張清鸞ZHANG Qing-luan；魏朋WEI Peng；危威WEI Wei

（昆明理工大學(xué)國(guó)土資源工程學(xué)院，昆明 650093）

（Faculty of Land Resource Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650093，China）

0 引言

在GPS 精密單點(diǎn)定位技術(shù)中，需要提供衛(wèi)星的精密軌道和鐘差。目前，國(guó)際GNSS 服務(wù)組織（International GNSS Service，IGS）已能提供預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)僅需3 小時(shí)的、精度5cm 的衛(wèi)星軌道預(yù)報(bào)，但是在鐘差預(yù)報(bào)方面，IGS 所提供的SP3 精密星歷中的鐘差數(shù)據(jù)雖能達(dá)到0.1ns 的精度以滿足厘米級(jí)的定位要求，但有13 天的延時(shí)性，無法滿足實(shí)時(shí)定位要求，所以衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)對(duì)精密單點(diǎn)定位有著及其重要的意義。目前，對(duì)于衛(wèi)星鐘差短期常用二次多項(xiàng)式模型實(shí)施預(yù)報(bào)，它是一類以時(shí)間為變量的函數(shù)模型，其基本算法是通過最小二乘原則對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，代入模型對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)，文章通過另一種算法即總體最小二乘原則對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并比較兩類算法的預(yù)報(bào)精度。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基本模型

目前常用的衛(wèi)星鐘差短期短期預(yù)報(bào)模型為二次多項(xiàng)式模型，該模型的實(shí)質(zhì)是將冪函數(shù)作為冪函數(shù)對(duì)時(shí)間間隔均勻的鐘差時(shí)間序列做擬合，基本模型如下：

衛(wèi)星鐘在時(shí)刻t 的鐘差一般可表示為

其中a0、a1、a2為待估參數(shù)，a0表示t0時(shí)刻原子鐘的鐘差，a1表示t0時(shí)刻該原子鐘的鐘速（頻偏），a2表示t0時(shí)刻該原子鐘的半加速度（頻漂項(xiàng)）。其中，若時(shí)鐘讀數(shù)秒長(zhǎng)均勻，a2應(yīng)為零。

1.2 模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

設(shè)相對(duì)于時(shí)刻t1，t2，…，tn的衛(wèi)星鐘差為x1，x2，…，xn，其觀測(cè)誤差為vi，可由式（1）建立誤差方程

則（3）可寫為

按最小二乘估計(jì)原則，有估計(jì)值

1.3 模型參數(shù)的總體最小二乘估計(jì)

當(dāng)觀測(cè)方程系數(shù)陣以及觀測(cè)值均含有隨機(jī)誤差時(shí)，最小二乘解為有偏，此時(shí)顧及系數(shù)陣隨機(jī)誤差，按總體最小二乘準(zhǔn)則估計(jì)計(jì)算出的總體最小二乘解則是無偏的。該結(jié)論已被文獻(xiàn)[3]所證明，此時(shí)，令觀測(cè)值隨機(jī)誤差向量

式（4）系數(shù)陣隨機(jī)誤差向量為σA，則有如下誤差方程：

由該估計(jì)原則有

式（7）中的參數(shù)估值可由迭代法解得，具體方法如下：

2 算例分析

選取2013 年12 月29 日的事后SP3 精密星歷PG01與PG02 兩個(gè)衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)，依據(jù)二次多項(xiàng)式模型按最小二乘估計(jì)原則進(jìn)行計(jì)算分析，發(fā)現(xiàn)其中t0（2013 年12 月29 日0 時(shí)0 分0 秒）時(shí)刻兩顆衛(wèi)星原子鐘的半加速度a2（頻漂項(xiàng)）的估計(jì)值分別為-1.3×10-7和0.9×10-7，不為零，說明時(shí)鐘讀數(shù)的秒長(zhǎng)并不均勻，誤差方程的系數(shù)陣A 含有誤差。所以，對(duì)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的二次多項(xiàng)式模型參數(shù)應(yīng)按照總體最小二乘原則進(jìn)行估計(jì)。

對(duì)PG01、PG02 兩顆衛(wèi)星2013 年12 月31 日的鐘差依據(jù)二次多項(xiàng)式模型分別按最小二乘估計(jì)原則和總體最小二乘估計(jì)原則，進(jìn)行短期預(yù)報(bào)，以該日的事后SP3 精密星歷鐘差數(shù)據(jù)作為真值，比較預(yù)報(bào)精度。

結(jié)果如圖1、圖2。

圖1

圖2

以上結(jié)果表明，從第三天短期預(yù)測(cè)結(jié)果上，總體最小二乘算法與最小二乘算法預(yù)報(bào)結(jié)果接近。從預(yù)報(bào)中誤差來看，令σ、σ′分別為總體最小二乘算法與最小二乘算法預(yù)報(bào) 中 誤 差，有σPG01=±1182.4ps，σ′PG01=±1182.8ps；σPG02=±4510.9ps，σ′PG02=±4511.0ps；σPG01＜σ′PG01，σPG02＜σ′PG02。

3 結(jié)論

對(duì)于鐘差預(yù)報(bào)的二次多項(xiàng)式模型，由于存在頻漂項(xiàng)，時(shí)鐘計(jì)時(shí)是不均勻的，衛(wèi)星鐘差的觀測(cè)方程系數(shù)陣含有誤差。此時(shí)按最小二乘與總體最小二乘兩類算法的預(yù)報(bào)結(jié)果結(jié)果相近，但是兩類算法結(jié)果相比較，總體最小二乘算法的預(yù)報(bào)精度仍然優(yōu)于最小二乘算法的預(yù)報(bào)精度。

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