孫蘭潔

【摘 要】本文是對(duì)關(guān)系（relationship），映射（mapping）反演（inversion））方法研究的一個(gè)綜述。文章以徐利治先生的著作為載體，輔以閱讀其他相關(guān)文獻(xiàn)，主要介紹了RMI方法的定義，同時(shí)給出了RMI方法的運(yùn)用的實(shí)例以及對(duì)此方法的數(shù)學(xué)的教與學(xué)的思考。

【關(guān)鍵字】關(guān)系映射反演方法，RMI

一、引言

關(guān)系（relationship），映射（mapping）反演（inversion））方法是我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家徐利治先生提出來(lái)的。這個(gè)方法提出伊始就得到了廣泛的重視和應(yīng)用。關(guān)系映射反演方法是化歸原則在數(shù)學(xué)中具體體現(xiàn)，這是一種更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)模式。運(yùn)用關(guān)系映射反演方法需要充分地聯(lián)想和類比，把一事物翻譯為另一事物，得到另一事物的解答，最后再把這個(gè)解答翻譯為對(duì)第一個(gè)事物的解答，從而迂回地解決問(wèn)題。這樣往往能進(jìn)入“山窮水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的思維境界。

二、關(guān)系映射反演方法

根據(jù)徐利治先生的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)中的關(guān)系映射反演方法可一般的表述如下：給定一個(gè)含有目標(biāo)原象的關(guān)系結(jié)構(gòu)，如果能找到一個(gè)可定映映射，將映入或映滿，則可從通過(guò)一定的數(shù)學(xué)方法把目標(biāo)映像確定出來(lái)，進(jìn)而，通過(guò)反演又可以把確定出來(lái)，這樣，原來(lái)的問(wèn)題就得到了解決.整個(gè)過(guò)程包括五個(gè)步驟：關(guān)系——映射——定映——反演——得解。[1]

這五個(gè)步驟的具體解釋是：首先弄清問(wèn)題原像關(guān)系結(jié)構(gòu)和原像未知目標(biāo)的具體內(nèi)容；選擇適當(dāng)有效的映射；接著確定未知元素的映像；然后根據(jù)被確定了的映像目標(biāo)通過(guò)反演而確定原像目標(biāo)；最后得到原問(wèn)題的解答。[5]

三、RMI原則在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用實(shí)例

（一）運(yùn)用RMI方法的經(jīng)典實(shí)例

例1：哥尼斯堡七巧問(wèn)題。

哥尼斯堡七巧問(wèn)題又叫做歐拉七橋問(wèn)題。解決七橋問(wèn)題，歐拉運(yùn)用的就是RMI方法。令表示七橋問(wèn)題中橋與島及陸地之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，為一次能否走過(guò)七座橋的問(wèn)題。歐拉采用這樣的映射：把橋?qū)?yīng)為幾何線，把聯(lián)結(jié)地點(diǎn)對(duì)應(yīng)為幾何點(diǎn)。

原來(lái)的問(wèn)題便對(duì)應(yīng)為能否一筆畫出上述平面圖的問(wèn)題。換句話說(shuō)，便是關(guān)于上述點(diǎn)線圖的一筆畫問(wèn)題。解此問(wèn)題需要采用簡(jiǎn)單的邏輯推理，過(guò)程如下：

凡是一筆畫中間出現(xiàn)的交點(diǎn)處，曲線一進(jìn)一出總是通過(guò)偶數(shù)條，故均可稱為“偶點(diǎn)”，只有作為起點(diǎn)和終點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn)有可能成為“奇點(diǎn)”（即通過(guò)的曲線為奇數(shù)條）。所以凡是多于兩個(gè)奇點(diǎn)的平面圖都是不可能一筆畫出來(lái)的?，F(xiàn)今圖形結(jié)構(gòu)中四個(gè)交點(diǎn)都是奇點(diǎn)，因此它是不可能一筆畫出的。這就是說(shuō)，問(wèn)題答案的是“一筆畫是不可能的”。由此對(duì)應(yīng)的反演回去（利用），便可知道原來(lái)問(wèn)題的答案是：不可能不重復(fù)地一次通過(guò)這七座橋。

（二）笛卡爾發(fā)明解析幾何。

當(dāng)一個(gè)幾何問(wèn)題不便從幾何本身的角度進(jìn)行求解時(shí)，首先把這個(gè)幾何問(wèn)題解析表示為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題，其次在代數(shù)領(lǐng)域里求解這個(gè)問(wèn)題得到代數(shù)解答，最后把這個(gè)代數(shù)解答再幾何解釋為幾何結(jié)論，這個(gè)結(jié)論就是原幾何問(wèn)題的解答。

（三）RMI在初等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用實(shí)例

1.函數(shù)法。在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)， 把一些待處理問(wèn)題映射為初等函數(shù)。在初等函數(shù)的映像關(guān)系結(jié)構(gòu)中對(duì)問(wèn)題函數(shù)進(jìn)行函數(shù)處理，得到函數(shù)結(jié)論，再利用反函數(shù)或函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行反演，使原問(wèn)題獲解的映射反演方法就是函數(shù)法。

例1：為何值時(shí)，不等式恰好有一解。

分析：如果單純用不等式的解法去做，會(huì)顯得很繁瑣。我們可以函數(shù)的圖像，映射為具體的幾何圖像考慮。

解：令，則可知該函數(shù)圖像是一條開(kāi)口向上的拋物線。當(dāng)與時(shí)，該函數(shù)圖像時(shí)平行于橫軸的兩條直線。

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在直線的下方時(shí)，不等式有無(wú)數(shù)解。

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在直線的上方時(shí)，不等式有無(wú)解。

當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在直線的，不等式恰有一解。

再求其頂點(diǎn)坐標(biāo)

故當(dāng)時(shí)，原不等式恰有一解。

2.換元法。我們?cè)谘芯磕承?fù)雜問(wèn)題時(shí)， 通過(guò)引人一個(gè)或幾個(gè)新變量來(lái)代替原式中的某些量，從而把原式用新變量表示，并求得相應(yīng)的結(jié)果，這種解決問(wèn)題的方法叫做換元法。

3.參數(shù)法。當(dāng)問(wèn)題中含有多個(gè)變量時(shí)，引進(jìn)一個(gè)或幾個(gè)變量，通過(guò)中間變量，把間題轉(zhuǎn)化為參數(shù)問(wèn)題， 進(jìn)而再消去參數(shù)，使問(wèn)題得到解決，這種處理問(wèn)題的方法叫做參數(shù)法。例如求軌跡問(wèn)題，用此方法比較簡(jiǎn)單。

四、RMI原則的教與學(xué)問(wèn)題

一般在中學(xué)或者大學(xué)數(shù)學(xué)教材中，很少把RMI原則總結(jié)出來(lái)，所以很多人學(xué)了很多年數(shù)學(xué)或者教了很多年數(shù)學(xué)，都未必意識(shí)到他們所接觸到的許多數(shù)學(xué)題材已經(jīng)包含著RMI的方法與內(nèi)容。但事實(shí)上，無(wú)論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中，都有不同水準(zhǔn)的RMI方法或原則被隱含在其中，不過(guò)只有經(jīng)過(guò)分析觀察，才能把它抽象出來(lái)，并且對(duì)它包含的各個(gè)具體步驟給以確切的表述和討論。所以，作為數(shù)學(xué)教師，要想教會(huì)學(xué)生們掌握好RMI方法或原則，首要的一步就是要采取“關(guān)系結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)去考察數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析數(shù)學(xué)教材，并能從其中把聯(lián)結(jié)原象與映像的映射關(guān)系揭示出來(lái)。當(dāng)然，這是要依靠教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)研究之后，才能很好地去完成這個(gè)任務(wù)的。

徐利治先生寫到：“對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)的學(xué)習(xí)者或者準(zhǔn)備從事數(shù)學(xué)研究的人來(lái)說(shuō)，應(yīng)該以培養(yǎng)尋求映射的能力為目標(biāo)。為了培養(yǎng)和提高理解原象系統(tǒng)（或現(xiàn)實(shí)原型）的能力，除了學(xué)好數(shù)學(xué)本科各分支之外，還需要學(xué)習(xí)自然科學(xué)，工程科學(xué)等有關(guān)分支領(lǐng)域的知識(shí)，要有較寬廣的科技知識(shí)修養(yǎng)。事實(shí)上，能否很好地理解原象系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或某些應(yīng)用科技中的現(xiàn)實(shí)原型，是決定能否正確地運(yùn)用RMI方法的首要一步。所以要成為能真正解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)工作者，這方面的理解和洞察能力的鍛煉以及與之有關(guān)的知識(shí)修養(yǎng)都是必不可少的。”[1]

參考文獻(xiàn)：

1.徐利治，鄭毓信，《關(guān)系映射反演方法》，江蘇教育出版社，1988.

2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《數(shù)學(xué)分析》（第三版），高等教育出版社.

3.徐利治，數(shù)學(xué)方法論十二講，大連理工大學(xué)出版社，2007（11）.

4.高興佑，向長(zhǎng)福，關(guān)系映射反演方法例談，高校理科研究

5.胡蕊，關(guān)系映射反演方法及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探討，現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2009（9）.