馬明月 劉艷芳 徐向陽 王 祎

(北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

不同于其他形式的自動變速器，液力自動變速器(AT，Automatic Transmission)采用行星齒輪機構(gòu)作為變速機構(gòu)，為獲得一系列不同的傳動比，需要在行星齒輪機構(gòu)中布置多個換擋元件.換擋元件的作用是閉鎖行星齒輪機構(gòu)中兩個獨立構(gòu)件，實現(xiàn)獨立構(gòu)件之間的剛性連接，減少行星齒輪機構(gòu)的自由度.與殼體相連的換擋元件為制動器，其他換擋元件為離合器.AT換擋元件方案由若干制動器和離合器組成，通過閉合不同的換擋元件組合，可以使AT獲得需要的傳動比.AT換擋元件方案設(shè)計是應(yīng)用代數(shù)法或圖論法給出換擋元件方案相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，綜合出所有可能的換擋元件方案，利用現(xiàn)代優(yōu)化算法來選擇和設(shè)計滿足要求的最佳方案［1-8］.

目前，圍繞行星齒輪機構(gòu)和換擋元件方案的綜合問題，國內(nèi)外學(xué)者已作了很多研究工作［9-14］.文獻［9-10］采用線圖綜合法實現(xiàn)了 2自由度行星傳動方案綜合與優(yōu)選的計算機輔助設(shè)計，但該方法只適用于2和3自由度行星齒輪機構(gòu)的方案設(shè)計.文獻［11］提出了用構(gòu)件分析法來實現(xiàn)方案的綜合與優(yōu)選，在方案優(yōu)選過程中，使用變量變換法來求解行星排的廣義特性參數(shù)，從而避免求解非線性不等式組，但是對于擋位數(shù)較多的換擋元件方案，運算過程較繁瑣，不利于快速尋找方案.文獻［12-14］都是通過綜合傳動比序列來尋找最佳換擋元件方案，但是大量的符號運算降低了運算效率，該方法不適用于多自由度行星齒輪機構(gòu)的換擋元件方案設(shè)計.

本文通過建立易于被計算機識別的AT換擋元件方案的數(shù)學(xué)模型，并基于遺傳算法提出一種高效且易于實現(xiàn)計算機輔助設(shè)計的AT換擋元件方案優(yōu)選方法.

1 AT換擋元件方案的數(shù)學(xué)模型

在單排行星齒輪機構(gòu)中，繞中心軸旋轉(zhuǎn)的基本元件包括了太陽輪、齒圈和行星架.AT的行星齒輪變速機構(gòu)是由多個行星排、輔助構(gòu)件、輸入軸、輸出軸及換擋元件組成的.通過輔助構(gòu)件相連的行星排基本元件在動力傳遞過程中始終以同一轉(zhuǎn)速繞中心軸旋轉(zhuǎn)，稱其為行星齒輪機構(gòu)的一個構(gòu)件.對于只包含基本行星排的行星齒輪機構(gòu)，其構(gòu)件個數(shù)m與基本元件個數(shù)n之間的關(guān)系可以表示為

其中f為行星齒輪機構(gòu)自由度數(shù).

以構(gòu)件為基本單元對行星齒輪機構(gòu)進行劃分，并對不同構(gòu)件進行相應(yīng)編碼.以德國ZF公司的4自由度8速自動變速器為例，該變速器包含4個行星排和8個構(gòu)件，依次對該變速器的構(gòu)件進行編碼，編碼后的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示.

圖1 編碼后ZF-8AT的結(jié)構(gòu)簡圖［10］Fig.1 Coded diagram of ZF-8AT［10］

為建立行星齒輪機構(gòu)及其換擋元件的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建矩陣T來表示構(gòu)件與基本元件之間的從屬關(guān)系.矩陣T的構(gòu)建規(guī)則如下:矩陣的列號為構(gòu)件在行星齒輪機構(gòu)中的編碼，矩陣的行號代表行星齒輪機構(gòu)的某一基本元件，則矩陣的總行數(shù)為n，矩陣的總列數(shù)為m.當(dāng)構(gòu)件j中包含基本元件i時，矩陣元素tij=1;否則tij=0，則矩陣T的普遍形式如下:

AT換擋元件根據(jù)布置位置的不同，可以分為制動器和離合器，制動器的基本功能是制動行星齒輪機構(gòu)中的獨立旋轉(zhuǎn)構(gòu)件，離合器的基本功能是連接或分離行星齒輪機構(gòu)中的兩個獨立旋轉(zhuǎn)構(gòu)件.AT換擋元件方案是指實現(xiàn)行星齒輪機構(gòu)以不同傳動比來傳遞轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速所需制動器與離合器的組合.為構(gòu)建換擋元件方案數(shù)學(xué)模型，對制動器和離合器進行編碼，編碼規(guī)則如下:①制動器的編碼由字母B和與制動器相連的構(gòu)件編碼組合而成，記為BX，其中X為構(gòu)件編碼;②離合器的編碼由字母C和與離合器相連的兩構(gòu)件編碼組合而成，記為CXY，其中X和Y均為構(gòu)件編碼.對圖1所示的ZF-8AT的制動器PA和PB及離合器PC，PD，PE進行編碼，其換擋元件方案的矩陣表示為

基于對換擋元件的編碼，快速實現(xiàn)對換擋元件方案的遍歷.對包含7個構(gòu)件、3個制動器和3個離合器的自動變速器進行換擋元件方案的遍歷，綜合出的換擋元件方案總數(shù)為1 140個，方案結(jié)果如表1所示.

表1 某行星齒輪機構(gòu)換擋元件方案Table 1 Clutch design of the planetary gear train

2 換擋元件方案的運動學(xué)分析

多自由度行星齒輪機構(gòu)需要通過閉鎖換擋元件才能實現(xiàn)動力傳遞.考慮部分換擋元件同時閉鎖時變速器無法傳遞動力，對同一行星齒輪機構(gòu)，不同換擋元件方案可以實現(xiàn)不同的擋位數(shù).為提高優(yōu)選算法的效率，對換擋元件方案的實際擋位數(shù)進行預(yù)判，對實際擋位數(shù)小于設(shè)計要求的方案予以排除.為了實現(xiàn)換擋元件方案擋位數(shù)的預(yù)判，則需要針對換擋元件方案對行星齒輪變速機構(gòu)進行運動學(xué)分析.

行星齒輪機構(gòu)基本元件的轉(zhuǎn)速滿足下面的關(guān)系式:

其中，nsi，nri，nci分別為同一行星排的太陽輪、齒圈和行星架的轉(zhuǎn)速;ne，nf為行星齒輪機構(gòu)中經(jīng)輔助構(gòu)件相連的基本元件e和f的轉(zhuǎn)速;Ki為行星排的特性參數(shù)且和 Zr分別是太陽輪和齒圈的齒數(shù)，特性參數(shù)的取值范圍取決于行星排的結(jié)構(gòu).

當(dāng)制動器或離合器結(jié)合時，相連的基本元件的轉(zhuǎn)速滿足關(guān)系式:

其中，ni是與制動器相連的基本元件i的轉(zhuǎn)速;nj，nk是與離合器相連的基本元件j和k的轉(zhuǎn)速.

設(shè)輸出轉(zhuǎn)速為1，基本元件個數(shù)為 n，由式(1)～式(4)可得行星齒輪機構(gòu)的運動學(xué)方程組:

其中，A為系數(shù)矩陣;b為常數(shù)項向量;n為基本元件轉(zhuǎn)速向量.矩陣A中不同行向量分別對應(yīng)基本元件連接信息、換擋元件閉合信息及輸入輸出軸信息.

矩陣T表示了構(gòu)件與基本元件之間的從屬關(guān)系，通過矩陣變換得到了求解構(gòu)件轉(zhuǎn)速向量的線性方程組:

其中n1為構(gòu)件轉(zhuǎn)速向量.構(gòu)件轉(zhuǎn)速向量中的輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)速即為變速器的傳動比.改變線性方程組系數(shù)矩陣中閉合換擋元件的信息，求解出換擋元件方案可實現(xiàn)的傳動比序列，實際的擋位數(shù)即傳動比序列中包含的不同傳動比的個數(shù).通過對換擋元件方案實際擋位數(shù)的預(yù)判，進一步縮小換擋元件方案的選擇范圍.

3 換擋元件方案的優(yōu)選

遺傳算法是模擬生物界的自然選擇法則用于解決各類復(fù)雜的最優(yōu)化問題的一種隨機優(yōu)化算法.通過對適應(yīng)度函數(shù)的計算，得到種群中較優(yōu)的個體來進行選擇、交叉和變異操作，保留好的個體，淘汰差的個體，逐步提高整個種群的品質(zhì)，最終得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解.換擋元件方案優(yōu)選問題是一個復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，其適應(yīng)度函數(shù)需要反映出兩方面的要求:一方面是優(yōu)化后的傳動比序列與設(shè)計要求的傳動比序列之間的相對誤差應(yīng)小于規(guī)定值;另一方面是相鄰擋位之間換擋時，只變換一個換擋元件.此外，倒擋設(shè)計誤差值不同于前進擋，在進行換擋元件優(yōu)化設(shè)計時，倒擋的設(shè)計是單獨考慮的.

設(shè)行星齒輪機構(gòu)的自由度為f，行星排的個數(shù)為p，換擋元件的個數(shù)為s，設(shè)計要求的前進擋個數(shù)為 r，前進擋的傳動比序列為{i1，i2，…，ir}.實際傳動比序列與目標(biāo)傳動比序列之間的相對誤差為

其中，it表示第t擋位的目標(biāo)傳動比;i't表示第t擋位的實際傳動比;bt表示第t擋位的權(quán)重系數(shù)，權(quán)重的選取與該擋位的使用頻率相關(guān).

設(shè)第t擋位對應(yīng)的閉合換擋元件集合為Mt，第t+1擋位對應(yīng)的閉合換擋元件集合為Mt+1，取Mt與Mt+1的交集，如果所得集合的元素個數(shù)小于f-2，系統(tǒng)會給定一個常數(shù)作為誤差偏移值ε，否則，誤差偏移值ε=0.

設(shè)換擋元件方案包含q個閉合換擋元件集合，即{M1，M2，…，Mq}.當(dāng)換擋元件組合 Mt閉合時，求得行星齒輪變速機構(gòu)的傳動比it.依次閉合換擋元件組合可得傳動比序列{i1，i2，…，it}，對該傳動比序列做降序排列可得實際傳動比序列{i'1，i'2，…，i'q}.在實際傳動比序列中，依次選取 r個傳動比構(gòu)成實際傳動比的子集，且子集的個數(shù)為將實際傳動比序列與目標(biāo)傳動比序列的相對誤差φ與誤差偏移值ε之和作為修正誤差，因此可得到修正誤差集，則該換擋元件方案的適應(yīng)度函數(shù)為

當(dāng)變速器結(jié)構(gòu)一定的情況下，影響換擋元件方案適應(yīng)度函數(shù)的主要因素是行星排特性參數(shù)，因此，把行星排特性參數(shù)選為該優(yōu)化問題的設(shè)計變量，分別對每個換擋元件方案適應(yīng)度函數(shù)最小化問題進行求解.圖2是對ZF-8AT換擋元件方案采用遺傳算法進行優(yōu)化時每一代種群的平均適應(yīng)度與最大適應(yīng)度曲線.由平均適應(yīng)度曲線可以看到當(dāng)遺傳算法進行到第40代時，平均適應(yīng)度基本保持不變，算法終止于第51代，其適應(yīng)度值為0.006.

圖2 平均適應(yīng)度與最大適應(yīng)度曲線Fig.2 Average fitness and optimal fitness

為了進一步提高計算效率，降低由于方案過多而帶來的時間成本，采用重力梯度法與遺傳算法相結(jié)合的方式進行了行星排特性參數(shù)優(yōu)化.梯度法收斂速度快，尋找局部最優(yōu)點能力強，但其求解空間必須連續(xù)且可導(dǎo)，而遺傳算法具有全局尋優(yōu)能力強、求解空間可不連續(xù)等優(yōu)勢.因此，本文首先通過對遺傳算法設(shè)定適合的種群規(guī)模，使其能在較短的時間內(nèi)在全局最優(yōu)點附近收斂停止，然后利用遺傳算法的終止點作為梯度法的起始點，進行局部細(xì)致優(yōu)化，最終求得全局最優(yōu)解，優(yōu)選算法的主要流程如圖3所示.

圖3 優(yōu)選算法流程圖Fig.3 Data flow of optimization algorithm

4 方案優(yōu)選案例

基于MATLAB仿真平臺，以圖1所示的德國ZF公司的4自由度8速自動變速器為研究對象，編寫換擋元件方案優(yōu)選算法，并求解出該變速器的最優(yōu)換擋元件方案.

建立ZF-8AT換擋元件方案的數(shù)學(xué)模型，初步綜合出2 925個可行的換擋元件方案，經(jīng)對換擋元件方案的實際擋位數(shù)預(yù)判和優(yōu)選算法后方案數(shù)減小至82.對這82個換擋元件方案執(zhí)行換擋元件方案優(yōu)選算法，每個換擋元件方案對應(yīng)的適應(yīng)度最小值如圖4所示.

圖4 適應(yīng)度最小值曲線Fig.4 Minimal fitness

由圖4可知，有多組適應(yīng)度函數(shù)接近零值的方案，適應(yīng)度函數(shù)最小值越接近零值，則方案的傳動比序列越接近目標(biāo)傳動比序列.

本案例存在3個最優(yōu)方案，換擋元件方案矩陣及其適應(yīng)度最小值見表2，其結(jié)構(gòu)簡圖和換擋邏輯矩陣見圖5.

表2 最優(yōu)換擋元件方案Table 2 Optimal clutch designs

通過方案的結(jié)構(gòu)簡圖(如圖5所示)可以看出，3個方案的區(qū)別在于離合器C3的軸連接方式不同.方案39中離合器C3連接第3個行星排GS3的行星架和太陽輪軸，方案40是連接GS3的齒圈和太陽輪，方案41是連接GS3的齒圈和行星架.

無論哪種連接方案，C3一旦閉合，GS3做整體轉(zhuǎn)動，因此，3個軸連接方式的作用是一樣的.需要注意的是，不同的軸連接方案會影響3個離合器在變速箱中的空間布置方式而影響變速箱的軸向和徑向尺寸，例如圖1中的沿軸向并排可以方便油路的設(shè)計，或者將離合器PD～PE沿徑向并排，可以縮短軸向尺寸等，具體情況需要進行動力學(xué)校核.

圖5 最優(yōu)方案的結(jié)構(gòu)簡圖及換擋邏輯矩陣Fig.5 Optimal design diagrams and clutching sequences

對比圖5b和圖1可以看出，方案40與ZF-8AT的結(jié)構(gòu)方案相同.表2列出了計算得到的方案40的換擋邏輯矩陣和傳動比，與ZF-8AT的傳動比基本一致.可以證明，本文提出的優(yōu)選算法能夠?qū)ふ业綕M足傳動比要求和換擋元件閉合有序化約束的最優(yōu)換擋元件方案.

5 結(jié)論

1)建立了易于計算機識別的行星齒輪變速機構(gòu)及換擋元件的數(shù)學(xué)模型，并基于MATLAB運算平臺提出了較高效率的AT傳動比求解算法，實現(xiàn)了對換擋元件方案的預(yù)篩選;

2)基于傳動比序列和換擋元件閉合有序化的設(shè)計要求，采用實際傳動比序列與目標(biāo)傳動比序列的相對誤差與誤差偏移值之和作為遺傳算法的換擋元件方案的適應(yīng)度函數(shù);

3)以遺傳算法和梯度法相結(jié)合的方式尋找到AT換擋元件的最優(yōu)方案，并計算出相應(yīng)的最優(yōu)行星排特性參數(shù)、傳動比序列及其對應(yīng)的換擋邏輯;對ZF-8AT自動變速器的換擋元件方案進行了優(yōu)選，最終得到包括原方案在內(nèi)的3組最優(yōu)方案，驗證了本文所提出的優(yōu)選算法的可行性和準(zhǔn)確性.

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