趙小軍 崔 燦 李 琳 趙志剛 劉 剛 李慧奇

（1.華北電力大學(xué)電力工程學(xué)院 保定 071003 2.華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 北京 102206 3.河北工業(yè)大學(xué)電磁場(chǎng)與電器可靠性省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300130）

1 引言

不同勵(lì)磁條件下電工材料的磁性能并不相同。與交流勵(lì)磁相比，當(dāng)電工鋼片或變壓器鐵心承受直流偏磁時(shí)，其磁化特性及損耗特性均會(huì)發(fā)生明顯的改變[1,2]。在實(shí)際工程中，電力變壓器經(jīng)常承受直流偏磁或諧波形式的勵(lì)磁，這會(huì)給變壓器本身及電網(wǎng)的運(yùn)行帶來(lái)一系列危害[3,4]。各種不同勵(lì)磁條件下電工材料磁特性的準(zhǔn)確模擬對(duì)于電磁場(chǎng)理論研究和輸變電設(shè)備的安全運(yùn)行具有重要的意義。目前有以下相關(guān)研究工作:一方面，基于磁化特性、損耗特性的測(cè)量和模擬對(duì)電工鋼片及鐵心的磁性能進(jìn)行研究，如等效磁路長(zhǎng)度的測(cè)定[5]，鐵心中不同區(qū)域的有功及無(wú)功分離[6]，各種磁滯模型的提出和改進(jìn)[7-9]，開(kāi)發(fā)不同的測(cè)量設(shè)備及設(shè)計(jì)相關(guān)的測(cè)量方案等[10,11]，這些工作取得的研究成果為面向工程應(yīng)用的數(shù)值仿真奠定了良好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)；另一方面，時(shí)步有限元，諧波平衡有限元和時(shí)間周期有限元等方法[12-14]被用于非線(xiàn)性磁場(chǎng)的仿真和分析，不同的數(shù)值計(jì)算方法和多種仿真技術(shù)可以為材料性能模擬的深入研究提供準(zhǔn)確性及有效性方面的支持。

為了準(zhǔn)確計(jì)算變壓器鐵心中的非線(xiàn)性磁場(chǎng)，深入分析不同勵(lì)磁條件下鐵心的磁化特性和損耗特性，需要在場(chǎng)路耦合計(jì)算中考慮鐵心的磁滯效應(yīng)[15]。解決該問(wèn)題的關(guān)鍵在于磁滯模型的選擇和如何對(duì)磁場(chǎng)中的非線(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行處理。選擇磁滯模型時(shí)，應(yīng)該遵循簡(jiǎn)單有效、數(shù)值計(jì)算時(shí)易實(shí)現(xiàn)的原則。對(duì)于含磁滯效應(yīng)的非線(xiàn)性磁場(chǎng)本構(gòu)關(guān)系的處理，目前主要有兩種方法:①引入基于空氣磁導(dǎo)率的μ0-B-H-M 關(guān)系[16]，②是引入基于定點(diǎn)磁阻率的νFP-B-H-M[17]關(guān)系。二者都能解決基于B-H 磁場(chǎng)本構(gòu)關(guān)系中磁阻率ν 的不連續(xù)性問(wèn)題。

本文利用疊片鐵心模型分別進(jìn)行了正弦勵(lì)磁和直流偏磁勵(lì)磁下的實(shí)驗(yàn)，得到相應(yīng)的無(wú)偏磁磁滯回線(xiàn)和直流偏磁磁滯回線(xiàn)。利用基于損耗函數(shù)的磁滯模型對(duì)磁滯回線(xiàn)進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，并將該磁滯模型與定點(diǎn)諧波平衡有限元算法相結(jié)合，計(jì)算無(wú)偏磁和有偏磁條件下繞組勵(lì)磁電流及鐵心內(nèi)的非線(xiàn)性磁場(chǎng)。比較了不同區(qū)域內(nèi)的鐵心磁滯特性，分析了不同勵(lì)磁條件下鐵心損耗的分布特征。

2 鐵心磁特性實(shí)驗(yàn)

圖1 疊片鐵心模型Fig.1 Laminated core model

圖1 所示為疊片鐵心模型，鐵心上繞有匝數(shù)相同的勵(lì)磁線(xiàn)圈和測(cè)量線(xiàn)圈?；诏B片鐵心進(jìn)行空載實(shí)驗(yàn)，利用功率分析儀分別測(cè)量鐵心損耗，勵(lì)磁線(xiàn)圈的勵(lì)磁電流i 和測(cè)量線(xiàn)圈中的感應(yīng)電壓u。疊片鐵心所用硅鋼片為30Q140 型取向硅鋼片。

在無(wú)偏磁條件下，在勵(lì)磁線(xiàn)圈端口施加不同的交流電壓勵(lì)磁，由下式可以得到相應(yīng)的無(wú)偏磁磁滯回線(xiàn)。

式中，S 和L 分別為鐵心截面積和等效磁路長(zhǎng)度；φ為鐵心磁通；Ncoil為線(xiàn)圈匝數(shù)。

本文中等效磁路長(zhǎng)度L 取疊片鐵心的幾何平均磁路長(zhǎng)度。

由無(wú)偏磁條件下的測(cè)量結(jié)果，得到不同勵(lì)磁條件下的磁滯回線(xiàn)，如圖2 所示。

圖2 無(wú)偏磁磁滯回線(xiàn)Fig.2 Hysteresis loops under sinusoidal excitation

將一直流電流源與勵(lì)磁線(xiàn)圈所在回路相串聯(lián)，模擬變壓器鐵心的直流偏磁情況。此時(shí)鐵心磁通φ包含兩部分，即直流磁通φdc和交流磁通φac。φac可按照式（1）進(jìn)行計(jì)算，φdc則可以通過(guò)迭代法進(jìn)行計(jì)算[18,19]。

由直流偏磁條件下的測(cè)量結(jié)果，得到不同勵(lì)磁條件下的磁滯回線(xiàn)，如圖3 所示。

圖3 直流偏磁磁滯回線(xiàn)（Idc=0.426A）Fig.3 Hysteresis loops under DC-biased excitation

3 磁滯模型與磁滯回線(xiàn)的擬合

3.1 基于損耗函數(shù)的磁滯模型

在正弦勵(lì)磁條件下，如圖4 所示，可以將勵(lì)磁電流i 分為兩部分，一部分im與磁通φ 同相位，一部分ih與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e 同相位[20]。于是，在i-φ 關(guān)系中可以引入以下函數(shù)

式中，i1對(duì)應(yīng)于圖4 中im；i2對(duì)應(yīng)于圖4 中ih。

圖4 無(wú)偏磁條件下的勵(lì)磁電流Fig.4 Magnetizing current under sinusoidal excitation

基于以上分析，對(duì)于如圖5 所示的i-φ 磁滯回線(xiàn)，曲線(xiàn)“aOc”為中間磁化曲線(xiàn)（即i-φ 磁滯回線(xiàn)的中點(diǎn)軌跡），其所代表的勵(lì)磁特性與式（4）中的i1相對(duì)應(yīng)，i-φ 磁滯回線(xiàn)外圍上任意一點(diǎn)與中間磁化曲線(xiàn)“aOc”的間距“ef”反映了鐵心的磁滯效應(yīng)且與損耗相關(guān)，與式（4）中的i2相對(duì)應(yīng)，稱(chēng)之為損耗函數(shù)[21,22]。損耗函數(shù)的變化趨勢(shì)與中間磁化曲線(xiàn)相反，當(dāng)磁化曲線(xiàn)上升至最高點(diǎn)時(shí)，損耗函數(shù)值為零；當(dāng)磁化曲線(xiàn)下降至零點(diǎn)時(shí)，損耗函數(shù)值則為最大，與“Ob”相對(duì)應(yīng)。根據(jù)損耗函數(shù)的特點(diǎn)，可作如下定義

圖5 基于損耗函數(shù)的磁滯模型Fig.5 Hysteresis model based on consuming function

式中，φm為磁通的幅值；D 是與損耗函數(shù)相關(guān)的系數(shù)。

損耗函數(shù)i2可進(jìn)一步寫(xiě)為以下形式

式中，Iob為損耗系數(shù)，與磁通幅值φm及頻率f 均相關(guān)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量結(jié)果計(jì)算得到。

由式（2）、式（3）可知，對(duì)于疊片鐵心，可以提出基于損耗函數(shù)的B-H 磁滯模型為

式中，Bm為無(wú)偏磁條件下交流磁通密度的幅值；H為鐵心中總的磁場(chǎng)強(qiáng)度。

同理，在直流偏磁條件下，基于損耗函數(shù)的B-H磁滯模型如下

式中，Bdc為直流磁通密度，Bdc=φdc/S。

由于各中間磁化曲線(xiàn)均通過(guò)磁滯回線(xiàn)的頂點(diǎn)，其軌跡為基本磁化曲線(xiàn)，在有限元計(jì)算中可以分別選擇無(wú)偏磁和直流偏磁下的基本磁化曲線(xiàn)作為式（8）中的H1(B) 和H1d(B)[19]。

3.2 磁滯模型的驗(yàn)證

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可以對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行處理，進(jìn)而得到不同勵(lì)磁條件下磁滯回線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的損耗系數(shù)Hob，結(jié)果見(jiàn)表1～表3。

表1 無(wú)偏磁條件下的損耗系數(shù)（Idc=0A）Tab.1 Consuming coefficients under sinusoidal excitation（Idc=0A）

表2 直流偏磁條件下的損耗系數(shù)（Idc=0.426A）Tab.2 Consuming coefficients under DC-biased excitation（Idc=0.426A）

表3 直流偏磁條件下的損耗系數(shù)（Idc=0.847A）Tab.3 Consuming coefficients under DC-biased excitation（Idc=0.847A）

由此可利用基于損耗函數(shù)的磁滯模型對(duì)測(cè)量得到磁滯回線(xiàn)進(jìn)行仿真，無(wú)偏磁磁滯回線(xiàn)的結(jié)果如圖6 所示，直流偏磁磁滯回線(xiàn)的結(jié)果如圖7 所示。通過(guò)比較可以看出，基于損耗函數(shù)的磁滯模型能夠較好的模擬無(wú)偏磁和直流偏磁條件下疊片鐵心的磁滯效應(yīng)。

圖6 無(wú)偏磁磁滯回線(xiàn)的測(cè)量與仿真結(jié)果Fig.6 Simulated and measured hysteresis loop under sinusoidal excitation

圖7 直流偏磁磁滯回線(xiàn)的測(cè)量與仿真結(jié)果Fig.7 Simulated and measured hysteresis loop under DC-biased excitation

4 計(jì)算結(jié)果及其分析

4.1 諧波平衡法

在無(wú)偏磁條件下，變壓器端口承受穩(wěn)態(tài)電壓勵(lì)磁，勵(lì)磁電流中只含有奇次諧波，因此勵(lì)磁電流i可以表達(dá)成如下形式

式中，I 為勵(lì)磁電流密度i 的諧波矢量表達(dá)式。

同理可知在直流偏磁條件下，i 的諧波矢量表達(dá)式為

在穩(wěn)態(tài)勵(lì)磁下，電磁場(chǎng)中的各物理量均具有周期性，因此各變量均可表達(dá)為式（10）、式（11）所示的形式。

4.2 基于B-H-M 的定點(diǎn)諧波平衡方程

基于巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，當(dāng)不考慮各向異性時(shí)，可在二維非線(xiàn)性磁場(chǎng)中引入如下關(guān)系[17]

式中，νFP為定點(diǎn)磁阻率，諧波矢量Bx、By、Hx、Hy、Mx、My的表達(dá)式同式（10）、式（11）。

由式（12）可以看出，定點(diǎn)磁阻率νFP將磁場(chǎng)強(qiáng)度H 分為了線(xiàn)性和非線(xiàn)性?xún)刹糠?，線(xiàn)性部分與定點(diǎn)磁阻率相關(guān)，非線(xiàn)性部分與類(lèi)磁化強(qiáng)度矢量M相關(guān)。

基于定點(diǎn)磁阻率的二維非線(xiàn)性磁場(chǎng)方程為

利用伽遼金法可以得到關(guān)于式（13）的定點(diǎn)諧波平衡有限元方程

式中，Q 為系數(shù)矩陣；Uk為線(xiàn)圈k 的端口電壓諧波矢量；Zk為阻抗矩陣；Ik為流過(guò)線(xiàn)圈k 的勵(lì)磁電流密度的諧波矢量；Ck為場(chǎng)路耦合矩陣；P 是與類(lèi)磁化強(qiáng)度矢量M 相關(guān)的諧波矢量[23]。

4.3 νFP的取值與非線(xiàn)性場(chǎng)的求解

依據(jù)式（14）可對(duì)勵(lì)磁電流和磁矢量位的諧波矢量同時(shí)進(jìn)行求解，在求解過(guò)程中，諧波解的收斂性取決于定點(diǎn)磁阻率νFP的取值。在非線(xiàn)性靜態(tài)場(chǎng)的計(jì)算中，定點(diǎn)磁阻率可按照下式確定[24]

式中，νdmax和νdmin分別為磁化曲線(xiàn)H=F(B)上微分磁阻率的最大值和最小值。

在時(shí)域有限元計(jì)算中，Dlala 等也給出了時(shí)步迭代中定點(diǎn)磁阻率的確定方案[25]。

在定點(diǎn)諧波平衡有限元計(jì)算中，初始迭代過(guò)程中采用較大的定點(diǎn)磁阻率（ν1=3ν0～ν0）可以保證諧波解的穩(wěn)定收斂，之后采用較小的定點(diǎn)磁阻率（ν2=ν0/10～ν0/40）則能夠?qū)崿F(xiàn)諧波解的快速收斂。

圖8 所示為考慮磁滯效應(yīng)時(shí)的計(jì)算流程圖，其中H=F(B) 與不同勵(lì)磁條件下的磁滯回線(xiàn)相對(duì)應(yīng)。忽略疊片鐵心的各向異性，Bx、By、Hx、Hy滿(mǎn)足以下關(guān)系

圖8 計(jì)算流程Fig.8 Flow chart of the computational process

通過(guò)式（16），可以實(shí)現(xiàn)迭代計(jì)算中由B 求解H的過(guò)程。

5 計(jì)算結(jié)果及分析

5.1 勵(lì)磁電流

對(duì)無(wú)偏磁和有偏磁條件下的勵(lì)磁電流和磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，勵(lì)磁電流的計(jì)算結(jié)果如圖9～圖11 所示。從比較結(jié)果可以看出，計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果吻合較好。無(wú)偏磁條件下，由于磁滯效應(yīng)的影響，勵(lì)磁電流的前半周與后半周沿橫軸（時(shí)間）不對(duì)稱(chēng)，但是沿縱軸（電流）呈反對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)。在直流偏磁條件下，由于勵(lì)磁電流中的各次諧波分量迅速增大，勵(lì)磁電流波形呈尖頂波形狀，此時(shí)磁滯效應(yīng)對(duì)于電流波形的影響不再明顯，且電流波形也不再具有對(duì)稱(chēng)性。由圖9 可以看出，在交流勵(lì)磁較小，磁滯效應(yīng)的影響相對(duì)較大時(shí)，勵(lì)磁電流的計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果仍然存在一定的誤差。這是因?yàn)樵跓o(wú)偏磁條件下，交流勵(lì)磁較小時(shí)疊片鐵心的磁滯回線(xiàn)呈橢圓形，而本文提出的基于損耗函數(shù)的磁滯模型不能準(zhǔn)確模擬橢圓形磁滯回線(xiàn)，因此數(shù)值計(jì)算結(jié)果的誤差相對(duì)較大。要得到更加準(zhǔn)確的結(jié)果，需要對(duì)該磁滯模型作進(jìn)一步的改進(jìn)和完善。

圖9 無(wú)偏磁條件下的勵(lì)磁電流Fig.9 Magnetizing current under sinusoidal excitation

圖10 直流偏磁條件下的勵(lì)磁電流（Idc=0.426A）Fig.10 Magnetizing current under DC-biased excitation（Idc=0.426A）

圖11 直流偏磁條件下的勵(lì)磁電流（Idc=0.847A）Fig.11 Magnetizing current under DC-biased excitation（Idc=0.847A）

5.2 鐵心內(nèi)不同區(qū)域磁滯特性

由計(jì)算得到的磁場(chǎng)，可以得到鐵心內(nèi)不同區(qū)域的磁滯特性。如圖12 所示，為用于計(jì)算的疊片鐵心幾何模型，其中陰影部分代表線(xiàn)圈所在區(qū)域。根據(jù)鐵心結(jié)構(gòu)及磁場(chǎng)在鐵心中的分布特點(diǎn)，可以將鐵心分為兩個(gè)區(qū)域，柱-軛區(qū)和接縫區(qū)。在兩個(gè)區(qū)域中分別選擇A 點(diǎn)和B 點(diǎn)，基于計(jì)算結(jié)果可以得到各點(diǎn)的磁場(chǎng)及對(duì)應(yīng)的磁滯特性。

圖12 疊片鐵心的幾何計(jì)算模型Fig.12 Geometric model of the laminated core for computation

由圖13～圖18 可以看出，在無(wú)偏磁條件下，疊片鐵心內(nèi)各點(diǎn)的磁滯回線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)的，而直流偏磁條件下，疊片鐵心內(nèi)各點(diǎn)的磁滯回線(xiàn)呈現(xiàn)出明顯不對(duì)稱(chēng)的特征。這是導(dǎo)致無(wú)偏磁和有偏磁條件下疊片鐵心勵(lì)磁特性和損耗特性存在差異的主要原因。由圖14 和圖15 的比較還可以看出，A 點(diǎn)處不同方向的磁滯特性存在差異，主要原因是在疊片鐵心接縫區(qū)內(nèi)的同一點(diǎn)處，磁通密度在不同方向上的分量并不相等。圖17 和圖18 的比較結(jié)果也反映了直流偏磁條件下接縫區(qū)內(nèi)同一點(diǎn)處不同方向上磁滯特性的差異。

圖13 無(wú)偏磁條件下的B 點(diǎn)y 方向磁滯回線(xiàn)Fig.13 Hysteresis loop on point B under sinusoidal excitation

圖14 無(wú)偏磁條件下的A 點(diǎn)y 方向磁滯回線(xiàn)（Hy-By）Fig.14 Hysteresis loop on point A under sinusoidal excitation（Hy-By）

圖15 無(wú)偏磁條件下的A 點(diǎn)x 方向磁滯回線(xiàn)（Hx-Bx）Fig.15 Hysteresis loop on point A under sinusoidal excitation（Hx-Bx）

圖16 直流偏磁條件下的B 點(diǎn)y 方向磁滯回線(xiàn)（Idc=0.426A）Fig.16 Hysteresis loop on point B under DC-biased excitation（Idc=0.426A）

圖17 直流偏磁條件下的A 點(diǎn)x 方向磁滯回線(xiàn)（Hx-Bx,Idc=0.426A）Fig.17 Hysteresis loop on point A under DC-biased excitation（Hx-Bx,Idc=0.426A）

圖18 直流偏磁條件下的A 點(diǎn)y 方向磁滯回線(xiàn)（Hy-By,Idc=0.426A）Fig.18 Hysteresis loop on point A under DC-biased excitation（Hy-By,Idc=0.426A）

5.3 鐵心的損耗特性

由計(jì)算得到每個(gè)單元的B 和H，可以按照下式計(jì)算鐵心的損耗[26,27]

式中，Pi為第i 個(gè)單元中的比損耗；ρ 為鐵心疊片的密度；T 為周期；Ns和ds分別為鐵心中的疊片數(shù)量和單片厚度；Ne為單元總數(shù)；Si為單元面積；Pt為鐵心損耗。

表4 中給出了無(wú)偏磁條件下鐵心損耗的計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果，其中Pc為鐵心比損耗的計(jì)算值，Pm為鐵心比損耗的測(cè)量值，Bacm為鐵心中的交流磁通密度的幅值，可由式（2）計(jì)算得到。由比較可以看出，計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果相吻合。

表4 無(wú)偏磁條件下的鐵心損耗（Idc=0）Tab.4 The iron loss under sinusoidal excitation

由圖12 中A、B 兩點(diǎn)的磁場(chǎng)計(jì)算結(jié)果可以看出，鐵心中的磁場(chǎng)分布并不均勻，尤其是接縫區(qū)和柱-軛區(qū)的磁場(chǎng)分布明顯不同，由此可知，鐵心損耗在不同區(qū)域的分布也將不同。分別計(jì)算鐵心接縫區(qū)和柱-軛區(qū)的比損耗，觀(guān)察不同勵(lì)磁條件和勵(lì)磁形式對(duì)二者的影響，結(jié)果見(jiàn)表5 和表6，其中Pj為接縫區(qū)比損耗，PL為柱-軛區(qū)比損耗。

表5 無(wú)偏磁下鐵心不同區(qū)域比損耗（Idc=0）Tab.5 Specific loss in different areas in the laminated core under sinusoidal excitation

表6 偏磁下鐵心不同區(qū)域比損耗（Idc=0.426A）Tab.6 Specific loss in different areas in the laminated core under dc-biased excitation

由計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)鐵心中交流磁通密度相同時(shí)，直流偏磁條件下的鐵心損耗大于無(wú)偏磁條件下鐵心損耗。同時(shí)，鐵心內(nèi)的損耗并不均勻，主要體現(xiàn)在接縫區(qū)與柱-軛區(qū)的差異。在相同勵(lì)磁條件下，柱-軛區(qū)比損耗大于接縫區(qū)的比損耗。

6 結(jié)論

（1）基于疊片鐵心的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算表明，在無(wú)偏磁條件下和直流偏磁條件下，變壓器鐵心的磁滯特性和損耗特性明顯不同，磁滯特性表現(xiàn)為偏磁后的磁滯回線(xiàn)的不規(guī)則與不對(duì)稱(chēng)性，損耗特性表現(xiàn)為偏磁后鐵心損耗的增大。

（2）基于損耗函數(shù)的磁滯模型簡(jiǎn)單有效，能夠模擬鐵心在無(wú)偏磁和有偏磁條件下的磁滯效應(yīng)。將其與定點(diǎn)技術(shù)和諧波平衡法相結(jié)合時(shí)，在數(shù)值計(jì)算中易實(shí)現(xiàn)，適用于頻域有限元計(jì)算。

（3）在無(wú)偏磁和有偏磁條件下，鐵心接縫區(qū)與柱-軛區(qū)磁場(chǎng)分布并不均勻，不同位置處的磁滯特性不同，并由此導(dǎo)致鐵心損耗分布的不均勻性。在鐵心接縫區(qū)內(nèi)，同一位置處不同方向上的磁滯特性存在差異。

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