彭惠芬，王 鵬，王 程

(1.東北石油大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318;2.大慶油田有限責(zé)任公司鉆探工程公司，黑龍江 大慶 163453)

抽油桿是井下抽油系統(tǒng)中的主要工作部件，在服役期間主要承受交變載荷、動載荷及腐蝕磨損等作用，普通的鋼制抽油桿由于接箍多、摩擦阻力大、使用壽命低而不能滿足深井作業(yè)的需要。復(fù)合材料抽油桿由于具有質(zhì)量輕、比強度比模量高、耐腐蝕強、接箍少及力學(xué)性能可設(shè)計強等優(yōu)點而廣泛應(yīng)用在勝利、大慶等油田的深井作業(yè)中［1］。細(xì)長抽油桿質(zhì)量偏心、服役期間抽油桿與油管碰撞產(chǎn)生的附加動力等將嚴(yán)重影響復(fù)合材料抽油桿的使用壽命，因此對復(fù)合材料抽油桿進(jìn)行動力學(xué)分析，具有十分重要的工程實際意義。為此許多科技工作者開展了相關(guān)課題的研究，采用的方法主要包括解析法、有限元法和其它數(shù)值計算方法［2-4］。然而由于復(fù)合材料具有各向異性、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點，使傳統(tǒng)有限單元數(shù)值模擬帶來許多困難。小波有限元法是近年發(fā)展起來的一種新的數(shù)值計算方法［5-8］，以小波尺度函數(shù)或小波函數(shù)作為插值函數(shù)，具有待定系數(shù)少、逼近精度高、局部化性能強和多分辨分析等特性，可彌補傳統(tǒng)有限元在復(fù)合材料數(shù)值計算中的不足［9-10］。本文采用小波有限元和振動理論相結(jié)合的方法，利用小波尺度函數(shù)逼近精度高、多分辨率的特點，將小波有限元應(yīng)用于復(fù)合材料數(shù)值分析中，建立了復(fù)合材料抽油桿小波有限元模型，模擬結(jié)果表明:小波有限元可用較少單元獲得較高計算精度，為復(fù)合材料數(shù)值計算提供一種新的數(shù)值計算方法。

1 小波梁單元剛度方程的推導(dǎo)

由材料力學(xué)可知，圖1所示小波梁單元勢能泛函為:

式中:le—單元長度，le=b－a，a和b分別為單元起始和終點坐標(biāo);pj—集中載荷;q(x)—載荷集度;EI—小波梁單元的等效抗彎剛度;xj—集中載荷作用點的坐標(biāo)值;w(x)—小波梁單元中面的撓度函數(shù);Mk—集中彎矩—集中彎矩作用處的轉(zhuǎn)角值。

采用小波尺度函數(shù)插值，小波梁單元位移函數(shù)為

標(biāo)準(zhǔn)求解域ξ∈［0，1］上小波梁單元節(jié)點排列見圖2，圖中節(jié)點總數(shù)為n+1，總自由度數(shù)為n+3(n=2j+m－4，式中m、j分別為小波尺度函數(shù)的階數(shù)和尺度)。

將式(2)代入式(1)，由變分原理，令δ∏p=0，有

2 復(fù)合材料抽油桿數(shù)值仿真

復(fù)合材料抽油桿由剛性纖維和樹脂基體組成，其橫截面為矩形(36.80 mm×5.38 mm)，長度為L=600 m，剛性纖維材料性能參數(shù)為:彈性模量E1=379 GPa、泊松比0.3、密度為1 590 kg/m3;樹脂基體材料性能參數(shù)為:彈性模量E2=60 GPa、泊松比0.3、密度為1 180 kg/m3。

由于復(fù)合材料抽油桿的橫向振動較為復(fù)雜，為簡化計算作如下假設(shè):纖維增強復(fù)合材料為均質(zhì)、各向同性的彈性直桿;纖維成矩形陣列排列;假定接觸界面完好，沒有初始裂紋及缺陷;忽略抽油桿振動過程中轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響。在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，選取復(fù)合材料整體抽油桿為對象，根據(jù)復(fù)合材料抽油桿在油井中實際工況將抽油桿簡化為兩端鉸接的細(xì)長梁并忽略橫向阻尼系數(shù)的影響，分別采用10個m=4、尺度分別為j=2和j=3的小波梁單元求解。

表1給出了采用不同數(shù)值方法計算復(fù)合材料抽油桿最大橫向位移與理論值的比較。

表1 不同單元求解最大橫向位移結(jié)果與理論解的相對誤差比較

從表1中可以看出:40個4階3尺度復(fù)合材料小波梁單元求解結(jié)果優(yōu)于240個BEAM3單元，與1 600個BEAM3單元計算結(jié)果吻合較好;復(fù)合材料小波梁單元計算精度隨著小波函數(shù)分析尺度的增加而提高，4階3尺度復(fù)合材料小波梁單元數(shù)值模擬結(jié)果與理論解相對誤差最小為1.004，這充分體現(xiàn)小波有限元法可用較少單元和自由度數(shù)獲得較高計算精度。

表2為復(fù)合材料抽油桿模態(tài)分析結(jié)果。

表2 復(fù)合材料抽油桿模態(tài)分析結(jié)果

從表2中可以看出:復(fù)合材料抽油桿前八階固有頻率數(shù)值較小，而振幅數(shù)值較大，其中一階模態(tài)固有頻率數(shù)值最小為0.010 1 Hz，振幅最大數(shù)值為0.108 4 m。這表明抽油機低轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)情況下易于激發(fā)共振，使復(fù)合材料抽油桿產(chǎn)生很大橫向變形，導(dǎo)致抽油桿與套管產(chǎn)生偏磨。因此，復(fù)合材料抽油桿橫向固有振動特性研究為復(fù)合材料抽油桿合理結(jié)構(gòu)設(shè)計及電機轉(zhuǎn)速控制提供理論依據(jù)。

3 結(jié)論

將小波有限元應(yīng)用于復(fù)合材料數(shù)值計算中，推導(dǎo)了復(fù)合材料小波梁單元剛度矩陣，通過數(shù)值模擬獲得了復(fù)合材料抽油桿橫向振動前八階固有頻率和振幅，從結(jié)果分析中可獲得如下結(jié)論:

1)本文建立的小波數(shù)值分析方法合理、可行，并具有較高的數(shù)值計算精度;

2)不同數(shù)值計算方法與理論解比較表明:本文構(gòu)造的復(fù)合材料小波梁單元求解橫向位移結(jié)果與理論解相對誤差最小，這表明小波有限元可用較少單元和自由度數(shù)獲得較高計算精度;

3)通過模態(tài)分析，獲得了復(fù)合材料抽油桿橫向振動前八階固有頻率和振幅，分析表明各階固有頻率數(shù)值較低，易于激發(fā)共振，導(dǎo)致桿管偏磨。

［1］劉建軍，王延相，陳厚，等.碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料連續(xù)抽油桿的研制［J］.工程塑料應(yīng)用，2002，30(5):32－34.

［2］龍馭球.新型有限元論［M］.北京:青華大學(xué)出版社，2004.

［3］張志民.復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1993.

［4］沈真，楊勝春.飛機結(jié)構(gòu)用復(fù)合材料的力學(xué)性能要求［J］.材料工程，2007(增刊1):248－252.

［5］WILLIAMS JR，AMARATUNGA K.Introduction to wavelets in engineering［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1994(37):2365 －2388.

［6］陳雅琴，張宏光，黨發(fā)寧.Daubechies條件小波混合有限元法在梁計算中的應(yīng)用［J］.工程力學(xué)，2011，28(8):208－214.

［7］Zhao XL，Zhang L.State-of-the-art review on FRP strengthened steel structures［J］.Engineering Structures，2007，29(8):1808－1823.

［8］秦榮.結(jié)構(gòu)力學(xué)的樣條函數(shù)方法［M］.南寧:廣西人民出版社，1985.

［9］何正嘉，陳雪峰，李兵，等.小波有限元理論及其工程應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［10］陳雪峰，向家偉，董洪波，等.基于區(qū)間B樣條小波有限元的轉(zhuǎn)子裂紋定量識別［J］.機械工程學(xué)報，2007，43(3):123－127.