楊 波，金天國(guó)，畢鳳陽(yáng)，2，李建廣

（1哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001；2黑龍江工程學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150050）

復(fù)合材料液體模塑成型工藝（Liquid Composite Molding，LCM）如今正廣泛應(yīng)用于制造復(fù)雜結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料構(gòu)件，然而以試驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)為主要手段的模具設(shè)計(jì)、工藝參數(shù)的確定方法成本高、效率低，很大程度上推升了該工藝制件的價(jià)格，限制了LCM工藝的應(yīng)用推廣。因此采用數(shù)值模擬代替實(shí)驗(yàn)來預(yù)測(cè)模具填充過程中可能產(chǎn)生的缺陷，進(jìn)而優(yōu)化模具設(shè)計(jì)和工藝參數(shù)的方法越來越受到重視。

樹脂在預(yù)成型體中的流動(dòng)可以看做是不可壓縮黏性流體在多孔介質(zhì)中的滲流問題，通常采用達(dá)西定律描述，聯(lián)立求解達(dá)西定律與連續(xù)性方程即可獲得流場(chǎng)參數(shù)，進(jìn)而預(yù)測(cè)工藝過程中可能產(chǎn)生的缺陷。在此過程中，滲透率是進(jìn)行填充仿真過程中最重要的輸入?yún)?shù)，對(duì)仿真結(jié)果精度有極大的影響。

滲透率的研究是為樹脂充模仿真服務(wù)的，然而僅僅研究單胞在經(jīng)緯紗線正交狀態(tài)下的滲透率是不足的，因?yàn)榭椢镤伕苍谀＞呱蠒r(shí)會(huì)在約束下產(chǎn)生變形，這樣滲透率會(huì)發(fā)生較大變化?？椢镤伕策^程中可能發(fā)生的變形有剪切、矯直、起皺、拉伸和滑移等，其中剪切是織物變形的主要形式。通常忽略其他變形模式，認(rèn)為織物鋪覆在細(xì)觀上的體現(xiàn)就是單胞剪切變形［1，2］。以某雷達(dá)天線屏蔽器的LCM工藝模具填充仿真為例，其仿真過程如圖1所示。首先，建立模具型腔的幾何模型，并進(jìn)行離散；然后利用鋪覆算法計(jì)算出織物在模具內(nèi)受力變形導(dǎo)致的局部剪切角，根據(jù)滲透率與剪切角的關(guān)系獲得預(yù)成形體的滲透率分布；最后根據(jù)滲透率分布求解達(dá)西定律獲得填充過程參數(shù)。可以看出，研究預(yù)成形體在剪切變形后的滲透率變化有重要意義。

圖1 填充仿真過程Fig.1 Illustration of filling simulation for LCM

目前主要通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定滲透率，然而實(shí)驗(yàn)成本高、時(shí)間長(zhǎng)、對(duì)環(huán)境敏感，尤其是剪切滲透率很難準(zhǔn)確測(cè)定。因此，通過數(shù)值方法模擬流體流過預(yù)成形體單胞，獲得流場(chǎng)參數(shù)后回帶入達(dá)西定律預(yù)測(cè)復(fù)雜預(yù)成型體滲透率的方法正逐漸顯出其優(yōu)勢(shì)。

Verleye等［3，4］針對(duì)無皺褶織物和平紋織物建立了細(xì)觀幾何模型，采用有限差分法求解Stokes方程預(yù)測(cè)單胞滲透率，并且研究了剪切的影響，最后通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。Naoki Takano等［5］采用漸進(jìn)均勻理論研究了織物細(xì)觀和微觀滲透率，采用有限元法求解流動(dòng)方程，并對(duì)單胞剪切滲透率進(jìn)行了深入探討。Chen等［6］采用FLOTRAN CFD軟件仿真了平紋織物單胞中的細(xì)觀流動(dòng)，預(yù)測(cè)了細(xì)觀滲透率，并通過大量仿真研究了幾何參數(shù)對(duì)滲透率的影響。國(guó)內(nèi)研究者目前大都采用實(shí)驗(yàn)法測(cè)定滲透率［7－10］，對(duì)數(shù)值模擬方法預(yù)測(cè)滲透率的研究很少。其中，戴福洪等［11］采用均勻化法預(yù)測(cè)了單胞滲透率，并通過與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，驗(yàn)證了其方法的合理性。倪愛清等［12］采用均勻化理論分析了流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)問題，推導(dǎo)出廣義達(dá)西定律，分別對(duì)單向纖維織物和二維平面織物的滲透率進(jìn)行了驗(yàn)證，考察了單胞微觀結(jié)構(gòu)對(duì)滲透率的影響。吳炎等［13］采用有限元法針對(duì)雙向縫合氈單胞進(jìn)行了流動(dòng)分析，預(yù)測(cè)了滲透率，并通過一組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

目前的研究主要有以下局限：（1）計(jì)算大都將紗線視為不可滲透的，忽略了紗線內(nèi)部的樹脂流動(dòng)，這樣的預(yù)測(cè)結(jié)果不能體現(xiàn)預(yù)成形體單胞的雙尺度特性；（2）受幾何建模或計(jì)算方法的限制，預(yù)成形體單胞的幾何模型被大大簡(jiǎn)化：紗線截面簡(jiǎn)化為矩形，紗線的卷曲路徑也采用分段直線來代替。這樣的簡(jiǎn)化損害了滲透率預(yù)測(cè)的精度；（3）研究大都針對(duì)正交單胞，對(duì)剪切變形單胞的滲透率求解方法研究較少，滲透率預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)實(shí)際應(yīng)用的幫助有限。本工作考慮紗線的內(nèi)部流動(dòng)建立樹脂流動(dòng)模型，建立逼近真實(shí)的預(yù)成形體正交單胞幾何模型；基于Chorin投影法和Adams－Bashforth差分格式構(gòu)造求解樹脂流動(dòng)控制方程的高分辨率TVD數(shù)值格式，預(yù)報(bào)預(yù)成形體滲透率；在此基礎(chǔ)上，針對(duì)剪切單胞，采用貼體坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn)其滲透率的預(yù)測(cè)，研究單胞剪切變形對(duì)其滲透率的影響。

1 流動(dòng)數(shù)學(xué)建模

根據(jù)Darcy定律，預(yù)成形體滲透率可以用下式表示：

其中，K表示多孔介質(zhì)的滲透率張量；u＝（u，v，w）表示樹脂流動(dòng)速度，上劃線表示體積平均；μ表示樹脂的黏度；p表示壓力。流場(chǎng)速度和壓力分布為未知量，需要通過數(shù)值求解預(yù)成形體中流場(chǎng)控制方程獲得。

宏觀預(yù)成形體由紗線編織成纖維布，再通過鋪覆過程獲得，結(jié)構(gòu)復(fù)雜度非常高，不可能一次性仿真構(gòu)件預(yù)成形體內(nèi)的流動(dòng)，但是根據(jù)其周期性可知，預(yù)成形體是由大量重復(fù)排列的編織結(jié)構(gòu)成，稱之為細(xì)觀單胞，以下簡(jiǎn)稱單胞，圖2所示為平紋織物單胞?？紤]紗線的可滲透性，單胞內(nèi)部的樹脂流動(dòng)由兩個(gè)尺度的流動(dòng)組成，一是紗線間區(qū)域的樹脂流動(dòng)，稱之為細(xì)觀流動(dòng)；二是樹脂在紗線內(nèi)部纖維單絲間的流動(dòng)，稱之為微觀流動(dòng)。

圖2 平紋織物單胞內(nèi)的樹脂流動(dòng)Fig.2 The resin flow of plain fabric unit－cell

將樹脂看做不可壓縮黏性牛頓流體，填充過程視為層流、恒溫的流動(dòng)過程，這樣，紗線間的樹脂細(xì)觀流動(dòng)可以用不可壓縮Navier－Stokes方程表示：

其中，f表示液體的單位質(zhì)量力，ρ表示流體密度，Δ表示Laplacian算子。

由于樹脂流動(dòng)速度很慢，忽略非線性對(duì)流項(xiàng)，另外，樹脂的密度對(duì)滲透率的預(yù)測(cè)沒有影響，因此樹脂在紗線間的細(xì)觀流動(dòng)可以用下式表達(dá)：

對(duì)于紗線內(nèi)部纖維間的流動(dòng)，可以將紗線看做多孔介質(zhì)，采用Brinkman方程描述流動(dòng)：

其中，Kyarn表示紗線內(nèi)部的微觀滲透率張量，用來表達(dá)紗線內(nèi)部纖維間孔隙的滲透性能，受到纖維分布狀態(tài)的影響，Kyarn通常通過經(jīng)驗(yàn)公式（如Gebart模型［14］）獲得。對(duì)比式（3）和式（4）可以發(fā)現(xiàn)，Brinkman方程僅細(xì)觀流動(dòng)控制方程多一個(gè)余項(xiàng)μu／Kyarn，因此，可以將單胞內(nèi)的整個(gè)流動(dòng)全部采用Brinkman方程來描述，紗線外部的細(xì)觀流動(dòng)可看做是K－1yarn＝0的Brinkman流動(dòng)。

聯(lián)立求解式（4）和連續(xù)性方程，即可獲得單胞內(nèi)流場(chǎng)的壓力分布和速度分布，回帶入式（1），即可求得織物單胞的滲透率值K。

2 正交單胞滲透率預(yù)測(cè)

2.1 幾何建模及邊界條件

預(yù)成形體單胞幾何模型通常采用通用CAD（Computer Aided Design，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)）軟件（如Pro／E、CATIA等）建立，受其限制，很難建立逼真的單胞幾何模型，因此需要將紗線截面近似為多邊形，紗線中心線路經(jīng)簡(jiǎn)化為分段直線，這樣的簡(jiǎn)化模型與單胞的真實(shí)結(jié)構(gòu)差距很大，雖然方便了建模和計(jì)算，但是損害了滲透率預(yù)報(bào)精度。本工作利用ACIS幾何建模內(nèi)核，采用曲線曲面建模方法建立該逼真的織物正交單胞幾何模型如圖3所示。

圖3 平紋織物正交單胞幾何模型Fig.3 Geometry model of plain fabric orthogonal unit－cell

預(yù)測(cè)單胞細(xì)觀X向（Y向類似）滲透率時(shí)的求解區(qū)域及邊界條件設(shè)置如圖4所示，在入口Γ3和出口Γ6施加恒壓邊界條件分別為P0和0；由于預(yù)成形體是由多層織物堆疊而成，而且單胞具有周期性，在其余邊界施加周期性邊界條件，即Γ1和Γ4，Γ2和Γ5分別成對(duì)施加周期邊界條件。

圖4 求解區(qū)域及邊界條件設(shè)置Fig.4 Calculation region and boundary conditions

基于有限差分法求解單胞中樹脂流動(dòng)控制方程。對(duì)流動(dòng)區(qū)域幾何模型采用矩形網(wǎng)格離散，為了避免計(jì)算產(chǎn)生沒有物理意義的鋸齒形流動(dòng)速度或壓力分布，本工作采用交錯(cuò)網(wǎng)格布置方式。以二維網(wǎng)格布置為例，交錯(cuò)網(wǎng)格布置方式如圖5所示。壓力在由實(shí)心點(diǎn)表示的網(wǎng)格點(diǎn)上計(jì)算，水平和垂直流動(dòng)速度分別在由灰色實(shí)心點(diǎn)和空心點(diǎn)表示的網(wǎng)格點(diǎn)上計(jì)算。這樣壓力和速度就在不同的網(wǎng)格點(diǎn)上計(jì)算，可以消除產(chǎn)生鋸齒形流速和壓力分布的可能性。三維交錯(cuò)網(wǎng)格與二維相似，不再贅述。

圖5 交錯(cuò)網(wǎng)格布置Fig.5 The staggered grid

2.2 細(xì)觀流動(dòng)數(shù)值求解

由于本工作的流動(dòng)計(jì)算考慮了紗線的可滲透性，而且紗線的滲透率較低，紗線內(nèi)部的流動(dòng)阻力會(huì)在紗線和孔隙界面處造成明顯的速度不連續(xù)現(xiàn)象，這樣在采用普通差分格式計(jì)算流動(dòng)時(shí)，可能會(huì)呈現(xiàn)出震蕩現(xiàn)象，影響計(jì)算的穩(wěn)定性，這種震蕩完全是因?yàn)閿?shù)值的原因。為了避免上述現(xiàn)象的發(fā)生，應(yīng)該選擇一種滿足總變差減?。═VD）條件的高分辨率時(shí)間離散格式，本工作采用滿足該條件的Adams－Bashforth離散格式來進(jìn)行時(shí)間離散。

Adams－Bashforth格式用于對(duì)流方程時(shí)是一個(gè)一步，三層和時(shí)間前差的差分格式，它的截?cái)嗾`差為O（Δt2，Δx2），它可以被看成是對(duì)二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)有限差分近似。Adams－Bashforth的基本形式為：

其中，Γ表示所計(jì)算的物理量，n表示時(shí)間步，Δt表示時(shí)間步長(zhǎng)，i，j，k表示節(jié)點(diǎn)序號(hào)。

采用Chorin投影法解耦單胞內(nèi)流動(dòng)的動(dòng)量守恒方程（4）和連續(xù)性方程，它是一種預(yù)估校正法。第一步利用動(dòng)量守恒方程求解獲得預(yù)測(cè)速度場(chǎng)，這個(gè)預(yù)測(cè)速度場(chǎng)不滿足連續(xù)性方程。第二步通過連續(xù)性方程推導(dǎo)出用于求解壓力場(chǎng)的泊松類方程，通過求解該方程獲得下一時(shí)間步的壓力分布。最后利用第二步求得的壓力場(chǎng)將預(yù)測(cè)速度場(chǎng)映射到無散度的速度場(chǎng)中，該速度場(chǎng)即為下一時(shí)間步的速度場(chǎng)分布。將Brinkman方程的時(shí)間項(xiàng)利用上述Adams－Bashforth差分格式離散，并應(yīng)用到該映射法中，則整個(gè)計(jì)算過程可以表示為：

（1）已知第n時(shí)間步的速度分布un，求解下式獲得預(yù)測(cè)速度場(chǎng)u＊：

（2）聯(lián)立：

與連續(xù)性方程

獲得泊松類方程：

求解式（9）獲得n＋1時(shí)間步的壓力分布pn＋1。

（3）將第一步求得的u＊和第二步求得的pn＋1帶入式（7），獲得n＋1時(shí)間步的速度分布。

上述公式中Δt表示時(shí)間步長(zhǎng)，對(duì)于顯式計(jì)算的時(shí)間推進(jìn)法，時(shí)間步長(zhǎng)有如下穩(wěn)定性條件：

其中，Δd表示最小空間網(wǎng)格步長(zhǎng)（包含三個(gè)方向）。

對(duì)于壓力項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)的離散，均采用具有二階精度的中心差分格式：

在以上算法中，每一步迭代均需要且僅需要使用前兩個(gè)時(shí)間步的流場(chǎng)信息，因此啟動(dòng)該迭代需要提供起始兩個(gè)時(shí)間步的流場(chǎng)信息，這兩個(gè)時(shí)間步的流場(chǎng)信息可以通過很多方法獲得，本工作前兩步采用隱式算法獲得。上述顯式差分計(jì)算算法流程如圖6所示。

圖6 算法流程Fig.6 The algorithm flowchart

2.3 細(xì)觀流動(dòng)求解結(jié)果分析

為了驗(yàn)證以上算法的正確性，本節(jié)預(yù)測(cè)Syncoglass R420織物（表1）的滲透率，其正交單胞幾何建模結(jié)果如圖7所示。

表1 Syncoglass R420織物幾何參數(shù)Table1 Geometry parameters of Syncoglass R420fabric

圖7 Syncoglass R420織物單胞模型Fig.7 Meso－geometry model of Syncoglass R420fabric

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式求得Syncoglass R420織物紗線軸向和徑向滲透率分別為kalong＝2.71×10－12m2，ktrans＝5.88×10－13m2。采用本文所述算法計(jì)算該織物單胞內(nèi)的流場(chǎng)參數(shù)，邊界條件為入口壓力P0＝1Pa，流體黏度μ＝1Pa·s。X方向流動(dòng)仿真結(jié)果的壓力分布和速度分布分別如圖8，9所示。

圖8 X向流動(dòng)壓力分布Fig.8 Pressure distribution of X－direction flow

圖9 X向流動(dòng)速度分布Fig.9 Velocity distribution of X－direction flow

將計(jì)算所得壓力和速度分布回帶入式（1）獲得單胞滲透率，本工作算法預(yù)報(bào)的滲透率為Kxx＝1.657×10－10m2，Kyy＝1.873×10－10m2。戴福洪等［11］針對(duì)同一織物，采用均勻化方法，不考慮紗線的可滲透性而預(yù)報(bào)的結(jié)果為Kxx＝1.29×10－10m2，Kyy＝1.228×10－10m2。而實(shí)驗(yàn)測(cè)定的該織物滲透率為Kxx＝1.43×10－10m2，Kyy＝1.79×10－10m2。比較這幾個(gè)結(jié)果可以看出，在忽略紗線可滲透性情況下預(yù)測(cè)的滲透率值小于實(shí)驗(yàn)值，而本工作的滲透率預(yù)測(cè)值略大于實(shí)驗(yàn)值?？紤]到實(shí)驗(yàn)過程中模具對(duì)預(yù)成形體的擠壓作用，本工作的預(yù)測(cè)結(jié)果較為準(zhǔn)確，證明了該算法的可行性。

3 剪切變形對(duì)滲透率的影響

3.1 剪切單胞滲透率預(yù)測(cè)

預(yù)成型體在發(fā)生剪切變形時(shí)，不可避免地引起厚度以及紗線內(nèi)部纖維排布和狀態(tài)的變化，但是由于這些變形量很小，而且相對(duì)于剪切角度，這些因素對(duì)單胞內(nèi)流動(dòng)的影響非常小，因此本工作忽略這些因素，僅考慮剪切角對(duì)細(xì)觀滲透率的影響。單胞剪切鎖合角度（最大剪切角度）一般為15～35°，很少超過40°，與織物拓?fù)浜筒牧舷嚓P(guān)。對(duì)正交單胞模型進(jìn)行簡(jiǎn)單處理即可獲得剪切單胞模型，剪切角為θ的平紋織物單胞如圖10所示。

圖10 剪切角為θ的平紋織物單胞模型Fig.10 Plain fabric unit－cell with shear angleθ

對(duì)剪切單胞樹脂流動(dòng)區(qū)域做貼體坐標(biāo)系如圖11所示（僅剪切平面），將有剪切的物理域流動(dòng)求解問題轉(zhuǎn)換到無剪切的計(jì)算域進(jìn)行求解。（x，y）和（ε，η）分別為物理域和計(jì)算域的自變量。

對(duì)于三維剪切單胞的貼體坐標(biāo)的物理域和計(jì)算域自變量有如下關(guān)系：

其中，z和ζ分別為單胞厚度方向在物理域和計(jì)算域的自變量；θ為剪切角。

可以看出，求解區(qū)域從物理域到計(jì)算域的轉(zhuǎn)換可以大大簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算的難度，但是樹脂流動(dòng)控制方程式（4）僅適用于物理域，需要將其向計(jì)算域轉(zhuǎn)化，可以說求解區(qū)域的簡(jiǎn)化是以控制方程的復(fù)雜化為代價(jià)的。下面給出轉(zhuǎn)換到計(jì)算域中控制方程的具體形式。

圖11 貼體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖（a）物理域；（b）計(jì)算域Fig.11 Coordinate transformation of body－fitted coordinates（a）physical domain；（b）computational domain

對(duì)于Brinkman方程式（4），在計(jì)算域上的表達(dá)式為：其中，S＝K－1yarn。連續(xù)性方程式（8）在計(jì)算域上的具體形式為：

即：

由于單胞剪切造成的紗線微觀滲透率主方向的與坐標(biāo)系方向產(chǎn)生夾角，在計(jì)算之前需要進(jìn)行滲透率方向變換。

設(shè)滲透率主方向與坐標(biāo)系方向夾角角度為θ，為了進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，需將該處紗線滲透率Kyarn轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系方向K′上，如圖12所示。根據(jù)張量理論，有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

式中，kalong和ktrans分別為紗線的微觀軸向和徑向滲透率；且有k21＝k12。

圖12 滲透率方向轉(zhuǎn)換Fig.12 The transform of permeability direction

將式（15）和（16）作為控制方程，利用上一節(jié)所述顯式計(jì)算方法進(jìn)行剪切單胞下的流動(dòng)參數(shù)的求解，即可獲得流場(chǎng)參數(shù)，進(jìn)而預(yù)測(cè)滲透率。

3.2 滲透率與剪切角的關(guān)系

單胞剪切角為20°時(shí)，以Y向?yàn)閴毫Σ罘较虻牧鲌?chǎng)仿真結(jié)果如圖13，14，15所示，分別表示壓力、Y向速度和X向速度分布。

圖13 剪切單胞壓力分布Fig.13 Pressure distribution of sheared unit－cell

圖14 剪切單胞Y向流動(dòng)速度分布Fig.14 Y－direction velocity distribution of sheared unit－cell

圖15 剪切單胞X向流動(dòng)速度分布Fig.15 X－direction velocity distribution of sheared unit－cell

從上述數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，單胞發(fā)生剪切變形后，Y方向的壓力差會(huì)產(chǎn)生較大的X 方向的樹脂流動(dòng)，因此坐標(biāo)軸X，Y向不再是單胞滲透率的主方向。根據(jù)仿真結(jié)果可以分別計(jì)算Kxx，Kyy，Kxy，進(jìn)而通過張量的標(biāo)準(zhǔn)型變換可獲得剪切單胞主滲透率值K11和K22。剪切角每隔5°進(jìn)行流動(dòng)仿真，獲得剪切單胞主滲透率比值與剪切角的關(guān)系如圖16所示。通過與文獻(xiàn)［3］，［8］比較發(fā)現(xiàn)，該關(guān)系曲線與實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算所得主滲透率值－剪切角關(guān)系相吻合，證明了以上剪切單胞滲透率預(yù)測(cè)算法的正確性。

圖16 單胞主滲透率比值與剪切角的關(guān)系Fig.16 Relationship between the ratio of principal permeability and shear angle

4 結(jié)論

（1）考慮紗線的可滲透性，利用Brinkman方程建立了表達(dá)織物單胞內(nèi)部樹脂流動(dòng)的控制方程，達(dá)到了將紗線內(nèi)部和外部流動(dòng)統(tǒng)一表達(dá)的目的。

（2）建立逼近真實(shí)的正交單胞幾何模型，基于Adams－Bashforth差分格式和Chorin投影法構(gòu)造了求解樹脂流動(dòng)控制方程的高分辨率TVD數(shù)值格式，利用達(dá)西定律預(yù)測(cè)了單胞的滲透率，算例表明該算法預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值更接近，驗(yàn)證了算法的準(zhǔn)確性。

（3）采用貼體坐標(biāo)法完成了剪切變形后流動(dòng)控制方程從物理域到計(jì)算域的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了剪切單胞滲透率的數(shù)值預(yù)測(cè)，考察了剪切單胞主滲透率比與剪切角的關(guān)系，比較表明與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算結(jié)果相吻合，證明了該剪切單胞滲透率預(yù)測(cè)算法的合理性。

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