張洪雙，王 青，柯映林，蔣君俠

（1.浙江大學 流體傳動及控制國家重點實驗室，浙江 杭州 310027；2.河海大學 機電工程學院，江蘇 常州 213022）

0 引言

在造船、飛機等大型運載設備的模塊化分段對接裝配以及機翼大部件裝配后的精加工等工藝過程中［1-2］，需要采用先進的數(shù)字化調姿系統(tǒng)實現(xiàn)部件的調姿和定位。目前國內外廣泛采用一種數(shù)字化、高精度的并聯(lián)機構形式的定位調姿裝置，對大部件進行姿態(tài)調整及支撐［3］。

并聯(lián)機構是一種閉環(huán)運動鏈機構，它通過幾個獨立的運動鏈將底座和終端執(zhí)行器連接在一起。由于具有高精度、高剛度等優(yōu)點，國內外對其展開了大量研究，并成功應用到運動模擬器、機器人終端和部件調姿等環(huán)境中。目前，幾大航空制造企業(yè)使用的數(shù)字化并聯(lián)機構大多采用n-PPPS（n個prismaticprismatic-prismatic-spherical pair）分支垂直布置在一個公共平臺上的結構形式［4］。文獻［5］介紹了部分耦合的并聯(lián)機構，并對現(xiàn)有的并聯(lián)機構進行分析和擴展，詳細介紹了3-RPPS（R-Rotary pair）型機構的分析方法，并對擴展的并聯(lián)機構進行了分類；文獻［6］介紹了由8個驅動機構驅動的PPPS并聯(lián)機構，該機構的底部有4個分支，兩側面各有2個分支，8個分支均為主動驅動，主要用于地震監(jiān)測；文獻［7］介紹了一種新型的3-PPPS并聯(lián)機構，3個分支機構分別位于3個相互垂直的平面，每個分支中有2個主動驅動的關節(jié)，并分析了該機構的非奇異空間，上述結構和國外飛機制造企業(yè)所使用的PPPS型并聯(lián)機構在整體布置方式上均有較大的差別。

基于并聯(lián)機構形式的定位調姿裝置既是飛機部件姿態(tài)調整的執(zhí)行機構，也是裝配對接過程的工裝夾具，因此其分析需要同時涉及兩方面內容。文獻［8-10］關注并聯(lián)機構的機構雅克比矩陣，并通過機構雅克比矩陣構建相應的性能評價指標；文獻［11-12］對并聯(lián)機構進行優(yōu)化分析，重點關注各分支長度的優(yōu)化問題，未涉及終端部件連接位置點的分析。關于夾具定位性的文獻較多［13-14］，這類文獻通過描述夾具偏差和零件偏差之間關系的定位雅克比矩陣，對夾具定位方案的穩(wěn)定性問題進行分析，但分析過程主要針對零件上定位點的曲面方程，未涉及夾具實體。

本文針對基于3-PPPS并聯(lián)機構形式的大部件定位調姿裝置［15］，建立了裝置分支機構的矢量圖形，求取了裝置的機構雅克比矩陣，構建了靈活度、承載力和剛度等性能指標，并分析了裝置的定位雅克比矩陣，構建了裝置的支撐穩(wěn)定性指標，最后對部件上可選的支撐點的位置進行了分析，得到了各指標綜合最優(yōu)的支撐點位置，為選擇基于并聯(lián)機構形式的部件定位調姿裝置的支撐點提供了一種參考。

1 定位調姿裝置分析

1.1 大部件定位調姿裝置結構

大部件定位調姿裝置主要包括工作臺、三坐標數(shù)控定位器和激光跟蹤儀等，如圖1所示。數(shù)控定位器在3 個坐標方向的運動為平移—平移—平移（PPP）形式，每個移動關節(jié)通過電機驅動滾珠絲桿進行傳動，其中：x和y移動方向平行于工作臺坐標系，z方向垂直于工作臺。大部件通過萬向球鉸式真空吸附結構或者是帶有球頭的工藝接頭和定位器的終端執(zhí)行器連接，因此每個定位器連接可以看作一個PPPS型的分支機構。

大部件加工或對接裝配時需要通過定位調姿裝置使部件處于某個理想位姿，其位置和姿態(tài)通過激光跟蹤儀的測量數(shù)據(jù)進行評價。根據(jù)部件的結構尺寸特點，三角形的大部件（如機翼等）通常采用3個數(shù)控定位器支撐的方式定位，通過3個定位器的協(xié)同運動實現(xiàn)部件的姿態(tài)調整，達到理想位姿后實現(xiàn)對接裝配，或者通過專用機床對大部件的交點孔、面進行加工。根據(jù)大部件定位調姿裝置的結構特點建立其運動學模型，圖2所示為大部件調姿裝置的并聯(lián)機構形式的整體結構簡圖。

為了方便分析，建立如下坐標系統(tǒng)：其中坐標系o-xyz固定在工作臺上，坐標系o-uvw固定在大部件的慣性主軸上，則大部件的位姿可以通過位置矢量r和角度變化矩陣來表示，用一個6維列矢量可以表示為

這里，r=［px，py，pz］表示坐標系o-uvw相對于坐標系o-xyz的位置。旋轉矩陣通過滾動角θ（roll）、俯仰角φ（pitch）和偏轉角ψ（yaw）來定義，三個角度分別對應x，y和z三個軸的旋轉，則旋轉矩陣R表示為（角度設定法是兩個坐標系間作三次連續(xù)轉動來規(guī)定姿態(tài)的方法）

式中：c表示cos，s表示sin。

1.2 大部件的支撐定位點

大部件通常采用框架式結構，其支撐定位點需選擇在部件框架的交點處，且支撐定位時應保證部件重心落在由3個支撐點構成的三角形內部。大部件上框架的交點較多，每個數(shù)控定位器對應的位置均有多個支撐定位點可供選擇。圖3所示為某大部件模型，粗實線表示部件的外形（工作臺的投影平面內），細實線表示部件內部的框架位置，細實線交點為框架的交點。3個數(shù)控定位器對應大部件上3個可選的定位區(qū)域：定位器1對應大部件上A區(qū)域內的框架交點；定位器2 對應B區(qū)域內的框架交點；定位器3對應C區(qū)域內的框架交點。

2 機構雅克比矩陣

2.1 位置分析

根據(jù)調姿裝置的結構及平臺和部件之間的位置關系，建立如圖4所示的運動鏈矢量圖，驅動鏈的閉環(huán)位置方程表示為

式中：r表示OO′矢量，fi為支撐點位置到部件重心的矢量，ai為平臺中心到定位器中心的矢量，qix為定位器x方向的關節(jié)變量，qiy為定位器y方向的關節(jié)變量，qiz為定位器z方向的關節(jié)變量，ex，y，z為沿著絲桿的 單位矢 量，bi為BiCi矢 量，di為DiEi矢 量，bi和di分別表示各關節(jié)上的距離差值。根據(jù)并聯(lián)機構解耦的概念［5］，可知其位置逆解為

式中下標x表示在x方向的投影。

1.3 分支機構速度分析

將方程對時間t求導，得到速度方程

式中：v為大部件移動的線速度，ω為大部件轉動的角速度。

對式（3）兩端分別點乘ex，ey和ez，合并后可得定位器沿各軸向的速度

式中：

為平臺運動矢量和定位器i沿各軸的平移速度矢量之間的雅可比矩陣，則多個分支機構的綜合描述為

為了分析的一致性，引用機器人雅可比矩陣，該矩陣是指從關節(jié)空間到操作空間運動速度傳遞的廣義傳動比，將式（5）改寫為

式中JP為并聯(lián)機構的機構雅克比矩陣。由式（4）～式（6）可見，機構雅可比矩陣依賴于部件在操作空間的形位，是依賴于關節(jié)變量˙q的線性變換矩陣，其行數(shù)等于機構在操作空間的維數(shù)，列數(shù)等于關節(jié)數(shù)，因此雅可比矩陣并不是一個方陣，其逆矩陣是一個廣義逆矩陣。

3 定位調姿裝置的性能評價

3.1 靈巧度性能評價

在評價并聯(lián)機構傳動性能時，可構建的靈巧度評價指標有條件數(shù)k、最小正奇值σmin等。機構設計時應使條件數(shù)最小、最小正奇值最大。機構分析中常用最小條件數(shù)來分析機構的各向同性指標，當條件數(shù)達到最小值1時，機構為各向同性。根據(jù)文獻［8］，輸入速度偏差δ˙q和平臺的速度偏差δ˙X之間有下列關系：

3.2 承載力性能評價

承載力決定了機構的工作負荷能力，是機構的重要性能指標之一。作用在機構末端的廣義力與機構的雅克比矩陣有直接關系，定義機構驅動部件的輸入力矩為f，作用在機構末端大部件平臺的力和力矩矢量為F，則根據(jù)虛功原理可得

式中G為力雅可比矩陣。根據(jù)機構學中運動傳遞和力傳遞之間的對偶關系，存在［9］

將機構的承載能力指標定義為輸入驅動力矢量f的模為單位1時輸出力和力矩矢量的模極值。當‖f‖=1時，承載力極值‖F(xiàn)max‖為矩陣GTG的最大、最小特征值的開方，即

式中λFmax（GTG）為矩陣GTG的最大特征值的開方；）為矩陣的最大奇異值。

3.3 剛度性能分析

當部件放置在調姿裝置上時，部件中心會發(fā)生變形，該變形與裝置的剛度矩陣和外力的大小方向有關，當外力矢量的模為1時，可以求出部件中心變形量的最大值，變形量最大值即為并聯(lián)機構的剛度性能指標，則并聯(lián)機構形式的平臺中心的變形D與外界作用力矢f之間的關系為

式中C為剛度矩陣。由文獻［10］可知，并聯(lián)機構的剛度矩陣可以寫作

式中：KJ=diag［K1，K2，…，Kn］是并聯(lián)機構的剛度矩陣，Ki表示每個分支的剛度，因為每個分支的結構均相同，所以驅動件剛度可以認為是相等的，并且等于單位1。

根據(jù)拉格朗日方程原理［10］可得，位置變形的最大值Dmax為

式中：λDmax（CTC）為矩陣CTC的最大特征值，σDmax（J·JT）為矩陣J·JT的最大奇異值。

3.5 全條件性能指標

上述各指標是雅克比矩陣的函數(shù)，而雅克比矩陣不是常數(shù)矩陣，依賴于機構的位形。各個指標均為局部點的性能指標，其值隨機構位形的變化而變化。為了評價并聯(lián)機構的總體性能，需要采用全條件性能指標（Global Conditioning Index，GCI）。GCI表示為

式中：W為并聯(lián)機構的工作空間，ζ表示各性能指標，在靈巧度、承載能力和剛度評價中分別表示靈巧度指標k、承載力指標‖F(xiàn)max‖ 和剛度指標‖Dmax‖。式（13）的數(shù)學含義為各性能指標在可達工作空間上的平均值，計算時可采用網(wǎng)格搜索法對并聯(lián)機構在可達空間內每一點的數(shù)值求解后進行平均化處理。

4 定位雅克比矩陣及定位穩(wěn)定性

如圖5所示，對于某任意的三維零部件的定位支撐方式，其定位雅克比矩陣的形式為

在三維空間中，

位于空間中的一個零件共有6個自由度，通常，若使零件在空間中處于一個穩(wěn)定的狀態(tài)，則需要約束零件的6個自由度，JL的秩等于調姿裝置所約束的自由度數(shù)目。零件的定位方案中被約束零件的空間穩(wěn)定性稱為該夾具定位方案的幾何穩(wěn)定性［11-12］，夾具的穩(wěn)定性參數(shù)的計算方法為

由式（15）可知，即使零件被約束的自由度數(shù)相同，定位的幾何穩(wěn)定性也有很大的差別。

5 各指標的綜合優(yōu)化

由上述分析可知，基于并聯(lián)機構形式的定位調姿裝置的性能指標取決于支撐點和部件重心之間的位置關系，而夾具穩(wěn)定性指標取決于支撐點所在位置的曲面方程和支撐點位置，因此選定支撐點后上述指標就會確定，在多種支撐點的不同組合形式下，可以找到各指標的最優(yōu)值，合理選擇支撐點，從而得到各指標的綜合優(yōu)化值。

在定位調姿裝置的性能指標中，靈巧度指標k越小越好，承載力指標‖F(xiàn)max‖越大越好，剛度指標‖Dmax‖越小越好，定位穩(wěn)定性指標ω越大越好。各指標中既包括最大值問題，也包括最小值問題，則指標的綜合優(yōu)化求解屬于多目標混合優(yōu)化問題，優(yōu)化模型為

式中：F′（x）=［f1（x），…，fr（x）］T，F(xiàn)″（x）=［fr+1（x），…，fn（x）］T；解決這類問題可用分目標乘除法，將模型中的各分目標進行相乘和相除處理后在可行域進行求解。由于各指標數(shù)值相差較大，對各指標進行歸一化處理，即對各指標進行權處理：

式中Wi為權系數(shù)，并有

根據(jù)工程需求調整各指標的權重比例，以更好地滿足機構的使用要求。由式（16）求解的最優(yōu)解，是使位于分子的各目標函數(shù)盡可能小、位于分母的各目標函數(shù)盡可能大的綜合性能指標。

6 算例分析

某大部件的支撐點位置如圖3所示，部件重心點坐標為（2 300，8 600，1 800），部件坐標系和部件重心重合。由式（4）可知，機構雅克比矩陣值主要取決于球鉸中心點到大部件中心點的矢量fi，對大部件進行位置調整時，fi不變化，因此機構雅克比矩陣值與大部件的位置變化沒有關系。

由式（14）可知，定位雅克比矩陣主要取決于支撐點位置坐標及該位置處的部件曲面方程。為簡化分析，假設部件的下表面為一平面，則在坐標系ouvw中，式（14）可近似寫為

可見定位雅克比矩陣主要取決于定位點在xy平面的坐標值。

下面分析大部件繞x，y和z軸進行0～10°范圍姿態(tài)調整時各性能指標的變化。選擇支撐點A1（1 350，8 120，1 750），B3（2 986，8 120，1 750），C9（2 986，9 958，1 750）的組合，按照式（8）、式（9）、式（12）和式（15）求取機構的各性能指標，可以得到如圖6所示的性能指標曲線（各指標數(shù)值差別較大，為了清晰地描述圖形，縱坐標未采用統(tǒng)一比例）。由圖6可見，靈巧度、承載力和剛度性能指標不隨姿態(tài)的變化而變化，但穩(wěn)定性指標隨著姿態(tài)的改變而變化，且隨著旋轉角的增大而減小，因此后續(xù)分析時均以部件繞x，y和z軸旋轉10°的狀態(tài)進行分析。由圖6中的數(shù)值可見，基于3-PPPS型的大部件定位調姿機構是一種調姿靈巧度較差、承載力高、穩(wěn)定性較高和部件變形較小的一種并行機構，能夠滿足機翼這類大部件對調姿速度要求不高、但對承載和精度要求較高的部件調姿和精加工需求。

為了定性分析支撐點的位置變化對性能參數(shù)和支撐穩(wěn)定性的影響，選取A1，B3和C9點作為初始位置，使支撐點坐標在x和y方向等距移動，得到如圖7所示的各性能指標和穩(wěn)定性指標的變化曲線，為了便于表達，各性能指標進行了均一化處理。由圖7可見，支撐點靠近重心時：條件數(shù)減小，即機構的調姿靈巧度增加，各向同性增強；承載力指標下降，說明在驅動關節(jié)輸入同樣大小的力，機構執(zhí)行端的輸出力下降；剛度指標下降，說明部件的中心變形量下降；穩(wěn)定性指標下降，說明支撐穩(wěn)定性下降。從綜合指數(shù)來看，選擇遠離重心點的支撐位置時可以獲得較好的綜合性能指標。

7 結束語

根據(jù)上述分析，可以得到以下結論：

（1）基于3-PPPS并聯(lián)機構的大部件姿態(tài)調節(jié)裝置能滿足大部件的調姿需求。

（2）該定位調姿機構的靈巧度、剛度和承載力性能指標與支撐點的選擇有關，與大部件的位姿無關。

（3）不同支撐點的組合可以得到不同的性能指標。

（4）穩(wěn)定性指標既和支撐點的選擇有關，也于大部件的姿態(tài)有關。

下一步將重點關注在明確了機翼支撐點后，分析和研究支撐多個機翼時定位器的工作行程優(yōu)化問題，以及在多點柔性支撐狀態(tài)下機翼的加工穩(wěn)定性問題。

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