的幾何圖形的面積,SA為事件A所對應(yīng)的幾何圖形的面積。）

比如，若在圓心處釘一指針（見圖1），隨意轉(zhuǎn)動圓盤，停止轉(zhuǎn)動后，指針指向B區(qū)域的概率是0.4.（其中A區(qū)域占25%，B區(qū)域占40%，C區(qū)域占35%）

圖1

（三）統(tǒng)計定義

統(tǒng)計定義就是用頻率定義概率。一個事件A所發(fā)生的頻率是指在某次實驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA與實驗總次數(shù)之比，即

用頻率去估算概率是人們早期研究概率的主要方法，比如，拋一勻質(zhì)硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，人們最早就是從拋硬幣的實驗中計算出現(xiàn)正面的頻率，再根據(jù)頻率的變化規(guī)律得到的。

（四）三種定義之間的關(guān)系

(1)這些定義都建立在等可能概型基礎(chǔ)之上的，都是人們在認(rèn)識、探索概率過程中出現(xiàn)的幾個階段。

(3)古典定義和幾何定義都可用統(tǒng)計定義來證明，因此，統(tǒng)計定義是整個定義中最基礎(chǔ)的。

四、新課程標(biāo)準(zhǔn)下小學(xué)概率教學(xué)策略

小學(xué)階段學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率的目的主要是：引導(dǎo)學(xué)生用隨機的觀點來理解現(xiàn)實世界，初步掌握收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的方法，逐步形成統(tǒng)計的觀念；通過統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生認(rèn)識人、自然和社會，在面對大量數(shù)據(jù)和不確定情境時制定較為合理的決策，提高解決問題的能力[3]，因此，在教學(xué)中應(yīng)突出以下幾點：

（一）認(rèn)識隨機現(xiàn)象時，重復(fù)實驗的次數(shù)要多些，以充分體會各種不同的情況，全面了解隨機的含義

現(xiàn)行新課標(biāo)要求在教學(xué)中讓學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從而加深對數(shù)學(xué)思想的體會與理解。以“拋硬幣”教學(xué)為例，學(xué)生的元認(rèn)知也是建立在樸素的生活經(jīng)驗上的，如：拋硬幣可以在足球比賽中可以用來選場地、乒乓球比賽中決定誰先發(fā)球等。至于拋硬幣為什么公平，每面朝上的可能性是不是均為二分之一學(xué)生是不理解的。那這節(jié)課到底要帶給學(xué)生怎樣的思考？筆者認(rèn)為在學(xué)生樸素的生活經(jīng)驗上滲透統(tǒng)計與概率思想應(yīng)該是這節(jié)課幫助學(xué)生著重解決的問題。在教學(xué)中把班級分成若干個小組，讓每個小組進行拋硬幣的活動，再讓每個小組匯報收集的數(shù)據(jù)，在收集所有小組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生建立一個總表：把所有正面、反面的次數(shù)相加，從而幫助學(xué)生從生成的數(shù)據(jù)中分析正面與反面的可能性是否真的各占二分之一。通常教學(xué)中，這樣隨機收集的數(shù)據(jù)正反次數(shù)是不相同的。抓住數(shù)據(jù)的差異，追問同學(xué)們?yōu)槭裁醋闱?、乒乓球比賽中還選擇拋硬幣呢？不是從數(shù)據(jù)中得出正、反的可能性不相等嗎？從而幫助學(xué)生分析理解數(shù)學(xué)中的“隨機”，是理論上的相等，而不是現(xiàn)實中的一定。然后再相繼介紹：做過這個實驗的數(shù)學(xué)家還不少，蒲豐、德·摩根、費勒、皮爾遜、羅曼諾夫斯基。為了得到盡可能精確的結(jié)果他們拋的次數(shù)很多，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過多次的統(tǒng)計結(jié)果證實了隨著拋幣次數(shù)的不斷增加，正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)就會越來越接近，說明正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。從而得出結(jié)論：拋硬幣的次數(shù)越多，正面朝上的次數(shù)就越接近拋硬幣總次數(shù)的一半。但所有這一切知識的獲得是建立在學(xué)生動手操作、收集、匯報數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的。

（二）同一個問題，用不同的定義去估算可能性的大小，幫助學(xué)生更好地理解

從不同的方法、不同的角度思考問題，從而實現(xiàn)學(xué)生對問題的理解，在這一過程中也體驗算法多樣化對結(jié)論的檢驗，以“摸球問題”教學(xué)為例：可用古典概率的方法來思考：枚舉所有可能，再找出問題中相應(yīng)球的數(shù)量，用分?jǐn)?shù)表示表示摸到球的可能性。也可以用幾何概率的方法：聯(lián)系扇形統(tǒng)計圖知識，把所有的可能性的和看成單位“1”，用一個圓形來表示。再引導(dǎo)學(xué)生按球的個數(shù)把圓形平均分成若干份，再根據(jù)題目要求涂色，選取的涂色部分占整個圓片的幾分之幾，用分?jǐn)?shù)表示其可能性。還可以用統(tǒng)計的方法：如學(xué)生對前兩種方法都表示懷疑或不理解，可以讓摸一摸進行統(tǒng)計的方法來思考。以上列舉的古典、幾何、統(tǒng)計的方法為例，通過調(diào)用學(xué)生不同的知識經(jīng)驗從不同的角度思考，無論是正常思考還是逆向驗證都是幫助學(xué)生更好的理解可能性教學(xué)。

（三）讓學(xué)生自己動手實驗，自己總結(jié)規(guī)律，以培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題，歸納總結(jié)的思維能力

以“拋硬幣”、“摸球問題”的教學(xué)為例，只有學(xué)生充分經(jīng)歷了數(shù)據(jù)的產(chǎn)生、數(shù)據(jù)的收集、數(shù)據(jù)的整理，才能從匯總的數(shù)據(jù)中進行分析和大膽的推測，才會有可能性教學(xué)的延續(xù)與發(fā)展。才能幫助學(xué)生理解現(xiàn)實中如中獎，轉(zhuǎn)盤等數(shù)學(xué)問題。又如2013年中山市五年級數(shù)學(xué)期末測驗卷中的一道題：在一次拋硬幣活動中，前4次正面朝上，后2次反面朝上，請問第7次正面朝上的可能性是（ ）。以筆者所在學(xué)校的班級為例，具備大量動手實踐操作的班級能輕松得出結(jié)論，因為在動手實驗時教師早已引導(dǎo)學(xué)生對每一次結(jié)果進行預(yù)測、分析，學(xué)生在思辨與反芻中早已明白答案為二分之一，但動手操作相對比較少的班級正確率還不到百分之六十。可知，學(xué)生的理解，是基于動手操作的經(jīng)驗積累，是建立于直觀基礎(chǔ)之上的抽象學(xué)生才能很好的領(lǐng)悟。只是單一的說教，甚至事先把結(jié)論告訴學(xué)生，一遇到變式的題型學(xué)生很難理解，更不用說靈活運用知識，因為對可能性的內(nèi)涵理解不清楚。所以說，小學(xué)階段的概率教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生充分實踐、充分操作的基礎(chǔ)上。

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社.2010.

[2]齊民友.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教出版社.20112:2.

[3]新課標(biāo)下的教學(xué)設(shè)計[精][DB/OL].(2010-05-10).http://www.diyifanwenwan.com/jiaoan/jiaoxe/0812270648439 234557.htm.