劉 珂 讓余奇

（海軍工程大學(xué) 武漢 430033）

1 引言

永磁同步電動(dòng)機(jī)以永磁體提供的磁通替代電勵(lì)磁同步電動(dòng)機(jī)的由勵(lì)磁繞組提供機(jī)電能量轉(zhuǎn)換所需要的磁場(chǎng)，具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、重量輕、效率高的特點(diǎn)。永磁體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是永磁同步電動(dòng)機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要方面，而電機(jī)內(nèi)氣隙磁場(chǎng)分布的準(zhǔn)確計(jì)算是電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能分析的必要過程。解析方法可以較準(zhǔn)確地計(jì)算氣隙磁場(chǎng)分布波形，同時(shí)可以觀察到氣隙磁場(chǎng)分布于結(jié)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系［1～4］，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。本文針對(duì)表貼式永磁同步電動(dòng)機(jī)，利用等效面電流法推導(dǎo)出了永磁同步電動(dòng)機(jī)永磁體在徑向充磁和平行充磁兩種充磁方式下的氣隙磁密的解析計(jì)算公式。通過比較不同永磁體結(jié)構(gòu)在上述兩種充磁方式下產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)，給出了一種偏心不等半徑瓦片形磁極結(jié)構(gòu)來改善氣隙磁場(chǎng)，使得氣隙磁場(chǎng)的波形更好，從而降低電機(jī)的振動(dòng)和噪聲。同時(shí)解析計(jì)算易于與計(jì)算機(jī)結(jié)合應(yīng)用，計(jì)算時(shí)間短，為永磁同步電動(dòng)機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了基本的分析手段。

2 永磁同步電動(dòng)機(jī)永磁體的數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用解析法對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)電磁場(chǎng)進(jìn)行分析時(shí)，一般采用以下一些假設(shè)［5］：

1）電機(jī)的定轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大；

2）忽略電機(jī)的端部影響；

3）永磁體退磁曲線為直線，永磁體為均勻磁化；

4）電樞表面光滑，開槽用等效氣隙考慮。

在處理永磁體勵(lì)磁作用時(shí)做了以下兩點(diǎn)假設(shè)：

1）設(shè)永磁體的磁導(dǎo)率與空氣的磁導(dǎo)率相同，即相對(duì)回復(fù)磁導(dǎo)率μr＝1；

2）永磁體極性交替分布，呈現(xiàn)出一定的周期性，但是極間還是斷開的。假設(shè)永磁體極間部分也全部由永磁體充滿，只是極間永磁段未被磁化。

3 永磁體的等效面電流法

電流與磁場(chǎng)的基本關(guān)系表明，任何磁場(chǎng)都可以認(rèn)為是由分布電流產(chǎn)生的。面電流法在永磁體邊界上模擬電流的存在，如果永磁體被均勻磁化，則永磁體內(nèi)部等效體電流密度為零，在平行于磁化方向的永磁體邊界上，存在一層等效面電流。如圖1所示，三角形為一個(gè)永磁體單元。

圖1（a）假設(shè)永磁體的磁化方向垂直于邊ij，則在邊ij上無電流，在邊jm和mi上的電流為

圖1（b）假設(shè)永磁體的磁化方向是任意的，磁化方向與x軸的夾角為θn，則三條邊上對(duì)應(yīng)的等效電流分別為

圖1 永磁體單元磁化圖

在永磁體內(nèi)部（永磁邊界上的單元邊除外），任何一條邊都被兩個(gè)三角形單元共有，兩個(gè)單元在該邊上的等效電流符號(hào)相反、大小相同，那么就互相抵消。因?yàn)閷?duì)兩個(gè)單元來講，磁化方向相同，但l矢量的方向相反（單元逆時(shí)針方向編號(hào)），因此只有永磁邊界上才存在等效電流［6］。

4 永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)解析計(jì)算

在表貼式永磁同步電動(dòng)機(jī)中，瓦片形磁極應(yīng)用最廣泛，瓦片形磁極有平行充磁和徑向充磁兩種充磁方式［7］。

1）徑向充磁同圓心不同半徑瓦片形永磁產(chǎn)生的氣隙磁密

圖2 徑向充磁時(shí)的面電流等效

根據(jù)面電流法，同心圓徑向充磁永磁體等效面電流如圖2所示，AD和BC邊垂直于充磁方向，面電流密度大小等于零；AB和CD邊平行于充磁方向，面電流密度大小等于永磁體矯頑力。

設(shè)一個(gè)徑向充磁的永磁體磁極等效線圈的徑向面電流微元為di，徑向長度微元為dr，永磁體的矯頑力為Hcb，于是AB和CD邊的等效面電流微元為

由式（3）可得到永磁體表面等效的電流微元di在氣隙所產(chǎn)生的磁密為

對(duì)上式積分可以得到在氣隙圓周定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密為

式中：α為瓦片形永磁體AB邊到中心線的機(jī)械角；θ為氣隙圓周上某一點(diǎn)到中心線的機(jī)械角；hm為永磁體徑向長度；Rs為定子內(nèi)半徑，Rr為轉(zhuǎn)子外半徑；P為永磁體極對(duì)數(shù)；Kym＝sinmα為m 次諧波的節(jié)距因數(shù)。

多極永磁同步電動(dòng)機(jī)中永磁體依次放置在轉(zhuǎn)子圓周表面，那么其它永磁磁極產(chǎn)生的氣隙磁密可采用類似的方法進(jìn)行計(jì)算，只是沿定子內(nèi)徑表面的角度不同，然后只用對(duì)每個(gè)永磁磁極所產(chǎn)生的磁密進(jìn)行累加即可。

設(shè)有2P個(gè)徑向充磁的永磁體放置于轉(zhuǎn)子表面，且極性交叉放置，則第l個(gè)永磁磁極在定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密為

可得2P個(gè)磁極在定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密為

上述公式都是在假設(shè)永磁電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子表面光滑時(shí)得到的，但是現(xiàn)代永磁電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子鐵芯一般都有不同程度的開槽，電樞繞組嵌放在開槽的電樞鐵心里，開槽一方面改變氣隙磁場(chǎng)的分布，另一方面使氣隙磁阻增大。在磁場(chǎng)計(jì)算時(shí)，通常把開槽的影響作為有效氣隙放大來考慮。本文只考慮定子側(cè)開槽影響，此時(shí)用卡氏系數(shù)kc進(jìn)行修正，使有效氣隙放大，即δ′＝kcδ。其中卡氏系數(shù)的計(jì)算式為［8～10］

式中，τ為槽距，δ為氣隙長度，b0為槽口寬。

圖3 徑向充磁同心不同半徑氣隙磁密

下面給出一永磁電機(jī)氣隙磁密解析計(jì)算結(jié)果，該電機(jī)相關(guān)參數(shù)為：轉(zhuǎn)子外半徑Rr＝89.8mm，定子內(nèi)半徑Rs＝105mm，極對(duì)數(shù)P＝2，永磁體厚度hm＝12mm，永磁體張角2α＝90°，矯頑力 Hcb＝920550A／m，槽距τ＝13.74mm，槽口寬b0＝4mm。其解析計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

2）平行充磁同圓心不同半徑瓦片形永磁產(chǎn)生的氣隙磁密

由于制作工藝的限制，標(biāo)準(zhǔn)的徑向充磁很難達(dá)到；實(shí)際應(yīng)用中，平行充磁永磁體的工藝簡單易行，因此分析平行充磁永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)更具實(shí)用性［11］。

平行充磁時(shí)磁化方向平行于瓦片形永磁體的中心線，其磁化方向和永磁體各邊等效面電流方向如圖4所示。

圖4 平行充磁永磁體面電流等效

由面電流法，沿永磁體表面AB與CD的電流層方向相反，大小相同，其面電流密度大小為

沿AD和BC邊變化的面電流密度的大小為

那么平行充磁同心瓦片形永磁體AB＿CD段面電流產(chǎn)生的氣隙磁密為

BC段面電流產(chǎn)生的氣隙磁密為

其中，b＝Rr＋hm。

AD段面電流產(chǎn)生的磁密：

一個(gè)平行充磁的永磁體在定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密B1（θ）為AB、CD、BC和AD 各段的疊加，即：

與徑向充磁時(shí)多極永磁體磁密計(jì)算類似，則平行充磁時(shí)2P個(gè)磁極的AB、CD、AD、BC各段在定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密為

式（15）中A、Cm、Kym和式（11）相同。

上式中A、Cm和式（12）相同。

上式中A、Cm和式（13）相同。

于是多極平行充磁瓦片形永磁體在定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密為

圖5 平行充磁同心不同半徑氣隙磁密

下面給出一永磁同步電動(dòng)機(jī)氣隙磁密解析計(jì)算結(jié)果，該電機(jī)相關(guān)參數(shù)為轉(zhuǎn)子外半徑Rr＝28mm，定子內(nèi)半徑Rs＝36mm，極對(duì)數(shù)P＝1，永磁體厚度hm＝6.5mm，永磁體張角2α＝180°，矯頑力 Hcb＝935000A／m，槽距τ＝12.56mm，槽口寬b0＝2.5mm。其解析計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

3）平行充磁不同圓心不同半徑瓦片形永磁體產(chǎn)生的磁密

為了滿足在平行充磁條件下獲得理想的磁密波形的要求，本文給出了一種偏心不等半徑瓦片形磁極結(jié)構(gòu)。下面對(duì)其產(chǎn)生的氣隙磁密進(jìn)行分析推導(dǎo)。一個(gè)極下的永磁體尺寸如圖6所示，其永磁體的面電流等效與圖4一致。

圖6 不同圓心不同半徑永磁體尺寸

在已知最小氣隙長度δmin，最大氣隙長度δmax，定子內(nèi)半徑Rs，轉(zhuǎn)子外半徑Rr，永磁體張角2α，永磁體矯頑力Hcb前提下，可計(jì)算與氣隙磁場(chǎng)有關(guān)的參數(shù)。

永磁體AB邊和CD邊的圓心距為

永磁體上以O(shè)′為圓心，BC為邊的圓弧半徑為

永磁體BC邊上某一點(diǎn)E與O點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度為θ0，那么與O′點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度為θ′0，即：

E點(diǎn)到O點(diǎn)的距離R（θ0）為

沿AB和CD 邊的面電流密度大小為式（9），沿AD邊的面電流密度大小為式（10），沿BC邊的面電流密度的大小為

式中，θ′0為BC上某一點(diǎn)到中心線的機(jī)械角。

BC邊的等效面電流微元為

該電流微元產(chǎn)生的磁密為

由上可得BC邊的磁密為

上式不能直接給出磁密的解析表達(dá)式，需用數(shù)值積分的方法求解。多極時(shí)，處理方法同1）、2）中的相關(guān)介紹。

AB、CD、AD邊上等效面電流產(chǎn)生的磁密解析計(jì)算公式分別和式（15）、式（16）一樣。

圖7 平行充磁不同心不同半徑時(shí)氣隙磁密

算例分析：永磁同步電動(dòng)機(jī)電機(jī)中，最小氣隙長度δmin＝3.2mm，最大氣隙長度δmax＝5.5mm，定子內(nèi)半徑Rs＝105mm，轉(zhuǎn)子外半徑Rr＝89.8mm，永磁體張角2α＝90°，永磁體矯頑力 Hcb＝920550A／m，計(jì)算得到的圓心距H＝8.4mm，BC邊的圓弧半徑為Rm＝107.9mm。其解析計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，通過調(diào)整最大、最小氣隙的數(shù)值，可以使得平行充磁磁極的氣隙磁密波形平頂部分很平直，并且可以獲得所需要的波寬。同時(shí)，我們可以改變永磁體的形狀或者幾種不同形狀的永磁體混合，使電機(jī)的氣隙磁密達(dá)到我們需要的波形，例如不同平頂寬度的梯形波磁密、正弦波磁密等。

5 結(jié)語

本文根據(jù)等效面電流法推導(dǎo)了表貼式永磁同步電動(dòng)機(jī)永磁體氣隙磁場(chǎng)在徑向充磁和平行充磁兩種充磁方式下的解析計(jì)算公式；通過對(duì)兩種充磁方式下不同磁極結(jié)構(gòu)的對(duì)比分析，本文給出了一種偏心不等半徑瓦片形磁極結(jié)構(gòu)，可以使得氣隙磁場(chǎng)的波形更好，從而降低電機(jī)的振動(dòng)和噪聲；同時(shí)，解析計(jì)算可以便捷地得到永磁同步電動(dòng)機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布波形，為永磁同步電動(dòng)機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了基本的分析手段。

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