林 福 左曙光 馬琮淦 譚欽文

（同濟大學(xué)新能源汽車工程中心 上海 201804）

1 引言

分數(shù)槽集中繞組的每個線圈鑲嵌在一個定子齒上，它有如下優(yōu)點[1]：提高槽滿率，增加功率密度；削弱諧波分量，改善反電動勢波形的正弦性；減少線圈端部長度，各個線圈組端部沒有重疊，不必設(shè)相同絕緣；便于使用專用繞線機，取代傳統(tǒng)嵌線工藝，提高工效?？傊謹?shù)槽集中繞組有利于提高永磁同步電機的效率和功率密度，節(jié)約成本。然而，不同于整數(shù)槽集中繞組，分數(shù)槽集中繞組的排列方式比較復(fù)雜，不同極槽配合的電機繞組排列的規(guī)律不同，從而增加了其電樞反應(yīng)磁場解析計算的難度。

為了得到較大的電動勢和減少齒槽轉(zhuǎn)矩，對于分數(shù)槽集中繞組單元電機的槽數(shù)Z0和極對數(shù)p0應(yīng)盡量滿足 Z0≈2p0，常見的三種極槽配合方式為Z0=2p0±1，Z0=2p0±2，Z0=2p0±4[2,3]。目前在國內(nèi)，關(guān)于分數(shù)槽集中繞組產(chǎn)生的磁場的解析計算研究較少，文獻[2]對三種不同極槽配合的單元電機的繞組系數(shù)進行計算，分析了各諧波成分所占的比例，但是它將單個線圈產(chǎn)生的磁場假設(shè)成為脈振矩形磁場，而且忽略了磁場在徑向上的變化；文獻[4]只對8 極9 槽的單元電機的繞組磁動勢進行了計算，并沒有提出統(tǒng)一的電樞反應(yīng)磁場的解析表達式，而且文獻[2,4]都未將開槽因素考慮在內(nèi)，并且缺乏相應(yīng)的驗證。在國外，文獻[5-7]通過求解二維極坐標(biāo)下的拉普拉斯方程，并將開槽因素考慮在內(nèi)，得到了考慮開槽的電樞反應(yīng)磁場，解析計算的結(jié)果與有限元計算結(jié)果得到了很好的吻合，然而，它們也并沒有針對分數(shù)槽集中繞組的分布規(guī)律提出統(tǒng)一的解析表達式。綜上所述，由于分數(shù)槽集中繞組的分布方式復(fù)雜，鮮有文獻對其產(chǎn)生的磁場提出一般的解析表達式，而且都未討論開槽對電樞反應(yīng)磁場的諧波成分和幅值的影響，因此，對于分數(shù)槽集中繞組永磁同步電機，有必要對電樞反應(yīng)磁場的一般分布規(guī)律進行研究。

本文從單個線圈產(chǎn)生的磁場出發(fā)，針對三種常見的極槽配合方式，根據(jù)其磁場的空間分布矢量圖，得到了電樞反應(yīng)磁場的解析表達式，并通過復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)將開槽對電樞反應(yīng)磁場的影響考慮在內(nèi)，并且分析了考慮開槽的磁場的諧波成分，最后將解析計算的結(jié)果同有限元計算的結(jié)果進行對比。

2 單元電機電樞反應(yīng)磁場

2.1 單個線圈產(chǎn)生的磁場

設(shè)原電機的相數(shù)為m，定子槽數(shù)為Z，永磁體極對數(shù)為p。若滿足Z 和p 之間有最大公約數(shù)N0，且Z0=Z/N0為m 的整數(shù)倍，則原電機有N0個槽數(shù)為Z0極對數(shù)為p0的單元電機組成，原電機的電樞反應(yīng)磁場可以看成單元電機磁場在空間上重復(fù)N0次。

為方便分析，作如下假設(shè)：

（1）鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大。

（2）忽略電機端部的影響。

（3）永磁材料磁導(dǎo)率與空氣的相等。

分數(shù)槽集中繞組一個匝數(shù)為Ns的線圈，繞組的節(jié)距y=1，通入角頻率為ω、最大值為I 的余弦交流電i(t)=Icos(ωt)。設(shè)α=0 處與線圈的中心重合，單個線圈的繞組磁場分布為[8]

式中，Bmμ是μ 次磁場分量的幅值，且

式中 μ0——真空磁導(dǎo)率；

Rs——定子半徑；

a——并聯(lián)支路數(shù)；

b0——槽口寬度；

r——所要求解處的半徑；

Rr——轉(zhuǎn)子半徑；

αy——單元電機繞組節(jié)距，αy=2π/Z0；

α0=b0/Rs。

圖1 所示為單個線圈產(chǎn)生的磁場分布，有些文獻將單個線圈產(chǎn)生的磁場假設(shè)為脈振矩形磁場，顯然這忽略了圖中所示的突起部分和磁場沿徑向上的差異，這對于感應(yīng)電機等氣隙較小的電機而言誤差較小，而對于表貼式永磁電機，由于其有效氣隙長度較大，需考慮磁場沿徑向上的變化[9]。

圖1 單個線圈產(chǎn)生的磁場Fig.1 The field produced by single coil

2.2 單元電機A 相繞組產(chǎn)生的磁場

單元電機的每極每相槽數(shù)q 為

式中，N/d 是不可約的真分數(shù)。

電機通常按照60°相帶劃分相帶，采用雙層繞組時，N 是能夠串聯(lián)在一起組成1 個線圈組的線圈數(shù)。本文只對雙層繞組進行分析。

由于不同極槽配合的的分數(shù)槽集中繞組，其排列形式不同[2,10]，下面分別對常見的 Z0=2p0±1，Z0=2p0±2，Z0=2p0±4 三種極槽配合的單元電機的電樞反應(yīng)磁場進行分析。

2.2.1 Z0=2p0±1

N 為奇數(shù)，Z0為奇數(shù)，定子圓周被均分為3 個區(qū)間，每一個區(qū)間占2π/3 空間機械角度，三相各占據(jù)1 個區(qū)間。例如Z0=9，p0=4 或5 和Z0=15，p0=7或8，單元電機的線圈排列方式為AaABbBCcC 和AaAaABbBbBCcCcC，A 相繞組產(chǎn)生的磁場分布圖如圖2a 和圖2b 所示。

圖2 A 相繞組磁場分布圖Fig.2 Diagram of field produced by phase A winding

由圖2 可得到單元電機A 相繞組產(chǎn)生的磁場為

式中，αt為單元電機相鄰兩個線圈的空間夾角，對于雙層繞組，顯然αt=αy=2π/Z0。

2.2.2 Z0=2p0±2

N 為偶數(shù)，Z0為偶數(shù)，定子圓周被均分為6 個區(qū)間，1 個區(qū)間占π/3。例如Z0=12，p0=5 或7 和Z0=24，p0=11或13的單元電機的線圈排列方式為AabBcCaABbcC和AaAabBbBCcCcaAaABbBbcCcC，A 相繞組產(chǎn)生的磁場分布矢量圖如圖2c 和圖2d 所示。

從圖2 得知，在一個圓周上，空間相差180°的兩個線圈產(chǎn)生的磁場大小相等，方向相反，因而可認為單元電機A 相繞組產(chǎn)生的磁場認為由[0,π]和[π,2π]兩部分磁場組成，且這兩部分磁場大小相反，在空間上相差π。

[0,π]上的磁場為

[π,2π]上的磁場為

因此單元電機A 相繞組產(chǎn)生的磁場為

2.2.3 Z0=2p0±4

N 為奇數(shù)，Z0為偶數(shù)，N 個線圈不再連續(xù)分配同一個區(qū)間，被分為兩部分，一部分有(N-1)/2 個線圈，一部分有(N+1)/2 個線圈。例如Z0=18，p0=7 或11 和Z0=30，p0=13 或17，單元電機的線圈排列方式為ABbcaABCcabBCAabc 和AabBbcCAaABbcCca-ABbBCcaAabBCcC，A 相繞組產(chǎn)生的磁場分布圖如圖2e 和圖2f 所示。

同Z0=2p0±2 極槽配合下的繞組分布相同，該單元電機 A 相繞組產(chǎn)生的磁場也可以認為由[0,π]和[π,2π]兩部分磁場組成，同樣這兩部分磁場大小相反，在空間上相差π。

[0,π]上的磁場為

[π,2π]上的磁場為

因此單元電機A 相繞組產(chǎn)生的磁場為

2.3 單元電機三相繞組的合成磁場

單元電機定子三相繞組等效軸線空間上彼此相差2π/3 機械角度。當(dāng)對稱的三相繞組通入時間上彼此相差2π/3 的對稱三相交流電時，單元電機A、B、C 三相繞組合成磁場為

由式（3）、式（6）和式（9）可知單元電機的三相繞組產(chǎn)生的μ 次諧波磁場可表達成一般形式

當(dāng)μ 為3 的整數(shù)倍數(shù)時，單元電機的μ 次電樞反應(yīng)磁場分量為

所以單元電機的電樞反應(yīng)磁場不包含次數(shù)為3的整數(shù)倍的諧波成分。從式（6）和式（9）可以看出對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 的極槽配合的單元電機還不包含偶數(shù)次的諧波成分。

3 復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)

進入定子槽的磁場基本集中在槽口附近，所以可將實際的半開口槽用一無限深的徑向開口槽代替，如圖3 所示。圖中，α1為定子槽下沿角度；α2為定子槽上沿角度；αs為定子槽距角。

圖3 S 平面的槽模型Fig.3 Slot model in the S plane

如圖4 所示，通過4 組保角映射，把實際定子有齒槽變換為無齒槽進行分析，從而得到復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)。S 為變換前的實際有齒槽的坐標(biāo)系；Z、W、T 為中間坐標(biāo)系；K 為變換后的無齒槽的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系之間按式（13）變換[11,12]。

圖4 保角映射的基本步驟Fig.4 Basic steps of conformal mapping

由以上四組保角映射可得到復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)

由于切向磁場相對于徑向而言較小，因此本文不考慮復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)的虛部，而只考慮其實部?？蓪⒈却艑?dǎo)實部表示成傅里葉級數(shù)形式

對于具有表1 參數(shù)的半閉口槽電機，其在永磁體表面處的一個槽距內(nèi)的復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)的實部如圖5 所示。

表1 電機主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main parameters of PMSM

圖5 一個槽距內(nèi)的復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)的實部Fig.5 Real part of complex relative airgap permeance in one slot pitch

4 原電機的電樞反應(yīng)磁場

由式（10）和式（15）可得到考慮開槽的原電機的電樞反應(yīng)磁場為

原電機的電樞反應(yīng)磁場在空間上表現(xiàn)為單元電機電樞反應(yīng)磁場的重復(fù)，重復(fù)次數(shù)為單元電機個數(shù)N0。因此，原電機的電樞反應(yīng)磁場不包含次數(shù)為N0μ(μ=3,6,9,…)的諧波成分；而且對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 的極槽配合的原電機還不包含次數(shù)為N0μ(μ=2,4,6,…)的諧波成分。

由式（15）和式（16）可知，開槽會引起次數(shù)為N0(μ±nZ0)的諧波成分。然而由前面的分析可知，電樞反應(yīng)磁場的諧波次數(shù)μ 不為3 的整數(shù)倍，而Z0為3 的整數(shù)倍，所以(μ±nZ0)不為3 的整數(shù)倍，而且對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 極槽配合的原電機，Z0為偶數(shù)，由于μ 不為2 的整數(shù)倍，所以(μ±nZ0)不為2 的整數(shù)倍。因此，對于原電機而言，開槽并不會引起額外的諧波成分，而主要引起次數(shù)為N0(μ±nZ0)的諧波成分的幅值發(fā)生變化。

5 與有限元結(jié)果對比

本文借助有限元軟件對表2 所示的12 對極27槽、14 對極24 槽、14 對極36 槽三種不同極槽配合方式的永磁同步電機的氣隙中間處的電樞反應(yīng)磁場分布進行計算，所取的線圈匝數(shù)為13，電流幅值為50A，將解析法計算的結(jié)果與有限元法計算的結(jié)果進行對比，如圖6 所示。由圖6 可以看出，解析法計算的結(jié)果與有限元法計算的結(jié)果能夠很好地吻合。

表2 三種不同極槽配合的電機Tab.2 Three kinds of PMSM with different pole and slot combinations

圖6 解析法和有限元法的電樞反應(yīng)磁場對比Fig.6 Comparison of armature reaction field calculated by analytical method and FE method

6 諧波分析

圖7 為三種電機的電樞反應(yīng)磁場諧波分析圖，由圖7a 可知，對于12 對極27 槽電機，電樞反應(yīng)磁場主要包括次數(shù)為N0μ(N0=3,μ=1,2,4,5,7,8,10,…)的諧波成分，由圖7b 和圖7c 可知，對于14 對極24槽和14 對極36 槽電機，電樞反應(yīng)磁場主要包括次數(shù)為N0μ(N0=2,μ=1,5,7,11,13,…)的諧波成分，這與前面的分析一致。

圖7 電樞反應(yīng)磁場的諧波分析Fig.7 Harmonic analysis of armature reaction field

圖8 為14 對極24 槽永磁同步電機開槽和不開槽時電樞反應(yīng)磁場諧波分析對比圖，從圖中可以看出，開槽并沒有引起額外的諧波分量，而主要改變了次數(shù)為N0(μ±nZ0)的諧波成分的幅值。

圖8 不開槽和開槽時的諧波分析對比Fig.8 Comparison of harmonic analysis without and with slotting effects

7 結(jié)論

本文通過不同極槽配合的分數(shù)槽集中繞組永磁同步電機繞組排列方式的分析，得到了電樞反應(yīng)磁場的解析表達式，并通過復(fù)數(shù)氣隙比磁導(dǎo)，考慮開槽對磁場的影響，解析計算的結(jié)果與有限元計算的結(jié)果的得到了很好的吻合，并且得到如下幾個結(jié)論：

（1）對于分數(shù)槽集中繞組電機，原電機可以認為由N0個單元電機構(gòu)成，原電機電樞反應(yīng)磁場所存在的諧波次數(shù)是單元電機電樞反應(yīng)磁場所存在的諧波次數(shù)的N0倍。

（2）對于Z0=2p0±1 極槽配合的電機，電樞反應(yīng)磁場包含次數(shù)為 N0μ(μ=1,2,4,5,7,8,10,…)的諧波分量。對于Z0=2p0±2 和Z0=2p0±4 極槽配合的電機，電樞反應(yīng)磁場包含次數(shù)為N0μ(μ=1,5,7,11,13,…)的諧波分量。

（3）定子開槽并不會引入額外的諧波分量，而主要引起次數(shù)為 N0(μ±nZ0)的諧波成分的幅值發(fā)生變化。

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