張 巖 劉福貴 汪友華 劉榮美

（河北工業(yè)大學(xué)電磁場(chǎng)與電器可靠性省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300130）

1 引言

桁架橋梁大都建在空曠的水陸交界處，在雷暴發(fā)生時(shí)極容易遭受雷電的襲擊。當(dāng)桁架橋梁遭受雷擊時(shí)，強(qiáng)大的雷電流通過雷擊點(diǎn)注入，在雷電防護(hù)系統(tǒng)（Lightning Protection System，LPS）中形成強(qiáng)大的暫態(tài)電流，從而造成電磁干擾等問題，暫態(tài)電流也會(huì)引起電壓的升高，威脅設(shè)備的安全運(yùn)行，對(duì)人身造成傷害[1,2]。

現(xiàn)有的文獻(xiàn)大多集中在研究雷電對(duì)建筑物的影響，然而雷電對(duì)桁架橋的影響還研究得較少。當(dāng)前，建筑物防雷系統(tǒng)中雷電流分布的計(jì)算方法主要包括電磁場(chǎng)方法[3,4]和電路的方法[5-11]。

電磁場(chǎng)方法對(duì)每段導(dǎo)體列寫電位積分方程，采用矩量法對(duì)該方程組進(jìn)行求解，最后采用快速傅里葉逆變換得到LPS 中電流時(shí)域波形。該方法的優(yōu)點(diǎn)是可以很容易地處理建筑物防雷系統(tǒng)構(gòu)架導(dǎo)體之間相互電磁耦合作用，缺點(diǎn)是計(jì)算過程較為復(fù)雜，計(jì)算效率低。

電路的方法通常首先采用π 形等效電路對(duì)防雷系統(tǒng)進(jìn)行等效，從而形成具有耦合的等效電網(wǎng)絡(luò)，然后采用如下兩種方法得到LPS 中的雷電流分布的時(shí)域解：①直接由電磁暫態(tài)計(jì)算軟件（EMTP）得到[5-8]；②先得到頻域解，再通過傅里葉逆變換將解轉(zhuǎn)換到時(shí)域[9-11]。采用第一種方法對(duì)電網(wǎng)絡(luò)在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行求解時(shí)，EMTP 的求解速度很快，但不能考慮導(dǎo)體隨頻率變化的效應(yīng)，且穩(wěn)定性較差，在大型電路的計(jì)算中容易出錯(cuò)，因此，對(duì)于桁架橋防雷系統(tǒng)這樣的大型電網(wǎng)絡(luò)，EMTP 的計(jì)算效果并不理想；而在頻域內(nèi)對(duì)電網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行求解時(shí)，雖然可以很好地考慮導(dǎo)體的頻變效應(yīng)，且比較穩(wěn)定，但其求解精度與頻率采樣點(diǎn)的數(shù)量成正比，而頻率采樣點(diǎn)的增加將導(dǎo)致計(jì)算量大幅增加，從而顯著降低計(jì)算速度。但即使如此，電路的方法在計(jì)算量上也要顯著小于電磁場(chǎng)的方法。

在桁架橋梁的電磁兼容設(shè)計(jì)、雷電防護(hù)等級(jí)評(píng)估中，計(jì)算分支導(dǎo)體中的暫態(tài)雷電流分布是一項(xiàng)必須完成的工作。隨著城市交通運(yùn)輸量的日漸增大，桁架橋梁的規(guī)模也越來(lái)越大，這種情況下，即使采用計(jì)算量較小的電路的方法，計(jì)算規(guī)模也仍然過大，降低了設(shè)計(jì)、評(píng)估工作的效率。有鑒于此，本文借鑒文獻(xiàn)[12,13]中的傳輸線模型，設(shè)計(jì)了一種快速計(jì)算桁架橋梁各分支導(dǎo)體中雷電流分布的算法，使在保證計(jì)算精度的前提下大幅提升計(jì)算效率。

2 計(jì)算方法介紹

2.1 基于傳輸線網(wǎng)絡(luò)的桁架橋防雷系統(tǒng)模型

以桁架橋防雷系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的k 號(hào)單根導(dǎo)體作為研究對(duì)象，忽略導(dǎo)體之間的耦合作用，則該導(dǎo)體可以看作由π 型等效單元組成的鏈?zhǔn)蕉丝陔娐方M成，如圖1 所示。

圖1 單根傳輸線的二端口模型Fig.1 Tow port model of a transmission line

圖1 中，Zk和 Yk分別為傳輸線單位長(zhǎng)度的自阻抗和對(duì)地導(dǎo)納。

式中，R0、G0、L0、C0分別為單位長(zhǎng)度傳輸線的電阻、電導(dǎo)、電感和電容。

本文中忽略了導(dǎo)體電導(dǎo)的作用，因此G0=0 在計(jì)算R0、L0、C0參數(shù)時(shí)本文采用了快速計(jì)算方法[14-16]。

這里，有

并有

對(duì)所有導(dǎo)體進(jìn)行等效后，桁架橋防雷系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)可等效為無(wú)耦合的電網(wǎng)絡(luò)，電網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)電壓方程組頻域形式為

式中，Y(ω)為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，可通過對(duì)防雷系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)逐一分析獲得；I(ω)為每個(gè)節(jié)點(diǎn)端口外施電流源之和；U(ω)為節(jié)點(diǎn)電壓列相量。

對(duì)于雷擊桁架橋的情況，只有在雷擊點(diǎn)處有外施電流源，因此I(ω)=(0,…，Iz(ω),…,0)，其中Iz(ω)為頻域內(nèi)的雷電流。

通過式（7）求得的桁架橋防雷系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的電壓相應(yīng)解后，單根傳輸線上任意一點(diǎn)的電流響應(yīng)為

式中，Uk,1、Uk,2分別為傳輸線兩端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓。

2.2 求解桁架橋防雷系統(tǒng)暫態(tài)電流響應(yīng)

桁架橋防雷系統(tǒng)的傳輸線模型的求解過程為：對(duì)雷電流進(jìn)行FFT 變換，在各頻點(diǎn)對(duì)桁架橋防雷系統(tǒng)的各節(jié)點(diǎn)電壓和導(dǎo)體電流進(jìn)行求解，進(jìn)行 IFFT變換，求得桁架橋防雷系統(tǒng)暫態(tài)電壓和電流的相應(yīng)時(shí)域解。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中，ξ 和ξ-1為傅里葉變換和傅里葉逆變換；iz(t)是注入桁架橋節(jié)點(diǎn)的雷電流時(shí)域波形；v(t)是iz(t)的時(shí)域響應(yīng)；T(jω)是在頻域內(nèi)的傳輸函數(shù)。

計(jì)算中選用雙指數(shù)函數(shù)作為注入雷電流的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，經(jīng)過傅里葉分解得到式（10）。

雷電流包含豐富的頻譜，雷電流的能量主要集中在幾兆到十幾兆赫，當(dāng)頻率大于某一個(gè)值時(shí)其頻域響應(yīng)很小，即對(duì)雷電暫態(tài)的貢獻(xiàn)很小，可以忽略不計(jì)，這個(gè)頻率為最大截止頻率ωmax，最大截止頻率計(jì)算式見式（11），可以通過求解非線性方程組獲得。

3 計(jì)算方法性能分析

為了驗(yàn)證本文所用方法的準(zhǔn)確性與有效性，應(yīng)用本文方法與文獻(xiàn)[10]給出的計(jì)算方法對(duì)以下算例進(jìn)行計(jì)算，并將兩種方法得到的結(jié)果和計(jì)算時(shí)間進(jìn)行對(duì)比。

采用圖 2 所示的真實(shí)尺寸桁架橋防雷系統(tǒng)模型，長(zhǎng)度為100m，寬度為25m，高度為25m，其中有21 根桿（帶圓圈數(shù)字編號(hào)）連接著16個(gè)結(jié)點(diǎn)（不帶圓圈數(shù)字編號(hào)），桿的材料鋼筋，其直徑為16mm，電導(dǎo)率為5.03MS/m。在結(jié)點(diǎn)（4、8～16）上連接接地電阻Rg（Rg=0.01Ω）。雷電流從結(jié)點(diǎn)1 注入，雷電流幅值100A，雷電流選擇首次正雷擊10/350μs波形，截止頻率通過式（11）計(jì)算得12MHz。

圖2 桁架橋梁防雷系統(tǒng)示意圖Fig.2 Diagram of the LPS of truss bridge

3.1 計(jì)算精度分析

文獻(xiàn)[10]的方法屬于“電路的方法”，首先在頻域內(nèi)求解，然后采用傅里葉逆變換求得支路電流的時(shí)域響應(yīng)。引入導(dǎo)體的電流比例系數(shù)Kc，定義為導(dǎo)體電流的峰值與雷電流峰值之比。表1 給出了兩種方法計(jì)算得到的桁架橋防雷系統(tǒng)前10 根導(dǎo)體中電流分布比例系數(shù)和兩者的差值。圖3 和圖4 給出桁架橋所有導(dǎo)體中點(diǎn)上的時(shí)域電流波形。為了進(jìn)行比較，也給出了文獻(xiàn)[10]中方法的計(jì)算結(jié)果。

表1 各導(dǎo)體電流分布比例系數(shù)的比較Tab.1 Comparison of the partitioning coefficients of branch current

從表1 中可以看出使用本文方法得到的結(jié)果與使用文獻(xiàn)[10]中的方法得到結(jié)果有很好的一致性，兩者的誤差不超過2%。由圖3、圖4 可以看出，本文方法計(jì)算的各分支導(dǎo)體中點(diǎn)電流波形與文獻(xiàn)[10]中方法計(jì)算的電流波形基本吻合，從而驗(yàn)證文中的方法是有效的。

圖3 本文支路1、3、5 和7 電流時(shí)域波形與文獻(xiàn)[10]方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較Fig.3 Comparison of the current in branch 1、3、5,and 7 with results of the method in Ref.[10]in time domain

圖4 本文支路2、4 和6 電流時(shí)域波形與文獻(xiàn)[10]方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較Fig.4 Comparison of the current in branch 2、4,and 6 with results of the method in Ref.[10]in time domain

3.2 計(jì)算效率分析

為了驗(yàn)證本文算法的快速性，針對(duì)圖2 所示的真實(shí)桁架橋模型，應(yīng)用本文的方法和文獻(xiàn)[10]的方法分別作了計(jì)算。表2 中的計(jì)算耗時(shí)只包括本文方法中的傳輸線網(wǎng)絡(luò)方程組計(jì)算耗時(shí)和文獻(xiàn)[10]中的求解π 型集總參數(shù)電網(wǎng)絡(luò)方程組的耗時(shí)，不包括電氣參數(shù)計(jì)算耗時(shí)。

表2 計(jì)算效率比較Tab.2 Comparison of computational efficiency

對(duì)于10/350μs 的雷電流的波形，最大截止頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為25m，防雷系統(tǒng)進(jìn)行分段處理，每段的長(zhǎng)度小于最大波長(zhǎng)的十分之一，按每小段長(zhǎng)度為1m 進(jìn)行分段，則整個(gè)桁架橋防雷系統(tǒng)總分段數(shù)為682。而對(duì)于本文所設(shè)計(jì)的傳輸線方法，則不需要分段，整個(gè)防雷系統(tǒng)的導(dǎo)體數(shù)為21。

本文方法求解時(shí)未知量是節(jié)點(diǎn)電壓，對(duì)于本文提出的模型節(jié)點(diǎn)電壓方程組的秩為21。文獻(xiàn)[10]的方法求解時(shí)未知量為分支電流，本文模型中分支電流方程組的秩為628，就計(jì)算規(guī)模來(lái)說(shuō)，本文方法僅為文獻(xiàn)[10]方法的3.3%。本文所用的計(jì)算機(jī)平臺(tái)CPU為Inter Pentium（R），Dual-Core 3.2GHz，內(nèi)存為2GB。

從表2 可以看出，本文方法比文獻(xiàn)[10]中方法計(jì)算的時(shí)間明顯縮短（本文方法僅是文獻(xiàn)[10]方法的 1/10），計(jì)算效率明顯提高，從而驗(yàn)證了本文方法的快速性。

4 基于本文算法的桁架橋雷電防護(hù)等級(jí)評(píng)估

國(guó)際雷電防護(hù)標(biāo)準(zhǔn)IEC62305—1 引入4個(gè)雷電防護(hù)等級(jí)（LPL），即Ⅰ～Ⅳ級(jí)。對(duì)于每一個(gè)雷電防護(hù)等級(jí)，固定一組雷擊電流分流系數(shù)的最大值和最小值參數(shù)。根據(jù)本文方法得到的雷電防護(hù)系統(tǒng)電流分布來(lái)評(píng)估桁架橋各部分的雷電防護(hù)等級(jí)，再根據(jù)不同的防護(hù)等級(jí)來(lái)安裝適配的線路電涌保護(hù)器，是減少桁架橋內(nèi)部電子、電氣系統(tǒng)因?yàn)槔讚羰У挠行Х雷o(hù)措施。

針對(duì)圖 2 所示的真實(shí)尺寸桁架橋防雷系統(tǒng)模型，假設(shè)雷電流從1 結(jié)點(diǎn)注入，根據(jù)本文方法計(jì)算出來(lái)的電流分布比例系數(shù)來(lái)評(píng)估桁架橋各部分的雷電防護(hù)等級(jí)，結(jié)果見表3。

表3 桁架橋梁雷電防護(hù)水平評(píng)估Tab.3 Evaluation of the LPL of truss bridge

5 結(jié)論

本文研究了桁架橋梁雷電防護(hù)系統(tǒng)在遭受雷擊時(shí)瞬態(tài)電流的快速計(jì)算方法，通過與已有文獻(xiàn)中傳統(tǒng)“電路的方法”得到的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算時(shí)間進(jìn)行比較，得到如下結(jié)論：

（1）本文方法與傳統(tǒng)方法計(jì)算得到的導(dǎo)體中電流峰值比例系數(shù)和時(shí)域波形都具有很好的一致性，因此從解題質(zhì)量的角度看，本文方法具有可用性；

（2）在解題過程中，“電路的方法”需要對(duì)桁架橋梁中的導(dǎo)體進(jìn)行分段處理，本文方法不需要這一處理過程，從而使計(jì)算規(guī)模和計(jì)算耗時(shí)都大大的減小。在仿真算例中，與傳統(tǒng)方法相比，文中方法的計(jì)算規(guī)模僅為3.3%，計(jì)算時(shí)間縮短到原來(lái)的1/10。

通過實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性和有效性，在計(jì)算真實(shí)尺寸的桁架橋梁雷電防護(hù)系統(tǒng)瞬態(tài)電流分布是有明顯的速度優(yōu)勢(shì)，為快速計(jì)算桁架橋梁內(nèi)部雷電電磁場(chǎng)分布打下了基礎(chǔ)，同時(shí)可以用于桁架橋雷電防護(hù)水平的評(píng)估。

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