羅 宏
(蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 蘇州215009)
關(guān)于剛體或質(zhì)點(diǎn)系有很多的討論,文獻(xiàn)[1-2]討論了通過實(shí)驗(yàn)來演示在平面平行運(yùn)動(滾動)的情況下,轉(zhuǎn)動慣量等參量對剛體運(yùn)動的影響.文獻(xiàn)[3-4]則討論了剛體的平動及動點(diǎn)動量矩定理.但是比較剛體的平動和平面平行運(yùn)動的相關(guān)文獻(xiàn)很少.了解剛體的平動和平面平行運(yùn)動的區(qū)別可以幫助學(xué)習(xí)者的思維方式由質(zhì)點(diǎn)情況向剛體情況進(jìn)展.
在相同傾角的斜面上,無摩擦下滑的剛體(平動)比作純滾動剛體(平面平行運(yùn)動)的質(zhì)心加速度更大,經(jīng)過相同的距離耗時更短.但由于摩擦力的存在,在斜面上演示這一現(xiàn)象效果不好.本文設(shè)計了2種類似的擺,擺長和懸掛的剛體都相同,只是懸掛其上的剛體分別作平動和平面平行運(yùn)動(運(yùn)動形式不同).通過這2種擺,可以演示剛體的平動和平面平行運(yùn)動,并進(jìn)一步通過測量這2種擺的周期,比較運(yùn)動形式的不同帶給觀測量的影響.平面平行運(yùn)動與平動的主要區(qū)別是,前者有繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動而后者無.通過這一比較,可以讓學(xué)生直觀地了解隨剛體內(nèi)部運(yùn)動維度的增加(剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動),所觀測到的物理量(周期)的變化.是否具有內(nèi)部的轉(zhuǎn)動維度,是剛體和質(zhì)點(diǎn)的一個重要區(qū)別.由于作平動的剛體可以等效為質(zhì)點(diǎn)[5],通過該演示實(shí)驗(yàn),也可以幫助學(xué)生更好地理解剛體運(yùn)動和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的區(qū)別,及其帶來的影響.
理論計算部分,可以選擇牛頓第二定律、能量法[6]或拉格朗日方程.當(dāng)體系約束增加時,用能量法或拉格朗日方程處理問題會更簡單(如在以下的兩擺中).另外,隨著物理學(xué)習(xí)的深入,越來越多的問題需要用能量的觀念來思考,所以本文選擇拉格朗日方程來計算和分析.以下的討論將只考慮擺在豎直平面內(nèi)的擺動,并假設(shè)擺動的角度很小.
2根長度同為l的不可伸長輕細(xì)繩(質(zhì)量可忽略),對稱地系于勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)心(中點(diǎn))C的兩側(cè).兩繩的另一端以相同的距離系于懸掛處.細(xì)桿長度為d、質(zhì)量為m.如圖1所示,O點(diǎn)為兩懸掛點(diǎn)的中點(diǎn),OC=l為擺長.將擺拉開小角度,由靜止釋放擺,擺將往復(fù)擺動.由于兩繩的約束,細(xì)桿將始終處于水平狀態(tài),細(xì)桿的運(yùn)動為平動.對于剛體的平動,可以將整個剛體的運(yùn)動簡化為質(zhì)心的運(yùn)動[5],此擺可以簡化為繩OC末端懸掛質(zhì)點(diǎn)m的單擺,其周期即單擺周期.但為了便于與擺2比較,仍舊寫出其動能及拉格朗日函數(shù).
圖1 擺1
由克尼希定理知,對于剛體的平動運(yùn)動,系統(tǒng)的動能只有質(zhì)心動能:
式中,IO=ml2為細(xì)桿質(zhì)心繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量,ωO為質(zhì)心繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度,θ為擺角.系統(tǒng)的勢能為
此系統(tǒng)為理想約束下的保守系統(tǒng),則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為
建立并解得拉格朗日方程可知,擺1在小角度近似下的周期為
如圖2所示,與擺1中相同的細(xì)桿,其兩端點(diǎn)A和B各系1根相同長度的不可伸長輕細(xì)繩,兩繩的另一端都系于懸點(diǎn)O,C為細(xì)桿的質(zhì)心,選擇兩繩的長度使擺長OC=l(與擺1相同),θ為擺角.同樣地將擺2拉開一個小角度,由靜止釋放,擺將往復(fù)擺動,由于兩繩的約束,細(xì)桿的運(yùn)動為平面平行運(yùn)動,可以分解為質(zhì)心運(yùn)動和細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動.
圖2 擺2
細(xì)桿質(zhì)心繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度ωO與細(xì)桿繞自身質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度ωC相同.這可以通過圖3得知.圖3中,AB為當(dāng)擺角為θ時細(xì)桿的位置,A′B′為當(dāng)擺角為0時,細(xì)桿的位置(經(jīng)過平移使質(zhì)心重合),由圖容易證明當(dāng)整個擺擺動的角度為θ時,細(xì)桿轉(zhuǎn)動的角度也為θ,也就是說
圖3 細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角和擺角的關(guān)系
則由克尼希定理,在擺2中細(xì)桿的動能為
式中第一項(xiàng)為質(zhì)心繞O點(diǎn)運(yùn)動的動能,IO為質(zhì)心繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量,此項(xiàng)與擺1相同.第二項(xiàng)為細(xì)桿繞自身質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能,IC為細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為
擺2的勢能與擺1相同V2=V1.此系統(tǒng)為理想約束下的保守系統(tǒng),由式(2),(5),(6),其拉格朗日函數(shù)為
拉格朗日方程為
在小角度近似下,化簡得到:
此式為諧振動方程,可得擺2的周期為
比較(4)式與(11)式,可見這2種擺的周期不同,(11)式中多出了IC項(xiàng).通過對比可以發(fā)現(xiàn),這2種擺的擺長(質(zhì)心C到懸點(diǎn)O的距離)和懸掛的剛體都相同,不同之處在于所懸掛剛體的運(yùn)動形式,這導(dǎo)致其動能組成不同.如果比較二者的拉格朗日函數(shù)(3)和(8)式,可以看出,二者拉格朗日函數(shù)中動能項(xiàng)有差異.在擺1中,懸掛在擺線下的細(xì)桿作平動,質(zhì)心運(yùn)動可以代表整個細(xì)桿,細(xì)桿可被等效為一質(zhì)點(diǎn),其動能為質(zhì)心運(yùn)動動能.而擺2中,細(xì)桿作平面平行運(yùn)動,其運(yùn)動除了質(zhì)心運(yùn)動之外,還增加了剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動這一維度,由此其動能除了質(zhì)心運(yùn)動動能之外,還有細(xì)桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能.正是由于2種擺動能組成的不同,最終表現(xiàn)出其周期的不同,(11)式比(4)式多出的IC項(xiàng)正源于其對應(yīng)的轉(zhuǎn)動動能項(xiàng).
從定性的角度分析這2種擺對理解平動和平面平行運(yùn)動的不同也有幫助.在擺1中,細(xì)桿作平動,勢能完全轉(zhuǎn)化為質(zhì)心動能.而在擺2中,細(xì)桿作平面平行運(yùn)動,勢能除一部分轉(zhuǎn)化為質(zhì)心動能外,還有一部分轉(zhuǎn)化為細(xì)桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能.如果以相同的擺角θ靜止釋放二擺,這就必然導(dǎo)致在相同的位置,擺2的質(zhì)心速度小于擺1(由于部分勢能轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動動能),以致擺2周期較長.正如(4)式與(11)式所示.由此,可以更進(jìn)一步認(rèn)為,在理想約束下的機(jī)械能守恒的擺中,隨著系統(tǒng)運(yùn)動維度的增加,其質(zhì)心完成1個周期的運(yùn)動所需時間有增加的趨勢.
由于作平動的剛體可以被等效為一質(zhì)點(diǎn),平動和平面平行運(yùn)動的比較,可以看做是質(zhì)點(diǎn)和剛體的比較.增加了繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動自由度上的運(yùn)動,是剛體較質(zhì)點(diǎn)的重要區(qū)別,也是擺2比擺1周期更長的原因.
將轉(zhuǎn)動慣量IO和IC代入式(4)和(11),得到在實(shí)驗(yàn)中實(shí)際使用的周期表達(dá)式:
實(shí)驗(yàn)儀器使用常用的單擺實(shí)驗(yàn)儀改造而成.儀器頂部有一橫梁,梁上有一小孔,懸線由小孔中穿過.擺2只需1臺單擺實(shí)驗(yàn)儀懸掛.擺1用2臺單擺實(shí)驗(yàn)儀懸掛,調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀的高度相等,懸點(diǎn)間距和細(xì)桿上束縛點(diǎn)的間距相等即可.細(xì)桿長度和擺長分別為d=0.615m,l=0.300m.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣冉?jīng)查表取為g=9.80m/s2.將以上數(shù)據(jù)代入(12)和(13)式可得10倍周期的預(yù)期值,
10T1=10.99s,10T2=12.77s. (14)
實(shí)驗(yàn)測量中,擺來回擺動10個周期測量1次時間,兩種擺各測量了10次,其測量數(shù)據(jù)如表1所示.
表1 周期測量數(shù)據(jù)
以下分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定度,并依據(jù)實(shí)驗(yàn)的不確定度來給出細(xì)桿長度和擺長比例的參考范圍.一種擺周期的測量結(jié)果應(yīng)在另一種擺的測量結(jié)果不確定度之外,二者周期的區(qū)別才被認(rèn)為是明確的.因此需合理設(shè)計擺長和細(xì)桿長度,使二擺周期的預(yù)期值有足夠大的差別.
為保證2種擺周期具有可明顯觀察的差別,以下分析數(shù)據(jù)都會取較寬裕的值,并仍以10倍周期作為分析對象.實(shí)驗(yàn)中使用的秒表精度為0.01s,人的反應(yīng)時間一般為0.1~0.4s之間.由于人的反應(yīng)時間影響了時間測量的精度,故將B類不確定度統(tǒng)一取為uB=0.4s.結(jié)合由表1得出的A類不確定度,可得2種擺10倍周期的合成不確定度u=0.4s.則2種擺周期的預(yù)期值之差應(yīng)該大于2u,為增大二者區(qū)隔取其值為1s.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),則可得到如下不等式,
將(12)和(13)式代入計算可得
因此建議實(shí)際制作此演示實(shí)驗(yàn)儀時須滿足(16)式的條件.如果采用文獻(xiàn)[7,8]中所使用的較高精度的實(shí)驗(yàn)儀器,則此比值可以更小,但要依據(jù)實(shí)際的不確定度來分析.
設(shè)計了2種不同的擺,其擺長相同,所懸掛剛體相同,但剛體的運(yùn)動形式不同.通過這兩種擺,演示了剛體平動和平面平行運(yùn)動,及其對擺周期的影響.正是擺2中剛體作平面平行運(yùn)動所具有的繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動分量,使其擺動的周期較擺1更長.通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,這2種擺制作較為簡單,演示效果良好.雖然實(shí)驗(yàn)中2種擺都懸掛了剛體,但其也可以等效作為演示質(zhì)點(diǎn)和剛體區(qū)別的演示實(shí)驗(yàn)裝置.
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