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        美式期權(quán)定價模型的高階緊差分方法*

        2014-12-02 03:51:06于國曉謝樹森
        關(guān)鍵詞:美式期權(quán)差分

        于國曉,謝樹森

        (中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

        期權(quán)定價理論的創(chuàng)建是近幾十年金融領(lǐng)域中最重要的發(fā)展之一。相對于歐式期權(quán),美式期權(quán)可以提前實施,擁有更多的獲利機(jī)會,操作具有更大的靈活性,應(yīng)用更為廣泛,研究美式期權(quán)定價模型的數(shù)值方法更具有實際意義。關(guān)于美式期權(quán)定價問題數(shù)值方法研究已有很多工作,例如二叉樹方法[1],有限元方法[2]、懲罰函數(shù)法[3]、移動邊界法[4]等。

        美式期權(quán)定價模型最終歸結(jié)為一個自由邊界問題。本文對支付紅利的美式買入期權(quán)模型實施Frontfixing變換[5],將自由邊界問題轉(zhuǎn)化為一個非線性的定邊界問題,構(gòu)造三層緊致差分格式對此非線性問題進(jìn)行離散并進(jìn)行數(shù)值實驗。與二叉樹方法[1]和一般差分方法[5]的數(shù)值結(jié)果比較證明本文算法是有效的。

        1 美式買入期權(quán)定價模型

        本文考慮由Black-Scholes方程推廣得到的支付紅利的美式買入期權(quán)模型。用C(S,t)表示美式買入期權(quán)價格,由文獻(xiàn)[2]可知美式買入期權(quán)定價模型如下:

        其中:S為標(biāo)的資產(chǎn)價格,K為期權(quán)的執(zhí)行價格,T為期權(quán)的執(zhí)行時間,r為無風(fēng)險率,q為期權(quán)執(zhí)行期間的紅利率,σ為標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率,z+=max(z,0),自由邊界B*(t)是最優(yōu)執(zhí)行邊界,且B*(t)是未知的。本文進(jìn)一步假設(shè)世界風(fēng)險是中性的,即q>0。當(dāng)S在t時刻小于B*(t),期權(quán)應(yīng)該持有,而當(dāng)S在t時刻大于或等于B*(t)時,期權(quán)應(yīng)該被執(zhí)行,即C(S,t)=SK。

        令τ=T-t,B(τ)=B*(T-τ),則上述倒向問題變換為如下正向初邊值問題:

        上述變量替換成立,當(dāng)且僅當(dāng)B(τ)>0。文獻(xiàn)[6-7]中說明B(τ)是關(guān)于τ的非負(fù)單調(diào)增函數(shù),并給出了B(τ)的取值范圍B(0)≤B(τ)≤KX,其中

        引理1[2]對于給定的正實數(shù)ξ∈ (0,1),有

        C(S,t)≤ξ,0≤S≤Ke-Y,0≤t≤T

        其中:

        2 高階緊致差分格式

        令-εvyy+c(τ)vy=f。記為函數(shù)v在結(jié)點(yj,τn) 處 的 值,。由Taylor展開式得

        整理

        令f=-vτ-rv,可以得到

        記表示的近似值,略去上式中的截斷誤差得到如下緊致差分方程:

        差分格式(7)的截斷誤差為O(h4+k2)。(7)式等價記為:

        利用Fourier方法,增長矩陣的特征值的模均小于等于1,差分格式是穩(wěn)定的。

        下面討論邊界條件的差分離散。設(shè)上述緊致差分方程在j=0時成立,即

        又由邊界條件(5)直接四階差分離散可得:

        由式(8)和(9)消去,整理可得

        其中:

        Bn+1使用Bn,Bn-1,Bn-23點的插值逼近,即

        3 數(shù)值實驗

        算例1 取參數(shù)K=10,r=0.03,q=0.07,σ=0.2,T=1,θ=0.5。表1給出不同步長期權(quán)價格C(S,t)近似解。并與二叉樹方法的數(shù)值結(jié)果[8]進(jìn)行比較??梢钥闯鼍o致差分方法是收斂的。

        表1 在t=0時,不同空間、時間步長下的美式買入期權(quán)價格(C)Table 1 Values of an American call option by different mesh size at t=0

        算例2 取參數(shù)K=10,r=0.1,q=0.05,σ=0.2。由于美式買入期權(quán)沒有精確解,為了比較誤差,取文獻(xiàn)[5]中差分方法在步數(shù)分別取N=4 096,M=4 000所到的數(shù)值解為精確解v。

        圖1~6,取θ=0.5,給出T取不同值時,自由邊界B(τ)與B*(t)數(shù)值解曲線,圖中exact表示文獻(xiàn)[5]中差分方法取N=4 096,M=4 000得到的自由邊界曲線。

        圖7、8分別給出取θ=0.5,T=1時,函數(shù)V(y,T)和美式期權(quán)C(S,0)的數(shù)值解。

        圖9、10分別給出θ=0.5,T=1,N=64,M=80時,函數(shù)V(y,τ)和期權(quán)價格C(S,t)的數(shù)值解。

        表2給出T=1時,緊致差分方法取不同θ值的誤差與收斂階。由數(shù)據(jù)可以看出θ取不同值時,誤差略有差異,緊致差分方法雖然達(dá)不到4階精度,但數(shù)值結(jié)果都要比文獻(xiàn)[5]差分法好得多。

        表3給出自由邊界B(τ)計算較精確的情況下,緊 致差分法的收斂階可以達(dá)到接近四階。

        圖1 T=0.5時,自由邊界B(τ)圖像Fig.1 Early exercise price B(τ)at T=0.5

        圖2 T=1時,自由邊界B(τ)圖像Fig.2 Early exercise price B(τ)at T=1

        圖3 T=3時,自由邊界B(τ)圖像Fig.3 Early exercise price B(τ)at T=3

        圖4 T=0.5時,自由邊界B*(t)圖像Fig.4 Early exercise price B*(t)at T=0.5

        圖5 T=1時,自由邊界B*(t)圖像Fig.5 Early exercise price B*(t)at T=1

        圖6 T=3時,自由邊界B*(t)圖像Fig.6 Early exercise price B*(t)at T=3

        圖7 τ=T時,函數(shù)V的數(shù)值解Fig.7 Numerical solution of Vatτ=T

        圖8 τ=0時,期權(quán)價格C數(shù)值解Fig.8 Numerical solution of option price Catτ=0

        圖9 函數(shù)V Fig.9 Numerical solution of function V

        圖10 美式買入期權(quán)C Fig.10 Numerical solution of American call option C

        表2 T=1時,文獻(xiàn)[5]差分方法與緊致差分格式取不同θ值的數(shù)值結(jié)果比較Table 2 Comparison of errors for the scheme in[5]and the compact scheme with differentθat T=1

        表3 緊致差分格式收斂階Table 3 The rate of the compact difference scheme atτ=T

        4 結(jié)語

        本文采用Front-fixing方法,對支付紅利的美式買入期權(quán)模型實施變量替換,將自由邊界問題轉(zhuǎn)化為正向的非線性問題,構(gòu)造3層緊致差分格式求解美式期權(quán)定價問題。通過數(shù)值實驗證明本文方法可以有效計算美式期權(quán)問題。

        [1]Shreve S E.Stochastic Calculus for FinanceⅠ:The Binomial Asset Pricing Model[M].New York:Springer,2007.

        [2]Holmes A D,Yang H.A front-fixing finite element method for the valuation of American options[J].SIAM J SCI Comput,2008,30(4):2158-2180.

        [3]Muthuraman K.A moving boundary approach to American option pricing[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2008,32:3520-3537.

        [4]Khaliq A Q M,Voss D A,Kazmi K.Adaptiveθ-methods for pri-cing American options[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,222:210-227.

        [5]Wu L,Kwok Y.A front-fixing finite difference method for valuation of American options[J].Journal of financial Engineering,1997,6(2):83-97.

        [6]Wilmott P,Dewynne J,Howison S.Option Pricing:Mathematical Models and Computation[M].London:Oxford Financial Press,1993.

        [7]Kwok Y K.Mathematical Models of Financial Derivatives[M],New York:Springer,1998.

        [8]劉敏.美式期權(quán)定價的幾種數(shù)值解法 [D].山東:中國石油大學(xué),2010.

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